1、华东师范大学数学系编数学分析第三版下册教案 第十六章 多元函数的极限与连续 黔西南民族师专数学系12.元函数的极限教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系教学要求： (1) 基本要求：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法(2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题教学建议：(1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法(2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法教学程序：一、全面极限与相对极限:
2、 全面极限亦称为二重极限.1 全面极限 先回忆一下一元函数的极限： 的“ ” 定义：设函数 在 的某一空心邻域 内由定义，如果对 ，当 ，即 时，都有 ，则称 时，函数 的极限是 A.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：设二元函数 为定义在 上的二元函数，在点 为 D 的一个聚点，A 是一个确定的常数，如果对 ，使得当 时，都有 ，则称 在 D 上当 时，以 A 为极限.记作 也可简写为 或例用“ ”定义验证极限 . 7)(lim22)1,( yxyx证明: 限制在 （2，1）的邻域 取 ，则有华东师范大学数学系编数学分析第三版下册教案 第十六章 多元函数的极限与连续 黔西南民族师专数学
3、系2由二元函数极限定义用“ ”定义验证极限 . 0lim20yxy例 ).,(, , 0),(2yxxyf证明证明： 所以 对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：是指： 以任何方式趋于 ，包括沿任何直线，沿任何曲线趋于 时， 必须趋于同一确定的常数.对于一元函数， 仅需沿 轴从 的左右两个方向趋于 ，但是对于二元函数， 趋于 的路线有无穷多条，只要有两条路线， 趋于 时，函数 的值趋于不同的常数，二元函数在 点极限就不存在.例 1 二元函数 请看图像，尽管 沿任何直线趋于原点时 都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当 沿抛物线 时， 的值趋于而不趋于零，所以极限不存在.( 考
4、虑沿直线 的方向极限 ). 华东师范大学数学系编数学分析第三版下册教案 第十六章 多元函数的极限与连续 黔西南民族师专数学系3例设函数求证证明：因为所以， 当 时， . 请看它的图像，不管 沿任何方向趋于原点， 的值都趋于零.通常为证明极限 不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 全面极限存在.例 4 设函数证明函数 在原点处极限不存在.证明： 尽管 沿轴和轴趋于原点时 的值都趋于零，但沿直线 趋于原点时沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象, 例沿任何路线趋于原点时，极限
5、都是 0，但例沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在. 非正常极限 极限 的定义:华东师范大学数学系编数学分析第三版下册教案 第十六章 多元函数的极限与连续 黔西南民族师专数学系4例 1 设函数 证明证明： 只要取时，都有请看它的图象，因此 是无穷大量.例 2 求下列极限:i) ; ii) ; iii) ; iV) .2、 累次极限:累次极限前面讲了 以任何方式趋于 时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量 依一定次序趋于 时 的极限，称为累次极限.对于二元函数 在 的累次极限由两个华东师范大学数学系编数学分析第三版下册教案 第十六章 多元函数的极限与连续 黔西南民族师
6、专数学系5和例 1 , 求在点 的两个累次极限. 例 2 , 求在点 的两个累次极限 .例 3 , 求在点 的两个累次极限 .二重极限与累次极限的关系:（）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序.例函数 的两个累次极限是 （） 两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例 ， 两个累次极限都存在但二重极限却不存在，事实上若点 沿直线 趋于原点时， （）二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例 函数 由 . 可见二重极限存在 , 但 和 不存在，从而两个累次极限不存在.（4）二重极限极限 和累次极限 (或另一次序)都存在 , 则华东师范大学数学系编数学分析第三版下册教案 第十六章 多元函数的极限与连续 黔西南民族师专数学系6必相等. ( 证 ) （5）累次极限与二重极限的关系若累次极限和二重极限都存在， 则它们必相等作业：教材 P99:1,2,3,4,5.
