1、3.2 函数极限的性质12 函数极限的性质. 教学目的与要求1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限. 教学重点与难点:重点: 函数极限的性质. 难点: 函数极限的性质的证明及其应用. 讲授内容在1 中我们引入了下述六种类型的函数极限：1) ；2) ；3) xfxlimxfxlixflim4) ； 5) ； 。00x0)6它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第 4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.定理
2、32(唯一性) 若极限 存在，则此极限是唯一的fx0li证 设 都是 当 时的极限，则对任给的 ，分别存在正数A,f 0与 ，使得当 时有12 10x， f )1(当 时有20x， xf )2(取 ，则当 时，(1)式与 (2)式同时成立，故有21,min0Axfxf)( 2Axfxf由 的任意性得 ，这就证明了极限是唯一的.定理 3。3（局部有限性）若 存在，则 在 的某空心邻域 内有fx0limf00xU界证 设 取 ，则存在 使得对一切 有xf0li1;0xAxf这就证明了 在 内有界 f;0xU3.2 函数极限的性质2定理 34(局部保号性) 若 (或 )，则对任何正数 （或0lim0
3、AxfAr，存在 ，使得对一切 有Ar0xUU（或 ）rfrxf证 设 ，对任何 ，取 ，则存在 ，使得对一切),(A0;0xU，rxf这就证得结论对于 的情形可类似地证明0注 在以后应用局部保号性时，常取 2A定理 35(保不等式性) 设 与都 都存在，且在某邻域 内xf0limxg0li 0;xU有 则xgf（） xf0lix0li证 设 = ， = ，则对任给的 ，分别存在正数 与 使fx0liAgx0012得当 时有1，xf当 时有20xxg令 ，则当 时，不等式 与(4)、(5) 两式同时21,min0xgf成立，于是有xfAg从而 由 的任意性推出 ，即(3) 式成立 2定理 36
4、(迫敛性) 设 = =，且在某 内有fx0limx0li 0;xUfhg则 Axh0lim证 按假设，对任给的 ，分别存在正数 与 ，使得当 时有，012 10x3.2 函数极限的性质3(7) xfA当 时有20x(8)xg令 ，则当 时，不等式 (6)、(7)、(8) 同时成立，21,min0故有xfAhAxg由此得 ，所以xhx0li定理 37（四则运算法则）若极限 与 都存在，则函数xf0limgx0li当 时极限也存在，且gf,0x；)10limx0lixf0lixg2） ；0f00又若 ，则 当 时极限存在，且有0lixgf|3） 0limxf xgfx00limli这个定理的证明类
5、似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限例 1 求 0lix解 当 时有，x11而 故由迫敛性得： =1lim0xx 0limx另一方面，当 有 ，故又由迫敛性又可得： 10limx13.2 函数极限的性质4综上，我们求得 0limx1例 2 求 tan4x解由 及1 例 4 所得的，txcosi，xinlm42xxcoslim4并按四则运算法则有= =1tanli4xx4lixxxcoslin44li1例 3 求 13lim1x解 当 时有01233 xxx故所求的极限等于 12lim21x例 4 证明 li0ax证 任给 (不妨设 )，为使（9）1x即 ，利用对数函数 （当 时）的严格增性，只要1xaxalog1logx于是，令 ，l,1lminaa则当 时，就有(9)式成立，从而证得结论x0 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结. 课外作业: 2、3、5、7、8、9.1P
