1、88平面 的一条直线 AC，如果垂直于斜线 BC 的射影 CO，那么 AC 也垂直 A于 BC。在演示过程中，两直角边 AC、 O CBC 总是垂直的。这样的演示与观察可 以帮助学生理解三垂线定理。 图 51直观教具的使用，能培养学生的探索精神，帮助学生发现并理解数学知识，有利于发展学生的观察和分析能力，有利于抽象思维能力的培养。事实上，对直观教具进行观察、实验、测量，能充分调动感觉器官的作用，从而形成大量的感觉和表象，这些是形成数学揭露的基础。因此，在较复杂的图像和模型中逐步突出所要抽象的关系和特征，是教学中必须注意的一个问题。模型与教具的来源，一是购置，二是师生自己动手制作。自制模型与教具
2、时，应力求结构简单、直观性强、材料易找、成本较低等要求。五光十色的模型与教具，如果只能使学生感觉有趣，而不能醒目地表现出要说明问题的本质特征，这种模型与教具是不宜使用的用了反而会转移学生的注意力，妨碍他们对主要问题的积极思考。2、直观教具的运用直观教具的运用应注意如下几点。（1）启发性直观教具的演示要注意启发学生的思维。例如，用演示教具的方法讲解二次三项式 1 x x x 1 16x+7x+2 的因式分解，可用硬纸制成这样的教 +具：剪 6 个边长为 x 的正方形，7 个边长为 1、 x x x x x x宽为 x 的矩形，2 个边长为 1 的正方形，将这 +15 个图形拼成如图 72 所示的
3、矩形。这个矩 x x x x x x形的长为 3x+2、宽为 2x+1，由于剪拼前后的 x + x + x + 1 + 1面积不变，不难发现等式6x+7x+2=（3x+2） （2x+1）这种引入二次三项式的因式分解，既直观，又有启发性。（2）科学性直观教具演示的科学性是指与科学知识本身的一致性。如果演示的媒体并非有助于科学知识的理解，甚至与教学内容相抵触，那么这种演示是不科学的、有害的。（3）实践性直观教具的演示应与实践保持一致。演示不仅是为了使学生从感性认识提高到理性认识，从具体认识过渡到抽象认识，而且还要有利于把理性的、抽象的知识运用到实践中去。例如，用天平演示等量公理，是符合实践性原则的
4、。（4）目的性使用直观教具的目的是要从具体的材料中抽象出本质属性和内部联系。因此，始终要把握这个方向，不要为直观而直观。在学生已经具有某些知识经验的情况下，可以直接利用这些知识经验建立新的概念或法则，这时直观就不是必需的了。直观教具的演示要与语言配合，使演示紧紧地为教学内容服务。直观教具的演示是贯彻直观性教学原则的重要手段。不过，使用模型也不是愈多愈好，必须注意学生思维发展水平的阶段性。一般来说，在形成概念的初期可以多用，当抽象概念形成后，就不应过多地依赖模型去说明概念，而应该依据概念所反映的属性去想象模型。89这有利于学生的抽象思维能力与空间想能力的不断发展。此外，在数学教学中存在着一种轻视
5、直观教具的倾向。其主要原因在于对数学教学侧重点的理解上存在问题。有些教师更多地强调对数学结论的证明，即功夫下在让学生信服结论的正确，不是侧重于让学生理解结论的来龙去脉，重视教给学生证明方法，不是帮助学生学会发现新的结论。二、计算机辅助教学（CAI）计算机辅助教学(Computer Assisted Instruction,简称 CAI)既代表计算机应用的一个广阔领域,又代表一种新的教育技术和教育方式。CAI 与传统的教学方式相比,具有许多无法比拟的优点,因而被愈来愈多的学校所采用,并已成为全球性的研究领域。作为未来的中学教师,我们有必要掌握 CAI 的一些基本知识。1、计算机辅助教学（CA1）
6、的方式计算机在数学教学中一般有两种应用，一种是计算机辅助教师的教学；另一种是帮助学生的学习，中央教科所张杰夫老师总结前者其主要方式为：（1）计算机强化教学它是指利用计算机加强或补充由教师所进行的教学。它充分利用计算机特征进行常规的运算、作图、列表、模拟一个动态过程等，从而达到帮助教师教学的目的。在现实数学教学过程中，可能常常遇到一些比较费时的活动，而这些活动并非课程所要达到的目标，但为了达到所需目标又不得不经过这些活动，在这种情况下这种方式是非常有效的。例如，在学生学习“二次函数图像和性质”一节课时，教师必须要经过列表和作图比较繁琐的两步，而这是非常费时间的，教师几乎很难分出更多一点时间讲解函
7、数的性质。利用计算机则可以很快给出函数值和画出函数图像。在这种应用中，计算机还可以与电视、投影仪、幻灯机等其它教学设备接在一起使用，为学生创造一个良好的学习环境。（2）计算机教学管理这种应用有两个部分，一是课堂教学信息的收集及反馈系统，它是自动采集、处理和分析课堂教学过程中学生的反应的信息，并将分析结果及时反馈给教师的一种教学辅助装置。通过它教师可以及时了解到教学中存在的问题，及时调整教学活动，以达到教学过程最优化。另一部分是课后学习管理系统，主要用于课后学生个别化学习中，它可以根据学生的知识背景，所要达到的目标和学习过程的反应来控制个别化学习进程，及时告诉学生学习结果和向教师提供学生学习进步
8、状况，以供教师作出教学决策。在计算机辅助教师教学这种应用中，一般来说，计算机是完全在教师的控制之下的。因而，它不会打破传统的班级教学组织形式，虽能促进学习，却不会引起教室的革命。对于帮助学生的学习，其主要方式为：（1）个别辅导它是计算机模拟教师对学生的个别化教学情境，由计算机直接提供数学内容的教学。它可以根据学生的知识水平，由计算机呈现新的概念或一个小的教学单元，然后给出如何去做的例子，让学生稍加思考后，再给一个例子让学生去做，并在教与学之间进行多次反馈。这样就形成了教与实践的教学循环。这种方式的优点是能以小步子原则向学生提供数学教学内容，并可利用计算机的作图功能画图、列表或动态解释一些过程。
9、（2）操作与练习90这是目前学校所拥有的教学软件最多的一种，在国外此类教学软件达 80%以上。此方式的目的不是向学生传授新的知识,而是让学生通过做大量的练习达到巩固和熟练所学技能的目的。在学校中,数学课的性质就决定了有大量操作与练习机会。计算机化的操作与练习可以及时向学生提供“对”与“错”的反馈信息,同时,计算机可以一步步地让学生回答问题而诱导学生的思维。如,因式分解 x+5x+6，计算机屏幕可先出现 x+5x+6=(?),然后是x+5x+6=（x+？） （x+？） ，最后是 x+5x+6=（x+2） （x+3） 。（3）数学游戏它是计算机提供给学生一个娱乐的环境,参加活动的学生不得不了解一些
10、事实,应用一些技艺和掌握某些概念。学生始终处于由计算机产生的一种带有竞争性的和娱乐性的环境中,要获胜则必须掌握这种技艺。例如,由计算机产生一个由 1 到 n 之间的一个整数,让学生猜出所有满足条件的猜测数中最小的数。每次猜测后,计算机都告诉学生你所猜出的数比正确答案大了或小了。这种游戏对学生学习有序数集概念是非常有益的。这种把科学性、趣味性和教育性兼于一体,激发学生的兴趣,寓教于乐的软件受到普遍欢迎。（4）创造问题求解的情境问题求解应该是学生在尚没有形成一种算法的情景下的求解过程。这个过程的一些活动可以包括:提出问题、收集数据、分析问题、检验假说、估计和检验可能出现的情况。计算机在为学生创造一
11、个学习、解决问题的环境上能发挥重要作用。首先,计算机可作为计算的工具,学生可省出计算时间去探讨计算中的原则和方法。其次,计算机可以教授问题求解技巧,它给学生一个问题情景,要求学生在这种背景下运用问题求解方法来解决问题。最后,是计算机让学生来教它解决一个指定的问题或一系列有联系的问题。教计算机去解决一个问题,这不仅意味着学生要有必要的问题求解知识,而且还需要学生会计算机语言,即会程序设计,有研究结果表明,编写计算机程序去解决数学问题,是学习数学事实、技能、概念和原理的一个最好的方法。在计算机帮助学生学习这种应用中,主要是学生和计算机的交互作用,它摆脱了传统的教师控制教学的局面,这一变化将会引起班
12、级教学的一场革命。2、计算机对数学教育产生的影响（1）计算机将使传统的数学教育重心发生转移计算机在数学教学中的应用，为数学教学的发展展现了新的机遇。学校的数学教学将从重视培养学生的算术和代数技能转向侧重于培养学生对数学的思想、方法及其应用的掌握和理解上。学校的数学教学应该拥有比培养算术和代数技能更高的目标要求。然而,长期以来，很多学生及他们的家长,甚至部分教师却认为数学不过是枯燥乏味的算术训练和无边无际的代数运算,这个简单结论的得出反映了学校平时教学与考试的方式。不过，随着计算技术日益走入人们的生活，十分熟练的算术技巧与代数的纸与笔的运算已经快要过时了,它们将为技术所取代。这样,人们可以期望学
13、校的数学教育将用更多的时间让学生去思考与理解更本质、更需要智能的方面,如增加学生提出问题的能力,而不是把主要精力放在计算与运算上,把主要精力放在精心设计基本策略上,而不是编写、简化问题；加强学生对数学的用处与价值的评价，等等。这样，就可以达到帮助学生深入地思考数学、更容易推广和应用数学，从而通过对一些难题，与现实有关的问题的解决，增加学生学习的动力。有人将问题求解过程分为这样几个过程:问题理解问题确立基本策略和数学公式数值计算、代数运算图像模拟解考虑解的有效性。计算机在这个过程中可以发挥重要作用。首先,计算机在第二项上可帮助解题者深入理解问题；其次对四、五项计算机可以很快解决问题；最后,学生可
14、以通过计算机做最后一项工作，如有什么错误,学生可以很容91易地再作试验,同时学生也可以作几种策略的比较,选择最佳策略。对于那些涉及到探索或实验的数学问题的求解过程,计算机允许学生通过试验或归纳的方法,自己发现规则或定理,从而找到解决问题的策略。总之,计算技术引入数学教育,将对人们的数学教育观念产生巨大的影响,它也将极大地影响数学教学内容和方法。（2）计算机正改变着数学教学的内容与方法在国际数学教育委员会研究丛书中文版国际展望：九十年代的数学教育一书中，作者敏锐地感到现代技术对社会正发生着深远的影响。随着反映技术需要的新分支的发展和其它历史悠久的技术的淘汰以及人们日常生活中用到的数学技能的改变,
15、数学自身正在直接受到影响。信息革命将使中小学及其课程发生重大变化，并对全世界的各种教育体系下的教与学提出新的要求，同时也提供了新的机会。事实上,在技术发达国家,过去对大多数在职人员所提出的数学要求有些已不再需要了,普遍被视为“无价值”的了,如对特殊技巧,特别是算术技巧的要求。人们正在思考能否缩减或删掉计算机能做的那些部分。而其它一些数学观念却越来越成为人们所必需的了。诸如,统计思想、概率思想、估计思想、数量级的思想等,一些与计算机有关的数学,像离散数学、算法等正成为人们呼吁在数学教育中增加的内容。因此,人们不得不考虑与有效地处理信息和计算机有关的数学,同时也要考虑可以用计算机处理的材料。很明显
16、,计算机技术有巨大潜力改变我们教授数学的方法,有结果表明,计算技术在增进学生的形式运算能力及借助图像帮助学生理解新的概念或课程方面是有效的。它可以作为数学教学中合理的工具去解方程、解不等式和验证代数解法求得的答案。同时,它也可以在问题、数学表达式、算法、代数式和几何表示(图像)之间建立起广泛的联系。甚至它可以介绍课本中没有的,大家感兴趣的问题,像 有多少个实数解问题,这些变化必然要导x24致数学教学方法的改变,教师只有建立一种新的教学方法才能最有效地发挥计算机的作用。不过,应该注意到的是计算机与学校数学的相互渗透还处于一个比较初级的阶段。（3）计算机可以在数学与学生的认识之间架起一座桥梁人类是
17、生长在一个既有各种声音,又有各种形体不一的实物的活生生的世界里。语言是人类交流的重要手段,同时人类也借助于非语言的手段进行交流,如符号、图像、手势、服饰等,它们都能将有意义的信息传达给我们。人类在探索和研究自然界和社会现象的奥秘、建造文明的知识宫殿时,是以语言、各种形象、声音、符号、逻辑规则和各砷规范等为思维的工具或“原料”的,因此,人类的思维空间是三维的,即言语(包括文字、符号和有声言语)、形象(具体形象和经过一定抽象的图像)和音响(自然声音和人为声音)。然而人类的教育却几乎局限在一维言语空间上。这样儿童的学习过程就只能在抽象的、呆板的、静止的、缺乏情趣的言语世界里了。就数学而言,学校的数学
18、教育是以正规的逻辑为基础的。这就导致了数学从其它学科中分离和孤立出来的结果。在我们的教育体系中,数学与语文、艺术相对应,这似乎成为正常的现象了。而这种数学教育必然会忽略数学领域中超越逻辑思想的东西,如,直觉、美感或单纯的乐趣。特别是美感,已被当作糕点上的糖衣而不是学习数学的动力。因而,一般来说,学校的教育目标与儿童的有限生活经验并不相符,孩子们看上去缺乏内在的学习动力,学习数学对他们而言不过是要他们忘记自然得到的数学经验,而学习一组正规的规则罢了。这已导致在儿童的认识与学校对他们的要求之间出现了一条鸿沟。计算机确实可以在这条鸿沟上架起一座桥梁。（4）利用计算机技术能否使学生的代数技能受到什么损
19、害这个问题是人们普遍关心的,要想得到满意的答案还需要作进一步的实验与研究,不过,92目前国外经验表明,利用技术可以使学生变为解决问题的能手,而且能使他们对代数概念和方法有更深刻的理解。一名教师指出,利用计算技术学习微积分,学生对函数的直觉和认识均超过了以往任何学生。美国有位专家认为:“(计算机)决不会搅浑数学思维的透明、清澈的水域,相反通过过滤掉大部分凌乱的、单调乏味的劳作将在解决具体实例中出现。 ”不管怎样,计算机技术进入数学教育领域是历史的必然,数学教育工作者应以新的姿态去迎接这场挑战。4、计算机辅助教学将微机正确地应用于数学教学是实现数学教育现代化的重要措施。计算机具有计算、数据处理、字
20、符串处理、作图、发音等多种功能,能够传播和控制信息,当计算机配备了丰富的教学软件后,能扮演教师的角色,在数学教学中大显身手,对提高教学质量极为有利。根据数学教学的特点,编制概念教学,练习指导和学法辅导等程序,应用这些程序将改变数学教学的现状,大幅度提高教学质量。那么微机辅助数学教学能完成哪些具体工作呢？（1）能进行直观演示和过程模拟教育心理学指出:直观教学是培养学生抽象思维能力的重要手段,要建立牢固的数学概念和数学知识结构,必须重视形象直观在数学教学中的作用。传统的课堂教学中,绝大多数教具不能灵活变化,缺乏形象直观,可感性差。而计算机具有很高的运算速度和高分辨率以及完善的彩色绘图功能,并可发音
21、。利用计算机绘图,人可以通过计算机输入设备向机器输入各种图形参数,赋予图形千变万化,这一点是任何其他直观教具所无法比拟的。例如,在解析几何教学中,利用微机的绘图功能并配以声音,演示各种曲线的形成过程,即曲线是满足下定条件的点的运动轨迹。随后,教师用概括的语言讲述曲线是点的轨迹的概念。再如,在平面几何和立体几何教学中,利用微机绘图软件,可以展示各个几何图形的内在联系,分解较复杂的图形为简单的图形,从而可以全面、深刻、细致、联系地观察几何图形,理解几何图形。又如,在极限 概念教学中,利用计算机运算速度快且具有判断能力的特点,学Axflin)(生在计算机的屏幕上可以清楚地看到极限的逼近过程。由此可见
22、,计算机演示图形,数据及其变化,使抽象的概念具体化,使微观的过程宏观化,直观可感,有助于加深对数学知识的理解。（2）能进行个别授课传统教学中,利用微机系统向学生讲授教材内容,其过程变化多样,轻松易懂,能很好地适应满足个别化教学的需要,即可将人机之间的教学对话按预先组织的教学步骤进行,把讲解,演示,提问,评析,判断等之间的联系都已确定在系统设备中,又可根据教学中各个环节作及时的应变转移,它是根据学生的掌握程度,回答问题的情况等采取不同的程序和方法。以“一次函数”一节的教学程式为例,调试计算机,屏幕上会出现正比例函数的定义式y=kx（k0）,接着变式启发显示出 y=kx+oy=kx+b(k0,b0
23、),对比教学,结出一次函数的定义,调试绘图软件系统可绘出 y=kx 及 y=kx+b 的图像,得知一次函数的图像与正比例函数图像相同,都走直线。继续调试计算机会问:直线有什么性质？作一次函数图像能否只描两个点？当 k0,k0 的情况下一次函数 y=kx+b 的图像特征怎样,等一系列问题,要求学生跟机进行回答。微机将根据学生回答的情况调整教学过程。这种方式,微机能用彩色图形显示,配以声音,动画,比传统的教学更加生动、形象,增强了教学过程的兴趣性,处处洋溢着民主的教学气息。（3）能进行习题练习和技能训练这是微机辅助教学的重要内容,教学中可利用计算机向学生出示一组难度渐增的练习题,让学生作出回答,计
24、算机会及时给予评判和指导。练习的形式是多种多样的,可以是固定出题,也可以是随机出题,根据教师所给的课目,章节,题型，难度灵活出题,增加练习的智能性,对93学生练习过程中出现的各种情况,计算机会自动给出必要的提示或辅导,从而巩固所学的内容,加深对知识的理解,很快形成技能技巧。利用微机辅助进行练习,可以消除教师的主观意志的影响,增强出题的客观性,能够更加真实地检测教学的实际情况,节省大量的时间,把教师从传统教学的出题,编题,批改作业,课外辅导等繁琐的工作中解放出来,有更多的时间从事教学研究和教学创造。（4）能进行各种问题的求解 在实际教学中,可利用计算机求解各种数学问题,学生既可以利用通用软件,不
25、必编写程序,集中精力于数学解题中,这可省去学生大量重复,繁杂的运算,有更多的时间从事计算方法,计算技能和思维能力方面的训练,又可以结合新教材利用计算机语言编制程序解决数学问题或应用问题。例如,求 3 到 100 之间的所有素数,利用微机解决这一问题,首先应回答什么样的数是素数？如何验证一个自然数 M 是素数？当然验证方法并不是唯一的,但最易理解的是:将自然数 M 除以 2 到 M-1 的每一个整数,若都除不尽,则 M 是素数,根据上述分析可编制出求解这一问题的计算机语言程序（BASIC 语言）:10 FOR M=3 TO 10020 FOR I=2 TO M-130 IF INT（M/I）=M
26、/I THEN 6040 NEXT I50 PRINT M60 NEXT M 70 ENDRUN 上机调试该语言程序并运行可得答案:3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 由此可见,利用微机解决数学问题,从设计解决方案,到编制解题语言程序,再到程序上调试是一个细致而严谨的创造性工作,需要学生认真、耐心、反复地思考、检查,这一过程有助于学生养成一丝不苟的良好学风,不断提高自己分析问题和逻辑表达能力的。结合上述四点不难看出计算机辅助数学教学的优点所在:(1)视听结合,强化色、形、动、思、乐于一体的教学
27、效果，形象直观,活泼生动,可感易懂,便于记忆和掌握。(2)不受时空和宏微的限制,可以把教学内容化深为浅,化难为易,化净为动,化无形为有形,化无声为有声，直接揭示事物的本质和内在规律,注重知识形成过程的教学,便于学生理解形成概念。(3)有利于学生自学,能够适应个别差异。给子学生较大的主动性,积极性和独立性,大大节省教学时间。应该指出的是,计算机对数学教学有诸多优点是明显的,但它仍是教学的辅助手段,不可能完全取代教师的教学。计算机辅助教学主要存在的问题是：(1)教师和训练指导者必须重新去掌握新的技术和与此相应的新的教学方法,这可能使一些人难以适应。(2)CAI 的应用需要一定的投资。要实现一个 C
28、AI 系统,就得买计算机硬件系统、支持软件、CAI 课件及有关资料。在某种意义上讲,这个问题阻碍了 CAI 的发展。(3)计算机本身不会自动地带来上述优点,它需要人在课件设计上花很大的功夫。许多好的课件都是在经验丰富的教师、心理学家和程序员的共同努力下产生的。因此，在运用微机辅助教学时,必须坚持以教师为主导,把微机辅助与教科书、与教师94的讲解结合起来,使其互相补充,要引导学生把注意力集中到研究的对象上去,做到视、听、思相结合。看今天,计算机技术在飞速发展,软件开发也日新月异。数学与计算机的联系将日趋复杂,利用微机的诸多优势，合理地辅助于传统的数学教学,必将给数学教学带来巨大的推动和发展。第三
29、节 适应数学新课程理念的中学数学教学模式全日制义务教育数学课程标准(以下简称标准)对数学教学活动的要求是“必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。 ”标准对数学教学活动提出的新要求是对传统数学教学的挑战。这种挑战，从根本上讲就是从“应试教育”的教学模式向“素质教育”的教学模式转变。一、中学数学教学模式概述数学教学模式是指在一定的教学思想指导下，为
30、了完成某项数学教学任务，实现某种教学目的，在教学过程中，所创设的教学环境的相对稳定的“样式” 。长期以来，我国中学数学教学，由于受“应试教育”的影响，以传授知识，应付考试为目的的“应试教学”模式相当普遍，极大的阻碍了中学生的创新精神和实践能力的培养。国家基础教育课程改革纲要中指出：“改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程的同时，成为学会学习和形成正确价值观的过程” 。还指出：“教师在教学过程中应与学生积极互动，共同发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，注重培养学生的独立性和自主性，引导学生质疑、调查、探究，在实践中学习，促进学生在教师指导下
31、主动地、富有个性的学习” 。 “逐步实现教学内容的呈现方式，学生的学习方式，教师的教学方式和师生互动方式的变革” 。从而不难看出，以应试教育为目的的单一的“应试教学模式”已经不能适应基础教育改革发展的需要。因此，探索培养学生创新精神和实践能力的教学模式是数学教学改革以适应素质教育需要的必然发展趋势。只有建构出适应素质教育的数学教学模式，才能使素质教育不仅仅停留在观念上，才能真正指导数学教学的实践。中学数学教学模式是沟通教学理论与教学实践的中介和桥梁，是体现教学理论指导教学实践的“策略体系”和“便于操作的实施程序” 。例如， “讲、听、读、记（记录、记忆） 、练”的教学模式，体现了我国古代教学思
32、想是以教师为中心，以传授知识为目的。几个字就高度地概括了教学“策略体系”和“操作的实施程序” 。 再例如，前苏联凯洛夫的教学模式“组织教学 复习旧课 讲授新课 巩固练习 布置作业”五个环节的教学模式，之所以“经久不衰” 、 “深入人心”至今仍然较普遍的被采用，短短 20 个字，就体现了凯洛夫教学思想的精髓，并易于操作。由此可以看出，一旦掌握了某种教学模式，对应用某种教学理论指导教学实践提供了较为稳定的结构、程序和步骤，教师一旦掌握了某种教学模式，可以较好地完成教学任务，95实现预期的教学目标。诚然，由于教学目的的不同，学生心理发展水平的差异，以及教学环境等因素的不同，教学模式要进行适当的调整，
33、或采用相应的教学模式。既然数学教学模式可以简化的形式表现某种教育、教学理论或教育思想，它的作用或功能可以集中体现在以下几个方面:1、推广优化功能现代数学教学模式通常是将一些优秀的教学方法加以概括、规范,使之更为成熟、完善，并上升为一种行之有效的理论体系，具有较强实践性和独特的个性特点。经过教学模式所建构的教学理论，不仅是精练浓缩的，而且是具有可行性、典型性和有效性。是在整合了多种数学教学理论与数学教改实验以后，并对优秀的数学教师个人教学经验进行积累、加工、升华，使之转化成的一般理论，而不是囿于某一简单的教学方法或个人教学经验，具有一定的理论形态，是一种相对稳定化、综合化教学体系。在教学实践中，
34、许多数学教学工作者总结出大量的教学经验，经过逐步的概括、系统的整理可以使它通过教学模式的形成而进一步提升到理论层面。此外，各种现代的数学教学理论对教学实践的指导，形成了相应的教学模式，同时丰富和发展了学教学理论。对于这样形成的数学教学理论，便于教师直观、迅速地把握和领会其本质，便于推广、优化。不像一般的教学理论，教师难以理解、把握。2、咨询阐释的功能 教学模式作为教学理论的简化形态，可以通过简明扼要的语言文字或象征性的符号图形，来阐释教学理论的基本特征。成为易于为实际工作者所接受的方案，直接地转化为教学行动。教学模式的咨询阐释功能，一方面提高了教育理论的实用价值，便于一线数学教师在数学实践把握
35、，同时教学模式也成了教学理论的“解说员”和“宣传员” ，使其内蕴的教学理论随着教学模式的被选用，而自觉接受现代教学理论的指导，把最先进的数学教学理论直接运用到教学实践中去，有效地克服教学实践的盲目性，增强其实效性。另一方面教学模式咨询阐释功能的发挥，数学教师通过对数学模式理论要点的理解和操作要领的把握，并把它直接用到教学实践中去。有针对性的选用不同的教学模式，通过对教学模式的合理运用，提高了数学课堂教学效率，从而增强教师学习研究现代教学理论的热情，提高了教学能力。3、示范引导功能数学课堂教学模式对数学课堂教学结构进行了整体、通盘的考虑，从某种意义上可以说，教学模式既是教学改革的产物，同时又直接
36、促进了教学改革的发展。通过数学教学改革实验，逐步建立起具有各种类型的课堂教学模式系统，建立起像试题库一样的课堂教学模式库，一方面，这将使数学教学逐步走向科学化发展的道路；另一方面，如果在师范院校数学教育学的教学以及在教师培训过程中，加强对数学教学模式的教学和研究，可以极大地提高师范生以及在职教师培训的实效性，直接为数学教师提供一些可供选择和参考的教学方案，使他们能很快教有所据，尽快地进入教师这一角色，熟悉教学，使教学质量得到必要的保障。因此，教学模式能为教师提供一种具有科学依据，并可以提供直接参照使用的“教学工具库” 。克服过去教学研究中许多概念、评价标准、操作方法模糊不清的弊端，使教师能够摆
37、脱凭经验、感觉进行教学的不良状况。有助于优化课堂教学结构，提高学生的学习积极性，将教育思想、教学原则、教学方法、教学手段、教师、学生有机地结合起来，弄清课堂教学教程中学生与教师之间行为变化、相互影响关系，提高课堂教学效果，大面积提高教学质量。乔尹斯、韦尔相信：“我们挑选了一些模式作为从事学校教育工作的人的基本技能。也就是说，利用这些模式可以实现学校的大多数目标这引起模式经过长期的实践检验，因此可以方便有效地用于课堂及其他教育情境中。此外，这些模式可以适应96不同学生的学习风格及学校要求。教学模式为一定的教学理论运用于实践规范了较为完备、便于操作的实施程序。掌握若干常用的教学模式，青年教师初登讲
38、台就有了进行教学的“常规性武器” ，在规范的教学模式的示范引导下，可以很快地过渡到独立教学，从而大大减少盲目摸索、尝试错误所浪费的时间和精力。教学模式的示范引导功能，旨在交给教师教学的“基本套路” ，并不限制或扼杀教师的创造性。教师在运用这些“基本套路”时，可以根据具体教学条件或情境灵活调整，形成适合教学实际的“变式” 。教学模式示范引导功能的发挥，对于青年教师尽快独立教学、学校教学工作规范化、正常教学秩序的建立等，具有非常重要的意义。4、诊断预测功能诊断预测功能是指教学模式能够帮助预见预期的教学结果。在进行教学设计时，根据不同的教学内容、教学条件，对照教学模式的理论基础、确立在教学实施过程中
39、预期要实现的教学目标、操作程序，对教学活动进行诊断，能够发现教学中存在的问题。像教学目标不正确、实施条件不具备、操作要领不规范等，说明原因即可据此改进教学。一般说来，一种教学模式的实施必须具备某些条件，而且如果具备了这些条件，正确运用这种教学模式就会产生相应的结果。例如在进行数学要领教学时，在进行教学设计时，如果选用“引导发现”教学模式，可以发挥其诊断预测功能，来检测学生发现问题解决问题的能力。通过诊断为实现预期要实现的教学目标，对教学过程的控制和调节，使之朝着有利改进教学、提高教学效率的方向发展。在教学实践中，教学模式可以充分发挥这一功能，以减少数学教学过程中的盲目性。5、系统改进功能数学教
40、学模式是一种中介理论，体现了数学教育中理论与实践的高度统一，它是一个整体结构，一个有机的系统，对教学的各种因素都发生作用，是在整体上对原有的个别教学经验框框的突破和超越。一名优秀的数学教师除了必备的数学专业知识外，必须掌握一定的教育学、心理学知识，但是每一种理论都是一个十分复杂的体系，要将理论应用于实践或是将实践上升为一种理性的认识并非是易事。数学教学模式的建立为此提供了一座桥梁。教学模式即是教学理论的简约形式，又是教学实践的抽象、概括。对具有多年教学经验的老教师来说，教学模式库的建立，也可以使他们不再囿于过去习惯采用的教学模式，为教学更加多样化提供了方便。同时各种教学模式由于仅仅提供了一个大
41、致的框架，它有待于在教学实践中进一步具体化，这就为创造性的教学提供了各种可能。教师在教学实践过程中，通过对教学模式的具体应用、实践、改革，又进一步促进教学模式走向完善，推动教学理论的进一步发展，使教学活动过程系统化，构成一个整体优化的系统，从而形成实践理论实践的良性循环。为了适应新的教学目标，就要求对之相应的教学条件、程序诸因素作一些改进，要求教师更新教学观念，提高自身的素质和能力水平，从整体全局的观点出发，进行整体教学模式转化，直到以更有效、更完善的新模式取代已僵化、显得落后的旧模式。教学模式的系统改进功能是建立在教学整体的基础之上的，它要求以整体的、动态的眼光看待教学过程的模式优化转换问题
42、。教学模式系统改进功能。二、适应数学新课程理念的中学数学教学模式的理论基础数学教学过程从本质上讲是一种认知过程，而直观是全部认知的基础。数学活动是认识的源泉。数学是学习者有目的的操作活动的产物，这种操作活动不能被他人所代替，只能是学习者主动去建构。从这个意义上讲， 标准中提倡的数学教学活动（方式） ，其理论基础应当是直观主义，活动主义和建构主义。1、数学教学中的直观主义众所周知，夸美纽斯（Comenius）和裴斯塔洛奇（Pestalozzi）都是直观主义的倡导者。97在我国的现代汉语词典中，对直观的解释是“用感官直接接受，直接观察” 。在日本的广辞苑中，对直观的解释是“一般地不含有判断、推理的
43、思维作用，直接把握对象的作用” 。在日本的哲学词典中对直观的解释是“直观是直接地把握对象的全貌和本质的认识作用” 。在数学教育文献中，认为直观是直接“从感觉的具体的对象背后，发现抽象的，理想的（状态）的能力” 。数学家克莱因认为： “数学的直观，就是对概念、证明的直接把握” 。直观在英语中是“ directly perceived through the senses; audio-visual”，也有直接的含义。从以上几种对直观的解释中，尽管从事语言学、哲学、教育学、数学教育学、数学的人，对直观有不同的理解，但是， “直接”对研究对象的“把握”是共同的。由于研究对象的不同，这种“直接的把握”
44、的水平有所不同而已。正如裴斯塔洛奇指出的那样：“直观是全部认识的基础” ， “知识是主体自发活动的产物” ，教育中“培养人的直观的基础，比什么都重要” 。但是，在教学论的著作中，无一例外地会提及“直观性原则” ，在王策三著的教学论稿中，认为直观性原则“这是为处理好教学中词、概念和事物及其形象之间的矛盾关系而提出的” 。这种提法对数学教学并不完全合适。一般地，认为数学是一门逻辑严谨的演绎学科。尤其是以欧几里德的几何原本为典范。但是几何原本是在古埃及、古巴比伦时期的“直观几何”的基础上发展起来的。数学的其它分支的形成、发展也应当如此。数学发展的历史进程，反映了人类对数学的认识过程直观和逻辑之间相辅
45、相成。事实上，存在于“直观几何”与“欧氏几何”之间的“希腊初期阶段的几何” ，已经出现了演绎证明的逻辑成分。数学发展的历史过程，可以反映出人类对数学的认识过程。这对我们在数学教学中贯彻直观性原则可以带来如下启示：（1）数学教学中的直观性原则从本质上讲是认识论的问题；（2）数学教学中的直观性原则应当以直观和逻辑互为表里，密不可分；（3）数学教学中的直观是具有不同水平的。不含有判断推理的直观是数学直观的初级阶段。荷兰数学教育家 VanHiele 提出的“学习水平理论” ，可以作为数学教学中的直观性原理：水平 1. 对实体（数和图形）的直观；水平 2. 对图形的性质的直观；水平 3. 对性质的关系（命题）的直观；水平 4. 对命题的关系（逻辑）的直观。事实上，数学教育中对直观能力的培养，开始总是从对实物的直观，或对图形的直观，这是毫无疑问的。但是随着学习内容的不断深入，对图形性质的直观，对命题的直观就越来越重要了。仍以几何学习为例，随着几何学习的水平的提高，对直观的要求也越来越高。如图 52 所示，对实体的直观可以得到图形，对图形的直观可以得到图形的有关性质，对图形性质的关系的直观可以得到命题。
