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1、1泰山学院信息科学技术学院教案数值分析 教研室 课程名称 概率统计 授课对象 2008 软工授课题目 11 随机试验-12 样本空间、随机事件 课时数 2教学目的通过教学使学生了解必然现象与随机现象、样本空间、随机事件、事件的关系的关系与运算等概念重点难点(1) 重点：随机试验、样本空间、事件的关系的关系与运算的概念；(2) 难点：事件的关系的关系与运算。教学提纲第一章 概率论的基本概念11 随机试验1. 必然现象与随机现象2. 随机试验3概率论与数理统计的研究对象12 样本空间、随机事件1. 样本空间2随机事件3事件的关系的关系与运算(1)事件的包含关系(2) 事件的相等(3)并(和)事件与

2、积(交)事件(4)差事件(5)对立事件(6)互不相容事件（互斥事件）4、事件的运算法则1)交换律 2)结合律 3)分配律 4)对偶原则2教学过程与内容 教学后记第一章 概率论的基本概念11 随机试验1. 必然现象与随机现象在自然界和人的实践活动中经常遇到各种各样的现象，这些现象大体可分为两类：一类是确定的，例如“在一个标准大气压下，纯水加热到 100C时必然沸腾。 ”确定结果的现象称为必然现象（确定性现象） ；另一类现象是随机的，例如：在相同的条件下，向上抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，不论如何控制抛掷条件，在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么，即在一定条件下进

3、行试验或观察会出现不同的结果（也就是说，多于一种可能的试验结果） ，而且在每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果(不能肯定试验会出现哪一个结果） ，这种现象称为随机现象。 2. 随机试验一个试验如果满足下述条件：1.试验可以在相同的条件下重复进行；（可重复性）2.试验的所有可能结果不止一个，并且在试验前就知道所有结果；（范围的确定性）3.试验之前却不能确定出现哪一个结果。 （随机性）称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也简称为试验，今后讨论的试验都是指随机试验。3概率论与数理统计的研究对象概率论是从数量侧面研究随机现象及其统计规律性的数学学科，它的理论严谨，应用广泛，并且有独特的概念和方法

4、，同时与其它数学分支有着密切的联系它是近代数学的重要组成部分。数理统计是对随机现象统计规律归纳的研究，就是利用概率论的结果，深入研究统计资料，观察这些随机现象并发现其内在的规律性，进而作出一定精确程度的判断，将这些研究结果加以归纳整理，形成一定的数学模型虽3然概率论与数理统计在方法上如此不同，但做为一门学科，它们却相互渗透，互相联系。 1样本空间、随机事件随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。例如掷一枚硬币，我们关心的是出现正面还是出现反面这两个可能结果。若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正） 、 （正

5、、反） 、（反、正） 、 （反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。1. 样本空间试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母 表示（本书用 S 表示）每个结果叫一个样本点.例 1 一盒中有十个完全相同的球，分别有号码 1、2、310，从中任取一球，观察其标号，令 i i取 得 球 的 标 号 为，则 0,3,。 例 2在研究英文字母使用状况时，通常选用这样的样本空间：ZYXCBA,空 格 ，例 3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上

6、界，这样，可以把样本空间取为 ,210这样的样本空间含有无穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。例 4讨论某地区的气温时，自然把样本空间取为 ,或ba,2随机事件 中的元素称为样本点，常用 表示。(1)样本空间的子集称为随机事件(用 A,B 表示)。(2)样本空间的单点子集称为基本事件。(3)实验结果在随机事件 A 中，则称事件 A 发生。4(4)必然事件 S 或 。(5)不可能事件 。3事件的关系的关系与运算(1)事件的包含关系若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含了 A， 记作B。(2) 事件的相等设 A,B ,若 ，同时有 A，称 A

7、与 B 相等，记为 A=B，(3)并(和)事件与积(交)事件设 BA,称事件“A 与 B 中至少有一个发生”为 A 和 B 的和事件或并事件。记作 .推广：设 n个事件 nA,21 ，称“ n,21 中至少有一个发生”这一事件为 n,21 的并，记作 1或 i1设 BA,，称“A 与 B 同时发生”这一事件为 A 和 B 的积事件或交事件。 记作 或 推广: 设 n个事件 nA,21 ，称“ n,21 同时发生”这一事件为,21的积事件。记作 n2或 1同样积事件的概念也可以推广为可列个事件的情形。(4)差事件设 BA,，称“A 发生 B 不发生”这一事件为 A 与 B 的差事件，记作(5)对

8、立事件称“ ”为 A 的对立事件或称为 A 的逆事件，记作 。(6)、互不相容事件（互斥事件）若两个事件 A 与 B 不能同时发生，即 B，称 A 与 B 为互不相容事件（或互斥事件） 。注意：任意两个基本事件都是互斥的。(7)完备事件组5若事件满足 ， ，则称 为完备事件组SAn21 ji nA,214、事件的运算法则1)交换律 BB,2)结合律 BCAC,3)分配律 A4)对偶原则 ，B例：A,B,C 是 中的随机事件，试用 A,B,C 表示下列事件。1) A 与 B 发生而 C 不发生 CA或 B2) A 发生，B 与 C 不发生 或3) 恰有一个事件发生 A4) 恰有两个事件发生 BB

9、5) 三个事件都发生 ABC6) 至少有一个事件发生 A B C 或 3)4)5)之并6泰山学院信息科学技术学院教案数值分析 教研室 7课程名称 概率统计 授课对象 2008 软工授课题目 1.3 概率与频率-1.4 古典概型 课时数 2教学目的通过教学使学生了解频率、概率古典概型的概念，掌握概率的性质。会计算各种古典概型问题重点难点(1) 重点：解频率、概率古典概型的概念，掌握概率的性质，古典概型计算；(2) 难点：概率的性质的证明、古典概型计算。教学提纲1.3 概率与频率1.事件发生的频率2、概率的定义（公理化定义）3、概率的性质不可能事件的概率为 0；有限可加性；减法公式；对立事件的概率

10、；法公式1.4 古典概型古典概型的概念，计算公式如下)(AP= 基 本 事 件 总 数包 含 的 基 本 事 件 数nk。1.摸球问题2.分房问题3.抽签原理4.几何概率 教学过程与内容 教学后记81.3 概率与频率1.事件发生的频率在相同的条件下，进行 次试验，事件 A 发生的次数 叫 A 发生的频数，nn比值 叫事件 A 发生的频率。)(fnA频率的性质：（1） 1)(0fn（2） S（3）若 是两两互不相容的事件kA,21)()()()( 21knnnn Affff 当 逐渐增大时 趋于稳定性；(fn2、概率的定义（公理化定义）定义：设 E 是随机实验，S 是样本空间， 是 E 的事件集

11、 到是书记)(pS2之间的函数，如果函数 满足)(p（1）非负性： 0A（2）规范性： 1)(S（3）可列可加性：若 是两两互不相容的事件，则,2)()()(121 ffpnn3、概率的性质1） 不可能事件的概率为 0， )(p )()()p又 0所以 )(2） 概率具有有限可加性： 即若 iAj= （ nji1） ，则)(1niAP= )(1nii；证：根据可列可加性：令 即可；21n3）若 A B 则 P(B-A)= P(B)-P(A); P(B) P(A)一般地。 P(A-B)= P(A)-P(A B) 减法公式证： )(),(, AB9)()(BApBp4)对任一事件 A,P(A) 1

12、；证： ，S)(S5）对任一随机事件 A，有 P（ ）=1-P（A） ；证： ，)()()1pp6）对任意两个事件 A、B，有 P( B)=P( )+P( )-P( AB) 加法公式证： )(),()(p)(1.4 古典概型先讨论一类最简单的随机试验，它具有下述特征：1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性是相等的；称这种数学模型为古典概型。它在概率论中具有非常重要的地位，一方面它比较简单，既直观，又容易理解，另一方面它概括了许多实际内容，有很广泛的应用。)(AP= 基 本 事 件 总 数包 含 的 基 本 事 件 数nk。所以在古典概型中，事件 A 的概率是一个

13、分数，其分母是样本点（基本事件）总数n，而分子是事件 A 包含的基本事件数 k。例 1 一枚硬币重复抛掷两次，求(1)两次正面朝上的概率；(2)恰好一次正面朝上的概率；(3)至少一次正面朝上的概率。,4/3)(,4/2)(,4/)( 111 Appp1. 摸球问题例 2. 在袋子中有 6 个球，4 个白球、2 个红球，从中任取两个（不放回） 。求（1）两个球都是白球的概率， （2）两球颜色相同的概率， （3）至少有一个白球的概率。设 A：两个球都是白球，B：两个球都是红球，C：至少有一个白球基本事件总数为 =152610A 的有利样本点数为 , P(A)=624C521B 的有利样本点数为 ,

14、 P(B)=2P(A+B)=P(A)+P(B)=157P(C)=1-P(B)= 4例 3.再上题中，取球方法改成有放回。P(A)=4*4/(6*6)=4/9P(B)=2*2/(6*6)=1/9P(A+B)=P(A)+P(B)=5/9P(C)=1-P(B)=8/9例 4：一套五册的选集，随机地放到书架上，求第一卷放在最左侧第五卷放在最右侧概率。P(A)=3!/5!=1/202.分房问题例 5：设有 n 个人，每个人都等可能地被分配到 N 个房间中的任意一间去住（nN） ，求每个房间至多有一个人的概率。解：因为每一个人有 N 个房间可供选择（没有限制每间房住多少人） ，所以 n 个人住的方式共有

15、n种，它们是等可能的。每个房间至多有一个人，则第一个人有 种选法，第二个人有 种选法，, 1N第 个人有 种选法.n 个人共有 选法。1 nP)()1(nNP例 6：将 3 个小球随机地放入 4 个盒子中求盒子中球的最多个数分别为 1，2，3 的概率。解：3 个球放入 4 个盒子法有 3种（1）盒子中球的最多个数为 1，有 4P种 341P= 8（2）盒子中球的最多个数为 2，即 3 个球分别放入 4 个盒子中的 2 个盒子中，放法为1124P,其中一个盒子中有 2 个球，另一个盒子中有 1 个球，这一个球从 3 个球中任取，取法为组合数为13C,所以该事件包含的基本事件数为： 24P13C=

16、366942（3）盒子中球的最多个数为 3，即 3 个球分别放入 4 个盒子中的 1 个盒子中，放法为14P,34=163.抽签原理抽签原理：有 个上签， 个下签， 个人依次抽签，采用有放回与无放回抽签，第abk个人抽到上签的概率都是i 证：放回抽样结论是显然的；不放回抽样 bapPkb14.几何概率在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。例如，若我们在一个面积为S的区域 中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域 中有任意一个小区域 A，若它的面积为 AS, 则点 A 落在 A 中的可能性大小与 AS成正比，而与 A 的位置及形状无关。如果点 A 落在区域 A 这个随机事

17、件仍记为 A，则由 P( )=1 可得 P(A)= S, 这一类概率称为 几何概率。例 8：(会面问题）甲乙两人约定在 0 时到 1 时之间某处会面，求两人到会面出时间差不超过 15 分钟的概率。解：以 x 和 y 分别表示甲乙约会的时间，则 10,y两人到会面出时间差不超过 15 分钟 25.yx在平面上建立直角坐标系， 由等可能性 P(A)= 。 175.0SA12泰山学院信息科学技术学院教案数值分析 教研室 课程名称 概率统计 授课对象 2007 级（计科）授课题目 1.5-16 条件概率,事件的独立性 课时数 2教学目的通过教学使学生了解条件概率、独立性概念，掌握乘法公式、全概率公式、

18、贝叶斯公式、贝努里概型计算公式。重点难点(1) 重点：乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、贝努里概型计算公式；(2) 难点：乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、贝努里概型计算公式应用。教学提纲1.5 条件概率(1)条件概率的定义(2) 条件概率的性质2.乘法公式当 P(A)0 时: P(AB)= P(A)P( AB)(21nAP= (112P(213 ).(121nnAP3 全概率公式P(A)= )(1niiBi4、贝叶斯公式1.6 独立性一、 独立性概念1、 两个事件的独立性2、多个事件的独立性；3.贝努里概型P（X=k）= knkBqpCk )( k=0.1.213教学过程与内容 教学后记1.

19、5 条件概率一、条件概率(1)条件概率的定义定义 1.设事件 B 的概率 .对任意事件 ，称0)(pA为在已知事件发生的条件下事件发生的条件概率。)(|(PAp例 1：掷一门硬币两次，设事件 表示“至少有一次正面朝上” ， 表示“两次面向B同” ，求 。B|解 ， ，214)(41)(AB)(|(PAp(2)性质不难验证条件概率(.|B)具有概率的三个基本性质(1)非负性：对任意事件 0)|(,BAp(2)规范性： 1)|(p(3)可列可加性： ,2互不相容，有 PPiii11例 2：一个盒子中有 4 件产品，3 件一等品，1 件二等品，从中任取两件，设事件表示“第一次取到一等品” ， 表示“

20、第二次取到一等品” ，求 。ABABp|解： 3/24/)(| 23CAPpB这一结果的意义是明显的二、乘法公式由条件概率的定义可知，当 P(A)0 时: P(AB)= P(A)P( AB)同理当 P(B)0 时, P(AB)= P(B)P( A)这个公式称为乘法公式乘法公式可以推广到 n 个事件的情形，)(21nAP= (1)12P)(213 ).(121nnAP( .0)例 3：设袋中有 r 个红球，t 只白球，每次从袋中取出一只观察颜色后放回，然后再14放入 a 只与所取那只球同颜色的球，若连取四次，球第一二次得到红球，第三四得到白球的概率。解：设事件 表示“第 i 次取到红球” ，iA

21、)|()|()|()( 32142131214321 ApApp= atrtatr三、全概率公式定理 1：设 1B, 2.是 一列互不相容的事件，且有 inB1=,对任何事件 A，有 P(A) ni iiAp)|()证明： nnABS 121,)( )()pB ni iiBp)|()例 1：某工厂有三条生产线生产同一中产品，该 3 条流水线的产量分别占总产量的20%，30%，50%，又这三条流水线的不合格品率为 5%，4%，3% ，现在从出厂的产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？解：设 ：表示产品来自第 i 条生产线iBA：表示抽到不合格品由题意 5.0)(,3.0)(,2.0)(

22、 321 Bppp3.)|,4.|5| AABP(A) 0.4)|()31 i ii=0.037四、贝叶斯公式在上面的计算中，事实上已经建立了一个极为有用的公式：定理 2：若 1B, 2.是一列互不相容的事件，且 in1=,P( iB)0, .2,1则对任一事件 A,P(A)0 有 P ( iA)=1)(j jjiiP贝叶斯公式在概率论与数理统计中有着多方面的应用，假定 1B, 2 是导致试15验结果的“原因”,P( iB)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性的大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道，现在若试验产生了事件 A，这个信息将有助与探讨事件发生的“原因” ，条件概

23、率 )(iBAP称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识.例 5：某工厂有 3 条生产线生产同一中产品，该 3 条流水线的产量分别占总产量的20%，30%，50%，又这 3 条流水线的不合格品率为 5%，4%，3%，现在从出厂的产品中任取一件，已知抽到不合格品，求该产品来自一车间的概率.解：设 ：表示产品来自第 i 条生产线iBA：表示抽到不合格品由题意 5.0)(,3.0)(,2.0)( 321 Bppp3.)|,4.|5| AAB710.50.305.2)|()|)|(311 i iipAp例 6 甲乙两人同时设计同一目标，甲命中的概率为 0.6，乙命中的概率为

24、 0.5。已知已命中目标，求是甲命中目标的概率。1.6 独立性一、 独立性概念1、 两个事件的独立性例 1、设袋中有五个球（三新两旧）每次从中取一个，有放回地取两次，记 A=第一次取得新球 B=第二次取得新球 。求：P(A), P(B), P(AB)。解：显然 P(A)= P(B)= P(BA)=53259P(B|A)= P(B) 由此可得 P(AB)= P(A) P(B)。定义：设 A、B F,若 P(AB)= P(A) P(B) 则称事件 A、B 是相互独立的，简称为独立的。2、多个事件的独立性；定义 2、设三个事件 A,B,C 满足16P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(

25、C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称 A,B,C 相互独立。定义 3.对 n 个事件 ,21A， n若对于所有可能的组合 1 nkji有 )(jiP= )(jipkji= kji)(21nA= )()(21nApP则称 ,相互独立。n 个事件相互独立，则必须满足 1n个等式。显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意 m（2 n）个事件也相互独立。3、独立性的性质定理 1 四对事件A、B， BA,，A， 、 A、 B中有一对相互独立，则其它三对也相互独立。定理 2 设 n,21相互独立，则将其中任意 m 个（1 n）换成其对立事件，则所得 n 个事件也相互

26、独立。特别地，若 n21,相互独立，则 nA,21也相互独立。二、独立性的应用1、相互独立事件至少发生其一的概率的计算设 nA2,相互独立，则 )(1P=1- 21n=1- )(21nAP=1- )()(21nAP这个公式比起独立的场合，要简便的多，它简便的多，它经常用的到例 2.假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合 100 个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？解：设 iA=第 I 个人血清中含有肝炎病毒 10,2i可以认为 1021,相互独立，所求的概率为)(P=1- )()(1021AP=1- 1096.=0.3317虽然每个人有病毒的概率都是很小，但是混合后，则有很大

27、的概率，在实际工作中，这类效应值得充分重视。例 3.张、王、赵三同学各自独立地去解一道数学题，他们的解出的概率为1/5，1/3，1/4，试求（1）恰有一人解出的概率；（2）难题被解出的概率。2、在可靠性理论中的应用对于一个电子元件，它能正常工作的概率 p，称为它的可靠性，元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性，随着近代电子技术组成迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科-可靠性理论. 例 4. 例 28p三、贝努里概型贝努里试验:若试验 E 只有两个可能的结果 A 及，称这个试验为贝努里试验。贝努里概型设随机试验 E 具有如下特征：1）每次试验是相互独立的；2）每

28、次试验有且仅有两种结果：事件 A 和事件；3）每次试验的结果发生的概率相同即 P（A）=p， P（ ）=1-p=q。称试验 E 表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了 n 次，则这个试验也称为 n重贝努里试验。记为 n。由此可知“一次抛掷 n 枚相同的硬币”的试验可以看作是一个 n 重贝努里试验。一个贝努里试验的结果可以记作 ,(21 n）其中 i（1 )或者为 A 或者为，因而这样的 共有 n2个,它们的全体就是贝努里试验的样本空间 。,(21 n)如果 i（1 中有 k 个 A，则必有 n-k 个A。于是由独立性即得 P（ ）=knqp。如果要求“n 重贝努里试验中事件 A 出现 k 次

29、”这一事件的概率记 kB n 重贝努里试验中事件 A 出现 k 次。18由概率的可加性 P（X=k）= knkBqpCk )( k=0.1.2n在 n 贝努里试验。事件 A 至少发生一次的概率为 1- 。例 10：假定某人做 10 个选择题，每个题做对的概率均为 ；求41（1）该同学做对 3 道题的概率；(2) 该同学至少做对 3 道题的概率；例 5. 某人有一串 m 把外形相同的钥匙其中只有一把能打开家门。有一天该人酒醉后回家，下意识地每次从 m 把钥匙中随便拿一把去开门，问该人第 k 次才把门打开的概率为多少？P（第 k 次才把门打开）= )1(m)1(= m1)(k19泰山学院信息科学技

30、术学院教案数值分析 教研室 课程名称 概率统计 授课对象 2007 级（计科）授课题目 21 一维随机变量-22 离散型随机变量及分布列 课时数 2教学目的通过教学使学生了解一维随机变量的概念与分类，掌握离散型随机变量的分布列，及常见的离散型随机变量及其分布 重点难点(1) 重点：一维随机变量的概念，离散型随机变量的分布列及常见的离散型随机变量及其分布。 (2) 难点：离散型随机变量的分布列及常见的离散型随机变量及其分布。 教学提纲第二章 随机变量及其分布2.1 一维随机变量一、概念二、随机变量的分类2.2 离散型随机变量及分布列一、定义二、离散型随机变量及分布列分布律(列)三、常见的离散型随

31、机变量及其分布(1)两点（0-1）分布 (2)二项分布 (3)普哇松（Poisson）分布 (4)超几何分布 (5)几何分布(6)退化分布 20教学过程与内容 教学后记第二章 随机变量及其分布2.1 一维随机变量一、概念在上一章，我们研究了随机事件及其概率，细心的同学可能会注意到在某些例子中，随机事件与实数之间存在某种客观的联系。例如袋中有五个球（三白两黑）从中任取三球，则取到的黑球数可能为 0，1，2 本身就是数量且随着随机试验结果的变化而变化的。有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定若试验结果出现正面, 令 =1,

32、 从而试验结果出现正面=（=1） ；若试验结果出现反面, 令 =0, 从而试验结果出现反面=（=0） 。为了计算 n 次投掷中出现正面数就只需计算其中“1”出现的次数了。一般地，若 A 为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系定义 1：样本空间到实数记得函数 称为随机变量，记作 X.通常用大写字母)(XX,Y,Z 等表示随机变量例 1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数 为随机变量， 的可X能取值为 0，1，2例 2：某一公交车站每隔 5 分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量 , 的可能取值为 。X5,0二、随机变量的分类从随机

33、变量的取值情况来看，若随机变量的可能取值只要有限个或可列个则该随机变量为离散型随机变量，不是离散型随机变量统称为非离散型随机变量，若随机变量的取值是连续的，称为连续型随机变量，它是非离散型随机变量的特殊情形。从随机变量的个数来分，随机变量可分为一维随机变量和多维随机变量.212.2 离散型随机变量及分布列一、定义定义 2：设随机变量 X 的取值为取有限个或可列个，则称 X 为一维离散型随机变量，简称离散型随机变量。讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面：一是随机变量的所有可能取值；更主要的的是搞清楚随机变量取这些可能值的概率。例 1：设袋中有五个球（3 个白球 2 个黑球）从中任取两球，则取到

34、的黑球数为随机变量 X 的可能取值为 0，1，2。, ,P536P10XP把它们写成X 0 1 2PX=K 3/10 3/5 1/10二、离散型随机变量及分布列分布律(列)如果离散型随机变 X 可能取值为 ，相应的概率 为随机,21xkpxXp变量 X 的分布列，也称为分布律，简称分布。也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量 的分布律： ixx,21kxXp kpx21分布列的性质由概率的性质可知，任一离散型随机变量 X 的分布列都具有下述性质：非负性：1） 0ip规范性：2） 1i反过来，任意一个具有以上性质的数列都可以看成某一个随机变量的分布列。由此可知，取各种值的概率都可以由它

35、的分布列，通过计算而得到，这种事实常常说成是，22分布列全面地描述离散型随机变量。例 2：一个口袋中有 n 只球，其中 m 只白球，M-m 只白球无放回地连续地取球，每次取一球，直到取到黑球时为止，设此时取出了 X 个白球，求 X 的分布列。三、常见的离散型随机变量及其分布1.两点（0-1）分布 设离散型随机变量 X 的的分布列为01P其中 ，则称 X 服从两点分布，亦称服从（01）分布.2. n 重贝努力实验与二项分布 贝努里试验:若试验 E 只有两个可能的结果 A 及，称这个试验为贝努里试验。贝努里概型设随机试验 E 具有如下特征：1）每次试验是相互独立的；2）每次试验有且仅有两种结果：事

36、件 A 和事件；3）每次试验的结果发生的概率相同即 P(A)=p， P( ）=1-p=q 。称试验 E 表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了 n 次，则这个试验也称为 n重贝努里试验。记为 n。由概率的可加性 P（X=k） knkBqpCk )( k=0.1.2n在 n 贝努里试验。kXP(),01,2knppq其中 ，则称 X 服从参数为 的二项分布，简称 X 服从二项分布，01,np记为 X (;).bkn易验证 0),()1knnPCpq显然，当 =1 时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例.例 3：假定某人做 10 个选择题，每个题做对的概率均为 ；求4123（1

37、）该同学做对 3 道题的概率；(2) 该同学至少做对 3 道题的概率；例 4：（有放回的摸球模型是 n 重贝努力实验）在盒子中有 6 个球，4 个白球、2 个红球，从中任取两个（有放回） 。求取出的两个球都是白球的概率，两球颜色相同的概率，至少有一个白球的概率。P(A)= =3212C94P(B)= =1/902P(A+B)=P(A)+P(B)=5/93.普哇松（Poisson）分布 设离散型随机变量 的所有可能取值为 0，1，2， ，且取各个值的概率为(),01,2!keP其中 为常数，则称 服从参数为 的普哇松分布，记为 .易验证 0 (;)Pk0(1),01,2;2)!kkPe普哇松分布

38、是重要的离散型随机变量的概率分布之一，有广泛的应用.例如，来到某售票口买票的人数；进入商店的顾客数；纱锭上棉纱断头次数；放射性物质放射出的质点数；热电子的发射数；显微镜下在某观察范围内的微生物数；这些随机变量都可利用普哇松分布.定理 2.1 （普哇松定理）在 重贝努里试验中，事件 在一次试验中出现的概率为nA（与试验总数 有关）如果当 时， 常数） ，则有 npn(0npkknqClim0(;,),01,2!xbe4几何分布 设 是一个无穷次贝努里试验序列中事件 首次发生时所需的试验XA次数，且可能的值为 而取各个值的概率为,.kp11()(,2.kkPpq24其中 ，则称 X 服从几何分布.

39、易验证01,pq11()0,2,2kkP例 5 某跳高运动员跳过某一高度的概率为 P，设每人有 6 次试跳机会，X 表示试跳次数，求 X 的分布列。解： ， ， px1px)1(2p4)1(55)(6P（5）超几何分布已知一批产品共 件，其中 件是次品，从中任取 件，试求这 件产品中所含次品件数 的分布律。显然，取得的次品数 只能是不大于 与 最小者的非负整数，即 的可能取值为： ，由古典概型知),min(,10N nNkMCkXp称 服从超几何分布。泰山学院信息科学技术学院教案数值分析 教研室 25课程名称 概率统计 授课对象 2007 级（计科）授课题目 23 分布函数-24 连续型随机变

40、量及其概率密度 课时数 4教学目的通过教学使学生了解分布函数的定义与性质及连续型随机变量及其概率密度，掌握常见的几种连续型随机变量及其分布重点难点(1) 重点：分布函数的定义与性质及连续型随机变量及其概率密度，常见的几种连续型随机变量及其分布。 (2) 难点：分布函数的定义，正态分布。教学提纲2.3 随机变量的分布函数一、分布函数的定义与性质分布函数的定义分布函数的性质：二、举例2.4 连续型随机变量及其概率密度一、一维连续型随机变量的概念、性质、表示二、常见的几种连续型随机变量及其分布均匀分布指数分布3.正态分布教学过程与内容 教学后记262.3 随机变量的分布函数一、分布函数的定义与性质定

41、义 1 X 是随机变量， 是任意实数称x)(PxF是随机变量 X 的概率分布函数 .简称为分布函数.分布函数的性质：（1）单调性 若 则 ；12,x12()Fx（2） ()lim0xF()（3）右连续性 )(0xF（4） abXaP如果 那么 X 的分布函数为 kppxx21xjjF)(二、举例例 1 设离散型随机变量 X 的分布列如下： 4123(1) 求 X 的分布函数；（2）求 32,5, Xpp解 31210)(431xxF41Xp212()523F27432Xp例 2，课本 例 250. 2.4 连续型随机变量及其概率密度一、一维连续型随机变量的概念定义 1 若 X 是随机变量， 是

42、它的分布函数，如果存在函数 ，使对任意()Fx )(xf的 ，有x（*）xdtfF)()(则称 X 为连续型随机变量，相应的 为连续型分布函数.同时称 是 的概率()Fx)(xfF密度函数或简称为密度.密度函数 具有下述性质：)(xf（1）非负性 0（2）规范性 1)(dxf（3） 21Xxp212()()xPFpydf（4） 0（5）由 式可知，对 的连续点必有xdtf)()( ()xf)Fpf例 1：已知随机变量 的分布密度为otherxkxf0432)(1)求 (2)求分布函数 ；k()F（3） 3,21,2XppX解：（1） ，的 )(dxf61k（2）由分布函数的定义可知28当 时，

43、0x)(xXpxF()0Pd当 时，320xy61t当 时，4x)(xXpxF423当 时， 1综上所述4132300)(xxxF（3） 03),1(21,)( XpFXpXp二、常见的几种连续型随机变量及其分布1、 均匀分布若随机变量 X 的概率密度函数为)(xf10axbpb其 他时，则称随机变量 X 服从 上的均匀分布.显然 的两条性质满足.其分布函数为,)(xf()1xaFxbb记为 X .,Ua图像2、 指数分布若随机变量 的分布函数为X001)( xepxF29概率中称 服从参数为 的指数分布.而随机变量 的概率密度为XX)(xf,0xep图像：性质：无记忆性. 对于任意 0,ts

44、)(1,| sFtsXPtsXPtXtsP tste)( t说明一个电子元件用了 s 小时后再用 t 小时的概率，与新产品用 t 小时的概率相等。3.正态分布正态分布是概率论中最重要的一个分布，测量误差、射击时弹着点与靶心间的距离、热力学中理想气体的分子速度、某地区成年男子的身高等都可以认为服从正态分布.（1）正态分布设随机变量 X 的概率密度为（*）)(xf2(),xpex是两个常数，则称设随机变量 X 服从 的正态分布，记为,0,(0),(2NX相应的分布函数为2()1(),2yxFxedx并且0f 1)(_f因为：dtextdedxf x _2_2)(_ 1)( 下证 2_2teI30（

45、极坐标变换）2_2_2_22 dtsedsetI t（2）标准正态分布分布常常称为是标准正态分布，其密度函数通常以 表示，相应的分布(0,1)N ()x函数则记作 ，所以x21()()yxxyded(3)正态分布的性质(1) 是偶函数，图像关于 y 轴对称， 关于 对称；)(x)(xf（2） 在 ， 在 取得最大值；0)(xf（3） 是 的拐点； 是 的拐点，1x)(xf 13|XP(4) 当 固定时， 的值愈小， 的图像就愈尖、愈狭， 的值愈大，的图像就愈平、愈宽.由此可见，如果 在 点的附近愈尖、愈高，则随机变量)(xf ()px在 点附近取值的概率也愈大.（5）若 ，则),(2NX5.0X（6） 1)x(4)一般正态分布的标准化引理：设随机变量 ，则),(2NX),(2NY设 是 分布的随机变量，则2(,)2()1()yxPxed这时，令则 也是一个随机变量，并且有()()()2PxxPx