1、t导数及其应用 导数的运算1. 2.1常数函数与事函数的导数1. 2.2导数公式表及数学软件的应用【明目标、知重点 1.能根据定义求函数 y=c, y=x, y=x2, y = -, y = X的导数2能利用 x给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.填要点记疑点1 .几个常用函数的导数原函数导函数f(x) = cf (x) = 0f(x) = xf (x) = 1f(x) = x2f (x)=2x,1f(x)=x1f (x)=-xf(x)=vx1f3二砺2 .基本初等函数的导数公式原函数导函数y= cy =Qy= xn(n N )y = nxn 1y=x1x0, 产0且4Q)/1y =
2、y= sin xy = cos_xy = cos xy = sin_xy=ax(a0, aw1)V = axln axy= ey = exy=logax(a0, aw1, x0)y xln ay= In x1，1y =3 x1探要点,究所然情境导学在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求 出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题.探究点一几个常用函数的导数思考1类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义法求函数 y=f(x)的导函数?利用定义求下列常用函数的导数：丫二弓丫=*,y=x2,y=工，y=承. x答计算亍并化简； X(
3、2)观察当Ax趋近于0时，口电近于哪个定值;tl巨近于的定值就是函数 y=f(x)的导函数.y =0,y = 1,y = 2x,y=蚪曰=1_ 1x+ Ax x 11财01=”0 xx)= -x2(其它类同)，11y =嬴思考2在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x, y=3x, y=4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数.(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？(3)函数y=kx(kw0)增(减)的快慢与什么有关？答 函数y=2x, y=3x, y=4x的图象如图所示，导数分别为 y =2, y =3, y = 4.(1)从图象上
4、看，函数 y=2x, y=3x, y=4x的导数分别表示这三条直线的斜率.(2)在这三个函数中，y= 4x增加得最快，y= 2x增加得最慢.(3)函数y=kx(k0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢.函数y=kx(k0)减少的快慢与|k府关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少得越慢.(1,1)处的切思考3画出函数y=1的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点 x线方程.答 函数y=1的图象如图所示，结合函数图象及其导数y =4发xx4 3:3 二 3(4)y =(历 =(x4)=-x
5、4=丁;441x1y =(l0g3x) =xn.反思与感悟 对于教材中出现的基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin9=乎是常数，而常数的导数一定为零，就不会出32灵活变形.如根式、分式可转化为指数现bin;f： = cos於样的错误结果.二是准确记忆, 1 3 3式，然后利用公式求导.跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y=x8; (2)y=(2)x; x(5)y= log3x.解(1)y =0;(2)y =(5x) =5xln 5;(3)/) =(x 3)，=- 3x 4;y=x市；(4)y= log3x.解(1)y =8x7；(2)/ =(
6、2)xln 2=(1)xln 2;3,3 -2y=xMx=xj, - y =x ；22,11(4)y = -7一 百xln 二例2判断下列计算是否正确.求丫=8$ x在x = /处的导数，过程如下:3解错误.应为v =sin x,.f I Tt.兀73 y |x=-=- sin 3=- 2 .(x)在点x=xo处的函数值.在求函数在某点反思与感悟函数f(x)在点xo处的导数等于f处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将xo代入导函数求解，不能先代入后求导.跟踪训练2 求函数f(x)=ln x在x= 1处的导数.一 .1解 f (x)=(ln x) = 一，f (1) = 1, x二函数f(
7、x)在x= 1处的导数为1.探究点三导数公式的综合应用例3已知直线l: 2xy+4 = 0与抛物线y=x1.给出下列结论： 右y=飞，则v x相交于A、B两点，。是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P,使 ABP的面积最大.解设 P(xo, yo) k= 2x0 = 2, xo = 1, yo =1故可得P(1,1), 切线方程为2xy1 = 0.由于直线l: 2x- y + 4=0与抛物线y=x2相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使4ABP的面积最大，只要 P到AB的距离最大，故 P(1,1)点即为所求弧 AOB上的点，使4ABP的面 积最大.反思与感悟
8、利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点 P(xo, yo)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练3曲线y=x若y= jx,则y 1右y= 2,则y x + 3x2+6x10的切线中，求斜率最小的切线方程.解由题意知： , =3x2+6x+6= 3(x+1)2+3,当x= 1时，v取最小值为3,即最小的斜率为 3.此时切点坐标为(一1, 14).，斜率最小的切线方程为y+ 14= 3(x+ 1),即 3x-y- 11 = 0.= 3x；3=-2x当堂测查疑缺若
9、 f(x)=3x,则 f (1) = 3.其中正确的个数是()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案 C解析y=4= x 3, x则 v =- 3x 4=-4；x，N=x3 ,则 y，=3 x 3 才亲；y=12= x-2,则 y，=-2t3； x由 f(x)= 3x,知 f (x) = 3,f (1)=3.，正确.2.函数 f(x) = Vx,则 f (3)等于(3A.玄6B. 0i C.2.x答案3D.y解析ff(x)=(5r =21x(3)_ _亚 (sWG.3.设正弦曲线y= sin x 上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是()A.0,力切字向B. 0,另
10、C.4，3PD. 0,加：,3p答案 A解析 (sin x) = cos x,- ki= cos x,-Kki1, 1- wC 0, 4U ?，九4.曲线y=ex在点(2, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .答案2e2解析 . y，=(ex) = ex, ，k=e2,曲线在点(2, e2)处的切线方程为 ye2=e2(x 2), 即 y=e2xe2.当 x=0 时，y=e2,当 y= 0 时，x= 1.121 2Sa = -x 1X| e |=-e .呈重点、现规律1 .利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征
11、，积极地进行联想化归.2 .有些函数可先化简再应用公式求导.如求 y= 1 2sin2郛导数.因为 y= 1 2sin2x= cos x,所以 y = (cos x) = sin x.3 .对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.1 .现，当x0时， -4 x=随着x的增加，函数减少得越来越慢.点(1,1)处切线的斜率为一1,过点(1,1)的切线方程为y=- x+2.探究点二基本初等函数的导数公式思考 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度.例1求下列函数的导数：(1)y=sinS； 1 (2) 3y=5x；y= 4； (4)y= x3;
