1、三角恒等变换-小结与复习一、教学目标：知识与技能：1、熟练掌握三角恒等变形的公式，理解三角恒等变换的基本思想，培养的定向思考和逆向思维能力，理 解化归思想。2、能独立分析和解决一些三角问题。 过程与方法：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中白应用. 情感、态度与价值观通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法 的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力二.重点难点重点：三角恒等变换的模式难点：对变
2、换方法的理解和掌握三、教材与学情分析本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上，从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重 要特点.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教五、教学过程（一）回顾反思，构建知识络)典例解析，形成技能专题一
3、三角函数式的求值问题三角函数式求值主要有以下三种题型.(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非 特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题.(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于变角”,如“=(a+ 3 )- 3, 2k (a+ 3)+(a份等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的 范围的讨论.(3)给值求角：实质上是转化为给值求值”问题，由所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角.例1的值是(sin 15 平 cos 15sin 15 cos 15B.可C.可 D. -V344(
4、2)在4ABC 中，3sin A +4cos B=6, 4sin B+3cos A=1,则 C 的大小为 解析:(1)原式=tan 15 1tan 15 - 11 + tan 151 tan 15tan 45 平 tan 151 tan 45 tan 15=tan (4515 ) = - tan 60 =-3.11(2)两式左右两边分别平万相加，得 sin(A+B) = -,则sin C= sin (A+B)=-,所以 C = g C = 5r.1 3sin A=64cos B2,得 sin A |1,所以 A,所以 C5u,故 C=/ 663 2666，、TT答案：(1)D (2)- 6A归
5、纳升华：对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段.变式训练已知sin卜一4 噜,cos 2a= 25,则sin “=()4A. 5C.3D.5解析：因为sin1G 7-5 晌、/ d .广4厂10 ,所以2sinacos a= 710,即 sin a cos a= 5,因为 cos 2 a= 25,所以 cos2 a- sin2 a=25即(cos a- sin a) (cos a+ sin o) = I,25所以 cos a+ sin a=-, 可得 sin a=3 55,答案：D专题二三角函数式的化简与证明三角函数式的化简的基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称.
6、在具体实施过程中，应着重抓住 角” 的统一.通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升骞、降骞、逆用公式等手段将 其化简.三角函数式的证明实质上也是化简，具有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达 到证明目的.，cos 10例 2化简(tan 10 - V3)sn项-.解：原式=sin 10cos 10cos 10 sin 50 sin 10 : V3cos 10sin 502sin (10 -60)-2sin 50sin 50sin 50。=-2.2 1sin 1023cos 10sin 50A归纳升华：本题中既有弦函数，又有切函数，由于涉及弦函数的公式较多，采
7、用了切化弦的方法，有利于化简的进行；并用特殊角的三角函数表示特殊值，为逆用正弦的差角公式创造了条件,解法简捷，明快.变式训练求证:1 2sin xcos x 1 tan xcos2 x sin2 x1 + tan x证明：法一：右边=sin x1 Vcos x cos x sin x(cos x sin x) 2sin x cos x+ sin x (cos x- sin x) (cos x+ sin x) 1 +cos xcos2x+ sin2x 2sin xcos x 1 2sin xcos xcos2 x sin2 xcos2 x sin2x=左边.所以原命题成立.法二：左边=sin x
8、+ cos x2sin xcos xcos2x sin2x(cos xsin x) 2cos x sin x 1 tan xcos2 x sin2 xcos x+ sin x 1 + tan x=右边，所以原命题成立.专题三三角恒等变换的综合应用高考常以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂,我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为 = Acos(cox+ 4)+等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.y=Asin(cox+ 或 y例 3 已知函数 f(x) = sin (2- x sin x J3cos2
9、x.求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在一6,孕上的单调性.解：(1)f(x) = sing x Sin x- 13cos2x= cos xsin x号(1 + cos 2x)=gsin 2x 竽cos 2x停=sin 2x -萼，因此f(x)的最小正周期为 兀，最大值为2声.322(2)当xC 6，空时，0W农一3从而当0W次一3号，即6a母F寸，f(x)单调递增，当2c及一 3W K即12立吊细,f(x)单调递减.综上可知，f(x)在，1亚单调递增，在 器，2f1卜单调递减.A归纳升华：高考对三角函数性质的考查主要涉及单调性、奇偶性、周期性等.解答时通常是先将函数简化为形如
10、f(x)= Asin (cox+昉+ B的形式，然后根据正弦函数的图象与性质求解.变式训练函数f(x) = sin2x+sin x cos x+1的最小正周期是 ,最小值是 .解析：f(x) = sin2x+ sin xcos x+ 1 = cos 2x+ 2sin 2x+ 1 = 33+半sin(2x一力.故最小正周期T=兀当sin(2x ：)=1时，f(x)取得最小值为1-J22 = 3-2.答案：兀3专题四转化与化归思想角和(差)的正弦公式.以及二倍角公式的推出都体现了转化与化归的思想. 简、求值、证明中角的变换、函数名称变换问题，解决了三角函数最值问题.例 4 已知 sin“j sin
11、1,代 , 可 求 sin 4 o.解：因为4 +； 00=2,所以 sin 4 a 卜 cosa/所以 sin + aj sin % 一止 sin+ aj cos+ aj= 2sin 2+ 2 5k. 又因为 ti 2 a 2 Tt, cos 2 a=(,所以 sin 2 a= 一 ： 2.4 2所以 sin 4 a= 2sin 2 acos 2 a= 9 .应用该思想解决了三角函数式业Icos 2 a=263),从而推导出两角和的余弦公式.然后利用诱导公式实现正弦余弦的转化，推导出两本章以两角差的余弦公式为基础利用换元法，将两角和的余弦公式转化为两角差的余弦公式的形式，A归纳升华：解三角函数求值问题,要优先考虑角与角之间的关系,4 + 与4-”互余,从而化为同角变式训练已知 sin 22 != 5，cos3;=1|,且“一出口 3分别为第二、第三象限角, 1322求tan解：因为sin&I,且L产第二象限角，所以cos卜一力:又cos11，叱-3为第三象限角，所以sin所以tan-4 tan2 J 3，均叫2512,所以 tan 告& tan a七一4_ 53123)1-36316.六、课堂小结1 .三角恒等变换常见的基本问题及解题基本思路2 .解题中体现的变换方法，转化思想及方程思想。七、课后作业1.课时练与测八、教学反思
