1、指数函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考 考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨.1 .比较大小2 _ x . x例1已知函数f(x) x bx c满足f(1 x) f(1 x),且f(0) 3 ,则f (b )与f (c )的大小关系是 .分析：先求b, c的值再比较大小，要注意 bx, cx的取值是否在同一单调区间内.解： f(1 x) f(1 x),:函数f (x)的对称轴是x 1 .故 b 2 ,又 f(0) 3, c 3 .:函数f (x)在 8/上递减，在1, OO上递增.若
2、x0 ,则 3x2x1 ,f (3x) f (2x)；若 x 0 ,则 3x 2x 1 ,f(3x) f (2x).综上可得 f(3x) f(2x),即 f(cx) f (bx).评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参 数进行讨论.2.求解有关指数不等式例2已知(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x,则x的取值范围是 .分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围.解：a2 2a 5 (a 1)2 44 1,:函数y (a2 2a 5)x在(8, 8)上是增函数，1 13x 1 x ,解得x . ：x的取
3、值范围是 ,8 .44评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论.3 .求定义域及值域问题例3求函数y J 6x 2的定义域和值域.解：由题意可得1 6x 20 ,即6x 2 W 1，x 200,故*02. :函数f(x)的定义域是8,2.令 t 6x 2,则 y JT7 ,又 x02, x 2 0.0 6x 2 W 1 ,即 0 t 1 .00,因值 小a ,1，故5 .又二口a-1则：1.又.又五)口，故H0 , Ji&J,从而1，这样白谭之/ .又因cyFnl , W而*/，这与已知 =b矛盾.-5
4、.因若事工5 ，则5 1，这样有*之1 .又因X。，且bf ,从而这与已知/二/矛盾.小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.2曲线CiGGC 分别是指数函数、三朦J=s, y三*和的图象，则1，瓦J4与i的大小关系是().(工)a网 a b d cCQ b a c Ld LO c 0 且 y w 1 .(2)y =4x+2x+1+1 的定义域为 R. - 2x0, ：.y = 4x+2x+1+1 = (2 x) 2+2 - 2x+1 = (2 x+1) 21.：y = 4x+2x+1+1 的值域为 y I y1.4已知-1Wx&2,求函数f(x)=3+2 - 3x+1-9的最
5、大值和最小值.一 x 一 ,.1-2. . 一一一 一 一 . 一解：设 t=3 ,因为-1 &xw 2,所以一 t 9,且 f(x)=g(t)=-(t-3)+12,故当 t=3 即 x=1 时，f(x)取最大值 12,当 t=9 即 x=2 时 f(x)取3最小值-24_ 0*5、设,求函数y = 4 -32 +5的最大值和最小值.d* - rM _一子尸=、电+ 5分析：注意到口一2)一乙 一上)，设2=酎，则原来的函数成为2,利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值.解：设2*=爆,由。03三2知，r-4 3 =y = u3 - 3y = 5,函数成为-,故函数最小值为-3 3
6、+5=-2.1?,因端点以二1较蕈二4距对称轴厘=3远，故函数的最大值为 2-31-k5 = 226 (9分)已知函数2xa2ax 1(a1)在区间 1,1上的最大值是14,求a的值.解： y a2x2ax1( a 1),换元为yt22t-t a),对称轴为t 1. a,即x=1时取最大值，略解彳导a=3 (a= 5舍去)7.已知函数/三户一名* +2 (口口且以Ml(1)求/的最小值;二=-如果+2=g* -/-.解：(1).,24时，一一有最小值为 4-34 + 2 = 01乂口 -2) 1 时，.31时，1。葭2匚二0解得1 屋2取值范围.一、 2, 一8 (10 分)(1)已知f(x)
7、 m是奇函数，求常数m的值;x(2)回出函数y | 31 |的图象,3x 1. .Y,并利用图象回答：k为何值时，方程|3 - 1 I解？有一解？有两解?解：(1)常数m=1(2)当k0时，直线y=k与函数y | 3x1 |的图象无交点，即方程无解；当k=0或k 1时，直线y=k与函数y|3x 1 |的图象有唯一的交点，所以方程有一解x当0k1时，直线y=k与函数y | 311的图象有两个不同交点，所以方程有两解。八冷二；+口的值.9 .若函数工1是奇函数，求5.解：*，为奇函数，八-/ 八十 口 二一-a即二1211 1，口 二一 二 _ 1二一则 y1 2-肃-11 22 1-2:M ，二
8、 210 .已知9x-10.3x+90,求函数y= ( 1) x-1-4- ( -) x+2的最大值和最小值42解：由已知得(3x) 2-10 - 3x+90得(3x-9) (3x-1) 0K 3x（V,于是222,即2,故所11 .已知 4 ，求函数2 的值域.解：由严制了得2冉“ 42川，即幺+黑4-2震,解之得-抬工三1求函数的值域为x2 2x 212 .（9分）求函数y 2的定义域，值域和单调区间定义域为R值域（0, 8。（3）在（-8,1上是增函数在1, +00）上是减函数。x2 3x 2，一，113求函数y=的单调区间.3分析 这是复合函数求单调区间的问题uu1 c1可设y= ,u
9、=x-3x+2,其中y= 为减函数3 3.u = x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间 （即减减-增）u = x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间 （即减、增-减）“ 、r12、一一解：设y= ,u=x-3x+2,y 关于u递减,3当xC（-8, Z）时，u为减函数，2：y关于x为增函数；当x G 3 , +8）时，u为增函数，y关于x为减函数.2ax 1 一14 已知函数 f（x） =（a0 且 a，1）.ax 1（1）求f（x）的定义域和值域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）讨论f（x）的单调性.解：（1）易得f（x）的定义域为 x | xG R.xa 1-“ v 1“_ v 1
10、,、-y1 一设y=F一,解彳导ax=- y一 ax0当且仅当-一 0时，方程有解.解-一0得-1y1.a 1y 1y 1y 1 f(x)的值域为 y I -1 y1时，: aX+1为增函数，且ax+10.一为减函数，从而f(x) 1ax1 . a-为减函数.Xa 1a x 1 .-=a为增函数.2 当0a0故对任何a G R(2) Qx R(1f (x)2X1 )(1 2X2)为增函数.(x)为奇函数2X f(x)4X 1(1)求f(x)在1, 1上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性;(3)当 为何值时，方程f(x) =1,1上有实数解.f (0) 0 得到 a 116、定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期为2,且X (0,1)时,解(1) x GR上的奇函数f(0)又丁？为最小正周期 f (1)f(2 1)设 xG (1, 0),则一xG (0, 1)f(X)f( 1)2 x4 x 1f(1)2Xf (x)f(x)2X4X 1(f(x)2X 24x 1 0(-1,0)设-1,0,10X1X21)的图像是()分析解法1 ：(分类讨论)：ax(x 0),去绝对值，可得y=1(-)x(x 0).a又a1,由指数函数图像易知，应选 B.解法2：因为y = a，是偶函数，又a1,所以当x0时，y=a是增函数；x0时，y = ax是减函数.:应选B.
