1、等腰三角形的判定(提高)知识讲解【学习目标】1 .理解等腰三角形的判定定理及其证明过程2 .掌握等边三角形的判定定理及其证明过程.3 .熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理证明和计算. 【要点梳理】要点一、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理要点二、等边三角形的判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60
2、的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：等边三角形是中考常考的知识点，需要记住以下数据：边长为a的等边三角形它 332aa,面积是的高是24【典型例题】类型一、等腰三角形的判定1、如图，在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE= AC,延长BE交AC于F.求证:AF= EF【答案与解析】证明：延长 AD到H使DH= AD,连接BH.边上的中线，是 BC. ADCDBD=.,. , AD= HD= / BD= DC / BDHCDA和在 ADCHD* ,仁 HDB= ADCACBH= = / / 1H, , BE= BH= BEAC : H, / 3 = / 3 =/./ 1 ,
3、3=/ 2 又,1 . ./ = / 2EF= ：AF,考虑中线倍长，构造全等三角形、等腰AEF,只需证明/ FAE=/【总结升华】 证AF=EF.三角形 举一反三：.=EFAD于F,且AE,交【变式】如图，已知AD是AABC的中线，BE交AC于E=BF求证:【答案】BG.,连接=AD至点G,使DG证明：延长 AD, AD.为中线A .CD ： BD E, ACD和 GBD中在 F,DGAD , GDB ADC b,CD BD CD）.SAS.,.A ACDA GBD（. G CADBG ： AC, v AE EF.AFE ：CADG,AFE 又 BFD . ：G BFD.AC BG BFM.
4、AD于 CMAM ABC的内角平分线，且= AB, ADZ已知，如图，1 . AC） =AM求证：（AB + 2A【答案与解析】证明：延长 AM至点E,使 ME= AM 连结 CE.CAM. AM ME,CM AE, . AC CE.；BAM又,ADB,BACAD .平分 . . BCE； B, ADAB. ADB ：. CAM. BAM . E.AB / CECDE. BCE： CDE . CEDE.ACDE AB ： 2AM AE AD 1ACABAM查等腰三角形的性质和判定，【总结升华】能推出DE=CE解本题的关键.ABCCDF F.求证：/ ADB=/交对应的三角形不全等，因此，需构造
5、全等三角形，而在等腰三 中，作顶角的平分线或底边的高（中线）是一条常用辅助线.BAC的平分线交BD证明：如图，过AEE于，延长中点， AE BDDA中，已知/= 90 , AB= AC,为AC3如图，在CDFZ【思路点拨】ADB与/角形 . = 45GAD90又因为/ A= ,所以/ BAG= / .(同角的余角相等)ABE= / DAEBDXAE , 90 = A/.=45 =/ BAG= / GADAB /A=90 , = AC,/ C 中，在 ABG与 ACFC BAG=AB=AC ABEDAE= ACF (ASA).ABGA FC.AG= DCAC中点，人口 =又D为 AGD 与ACF
6、D中，在 AD=DC C GAD= AG=FC SAS()AG CFDCDF【答案与解析】 G于点，A作/AD氏/./【总结升华】解等腰三角形相关问题时，常用到以下知识方法：2）在未指明边（角）的名称时，应分类讨论.（1）作等腰三角形角顶角平分线;+ BD= CD.,求证于 AD BCR/B=2/C:AB 中，4、如图，答案与解析】BD, DC上取口=法证一： 如图，在 - AD BC, AE ,AB= / B= / AEB,c中，/AEB= / C+/ CAE,在 AACE 又B= 2/C, . 2/C= / C+/ CAE . / C= /CAE CE .AE=, AB+BD. .1. C
7、D= CE+DM , AE接连，AB=BE使，E于 DB长延，图如：二法证.,/C=, / ABC= 2/E2 贝 IJ/E= /EAB . / E： / C= . = AC： AEA ACD 中，在 RtAAED RtACAE ADADHL）. AEg RtAACD（：+ DC= DE）向外或）作角平分线得等角；（2【总结升华】 处理“两倍角” 内构造等腰三角形. 举一反三： 形.是形等腰三角：有两条中线相等的三角Rt AB. = = BD+ BEBD的基本方法有：（1向【变式】求证CE.）,BD= AB8的两条中线（如图已知：BD CE是.： AB= AC求证,的特征，CF根据平移，DF=
8、 EC-. EC= BD,而 .BD= DF. ./ DBF= D DFB, / DFB= / ECB, ./ DBF= / DFB= / ECB在 ECBA DBC中，BD CE DBF ECB, BC CB .EC DBC (SAS),ACB/ = ABC/ . .AB=AC.【变式2】如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形,【答案】 解：如图1:直线把75。的角分成25。的角和50。的角，则分成的两个三角形都是等 腰三角形；形.圄15、（2016秋？孟津县期中） ABC是等边三角形，D是三角类型二、等边三角形的判定形外一动点，满足/ ADB=60 .(1
9、)(2)如图，当 D点在AC的垂直平分线上时，求证： DA+DC=DB ;由.图如图，当 D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理【思路点拨】（1）由D点在AC的垂直平分线上，可得 AD=CD ,又由/ ADB=60 , ABC是 等边三角形，可得 ABD是含30。角的直角三角形，继而证得结论；（2）首先在DB上截取DE=AD ,可证得 ADE是等边三角形，又由 ABC是等边三角形，易 证得 BAE 9匕CAD （ SAS）,继而证得结论.【答案与解析】证明：（1） D点在AC的垂直平分线上，AD=CD ,/ ADB= / CDB=60 , / DAC= / DCA
10、/ DAC=30 ,ABC是等边三角形， / BAC=60 , / BAD=90 , ./ ABD=90 / ADB=30 ,BD=2AD=AD +CD;(2)成立.理由：在 DB上截取 DE=AD ,DADB=60 ,圉是等边三角形，.ADE , AE=AD , / EAD=60 .,是等边三角形，:ABC , , / BAC=60 Cab=ac/B止/CMAB=AC , / CAD BAE= 中，和 CAD 在BAEVAS 二 AD, , SAS) BAE 里 CAD ( , . BE=CD CD . BD=DE +BE=AD +.,全等三角形的判定与性质以及等边三角形【总结升华】 此题考
11、查了线段垂直平分线的性质、的判定与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.8】【高清课堂：389303等边三角形：例？ DE.、BD,连接CEE,延长BA到，使AE= ABC6如图，为等边三角形，延长BC到DDE.联也不方便证/ ECD= / EDC【思路点拨】此题如果直接找含有 CE和DE的三角形找不到， EFD.EBC 里ABEF想的全等三角形的性质，把原等边 ABC扩展成大等边后，易证 【答案与解析】EFAB,连结证明：延长BD至 F,使 DF= E. ABC为等边三角形 =60oBC, /BAB= = AB = DFAE= BD, DF AE： + AB=
12、 + BDABFBE：=1P . BEF为等边三角形 BDCF .2 .BE= EF, /F= 60o在 EBCA EFD中EB EF B F BC DF . .EBU EFD3 .EC= ED【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是在现有图形不能解决问题时，将原图补全成为有对称美感的等边三角形，对学生综合运用知识解答问题的能力要求较高. 举一反三：【变式】如图所示， ABC是等边三角形， BDC是顶角/ BDC= 120的等腰三角形，以 D为顶 点作一个60角，角的两边分别交 AB AC边于M N两点，连接 MN试探究线段 CNN BM MN之间的关系，并加以证明
13、.【答案】对于此类题，三条线段之间的关系一般是它们的和差关系，证明方法通常采用截长补短法.证明：如图所示，延长 AC至M,使CM= BM连接/ BDC= 120m是正三角形，./ABC= / ACB= 60 .A ABC , BD= CD且/DBC= / DCB= 304 /ABD= / ACD= 90 .CM=，又; BD =CQ BM 1 (SAS) ,. Rt BD阵 RtACDM , / BDM= / CDM . DM= DMi =/ MDG- / BDM= / BDC= 120 ./ MDM= / MDG- / CDM =/ MDN= 60 ,又二/MDN= 60 ./MDNi . DN(SAS)=DN,AMDN MDNR DM = DM ,ii . BMCNCMNCNM . MN = = + = + 11
