1、专题：旋转相似模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。条件： CDAB（本质即为OCD OAB），将 OCD绕点 O旋转到图1 和图 2 的位置。结论： 、 OCD OAB OAC OBD。即连接对应点所得的一对新三角形相似。、延长AC交 BD于点 E，则 AEB=BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、 E、 B 四点共圆）模型特例： 共直角顶点的直角三角形相似当 AOB=COD=90时，除、 OCD OAB OAC OBD、延长AC交 BD于点 E，则 AEB= BOA=90（用蝴蝶形图证明）外，还有结论、 BDODOBtan OCDtan OABACOCOA、因为 AC BD于点 E，那
2、么，若连AD、 BC，则四边形 ABCD对角线互相垂直，则S四边形 ABCD1 AC BD2AD 2BC 2AB 2CD 2例题讲解例 1. 已知 ABC与 DEF都是等腰三角形，AB、 EF 的中点均为O，且顶角 ACB= EDF.0（1）如图 1，若 ACB=90, 探究 BF 与 CD间的数量关系；3，求BF（2）如图 2，若 tan ACB=的值；4CD（3）如图 3，若 ABC中 AC=BC=a，将 DEF绕点 O旋转，设直线CD与直线 BF交于点 H，则 S BCH 最大值为 _ （用含 a 的式子表示）。分析：（ 1）连 OC， OD， OBF OCD， BF=CDBEBODEO
3、FFA CDCA（2）构造手拉手旋转相似。可证OBC OFD, ODC OFBBFOB1ACB=tanCDOC2tan ACB=3 ，求 tan1 ACB 的问题，必须问题转化为已知42熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。由右图提示可得tan 1 ACB = 1 ；23（ 3）由（ 2） OBC OFD, ODC OFB，蝴蝶形图易得 CHB= COB=90；又 BC=a ，定边定角，点 H 在以 BC为直径的圆上，易求 S BCH max1a1 a1 a2224例 2. 如图，已知在正方形ABCD和正方形BEFG中，求证： AG CE；求 DF 的值AG分析：如图 2，证 ABG
4、CBE ， AG=CE如图 2，连接 BD， BF，DF，易证BDBF2 ，DBCFBE45，BCBE DBF = CBE DBF CBE DFBD2CEBC AG = CE DFDF2AGCE变式： 如图 3，正方形 ABCD和 EFGH中， O为 BC，EF 中点 (1) 求证： AH=DG;(2)求 AH 的值。CF分析： (1) 连接 OA, OH, OD, OG,易证： AOH DOGAHDGOEOB1(2)AB,EH2 ABO HEO ,AOBHOE ,AOHBOE ,又OEOHOB,OAOBE OAH ,AHAO5BEBO易证 BOE COF，BE CF ,AH5CF例 3. 如
5、图， ACB DCE 90， ABC CED CAE 30， AC 3， AE 8，求 AD的长。ACB分析：连接 BE，由基本图形易得DE3可证 ACD BCE， AD3 BE，BAE 90在 Rt 作，由勾股定理求得 10ABEBE则 AD103A3CBDE练习1.如图，点A是内一点，AB2 3,BC8,ABC600， DAC1200,求 BDDBC， ADAC得长。分析： 构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10.练习 2 如图，在 ABC中， ACB 90， BC 2AC， F、G分别为 AC、BC的中点，将 CFG绕点 C 顺时针旋转，直线AF与直线 BG交于点 I
6、.(1) 求证： AF BG；(2) 当旋转角小于 90时，求 2 AI BI 的值；CI(3) 若 AC 4，直接写出 ACI 面积的最大值 _.分析：（3）需分析出I 点轨迹，由A、 C、 I 、B 四点共圆可得AIC= ABC，又 AC=4，定边定角得I 轨迹为圆弧。练习 3将等腰 Rt ABC 和等腰 Rt ADE 按图 1 方式放置， A 90，AD 边与 AB 边重合，AB 2AD4将ADE 绕点 A 逆时针旋转（旋转角不超过180）， BD 的延长线交直线CE 于点 P（ 1）如图 2， BD 与 CE 的数量关系是 _ ，位置关系是 _；（ 2）在旋转的过程中，当 AD BD
7、时，求 CP 的长；（3）当点 D 落在 BA 的延长线上时，求点P 所经过的路径的长BBDDCEACAE图 1分析：（1） BD CEBD CE（ 2） BD CE，AD BD ， ADP DPE 90又 DAE 90， AD AE，四边形 ADPE 为正方形 AB 2AD 4， PE AD 2CE BD AB 2 AD 2 23CP 23 2（ 3）取 BC 中点 O，连接 OA、OP在旋转过程中，BDCE， BPC 90图 2BDCAPEOP1B2 BC 2 2点 P 的运动路径是以O 为圆心、半径为2 2的一段圆弧OD即 ABC 外接圆的一部分则 AOP2 ABPCA易知点 D 在以 A 为圆心、半径为2 的半圆上运动P E当 BP 与半圆 A 相切于点D 时， ABP 最大，从而 AOP 最大1AD 2 AB ， ABP 30， AOP 60即当 ADE 从初始位置旋转60时，点 P 沿圆弧从 A 点运动到 AOP 60当 ADE 继续旋转，直至点D 落在 BA 的延长线上时，ABP0， AOP0点 P 从 AOP 60处又回到A 点点 P 所经过的路径的长为：2
