1、最新 料推荐二次函数 yax2bxc(a0) 的图像与性质要点一、二次函数yax2bxc(a0) 与 ya( xh)2k (a0) 之间的相互关系1.顶点式化成一般式将顶点式 ya (xh) 2k 去括号，合并同类项就可化成一般式yax2bxc 2.一般式化成顶点式b xx2 b x222y ax2bxcax2c abbca xb4ac b2aa2a2a2a4a对照 ya( xh)2k ，可知 hb， k4acb22a4a 抛物线 yax2bxc 的对称轴是直线xb ，顶点坐标是b , 4ac b2 2a2a4a要点诠释：求抛物线yax2bxc 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法
2、、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用例 1求抛物线y1 x2 x 4 的对称轴和顶点坐标2【答案与解析】解法 1（配方法）：y1 x2x 41 ( x22x)41 ( x2 2 x11)41 (x1)22222顶点坐标为1,7，对称轴为直线x12解法 2（公式法）：a1， b1， c4 ，2b11， 4acb241(4)127 2x12a2(4a412)22顶点坐标为1,7，对称轴为直线x12解法 3（代入法）：a1， b1， c4 ，2b1x1将 x1代入解析式中得，y12a22顶点坐标为1,7，对称轴为直线x1 2141(x 1)27 222112147 221最
3、新 料推荐【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（ 1）利用配方法将一般式化成顶点式；（ 2）用顶点公式b4ac b2直接代入求解； （ 3）利用公式先求顶点的横坐标，然2a,4a后代入解析式求出纵坐标这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用举一反三：【变式 】把一般式y2x2 8x 6 化为顶点式（ 1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（ 2）分别求出它与 y 轴的交点 C，与 x 轴的交点 A、B 的坐标 .要点二、二次函数 y ax2bx c(a 0) 的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法 .其步骤为：(1)
4、先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴(2)求抛物线 y ax2bx c 与坐标轴的交点，当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点A、 B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 关于对称轴的对称点 D，将 A、 B、 C、 D 及 M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来要点诠释：当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点 C及对称点 D，由 C、 M、 D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、 B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，2最新 料推荐
5、要点三、二次函数yax2bxc(a0) 的图象与性质1.二次函数yax2bxc(a0) 图象与性质函数二次函数 yax2bxc （a、 b、 c 为常数， a 0）a0a0图象开口方向向上向下对称轴直线 xb直线 xb2a2a顶点坐标b , 4ac2b4acb 2b2a,2a4a4a在对称轴的左侧， 即当xb 时， y 随 x 的增大在对称轴的左侧， 即当b时，y 随 x2ax2a增减性最大 ( 小 ) 值2.二次函数y而减小；在对称轴的右侧，即当xb 时， y的增大而增大；在对称轴的右侧，即当2axb 时，y 随 x 的增大而减小 简记：随 x 的增大而增大简记：左减右增2a左增右减抛物线有
6、最低点，当xb时， y有最小值，抛物线有最高点，当xb 时， y有最2a2ay最小值4acb24acb24a大值， y最大值4aax2bxc(a0) 图象的特征与2的符号之间的关系a、 b、 c 及 b -4ac项目字母的符号图象的特征字母aa 0开口向上a 0开口向下ab 0(a ， b 同号 )对称轴在 y 轴左侧bab 0(a ， b 异号 )对称轴在 y 轴右侧c=0图象过原点cc 0与 y 轴正半轴相交c 0与 y 轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与 x 轴有唯一交点b2-4ac 0与 x 轴有两个交点3最新 料推荐b2-4ac 0与 x 轴没有交点要点四、求二次函数yax
7、2bxc(a0) 的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当4ac b2y最值4a例 2求二次函数 y1 x23x1的最小值 .22【答案与解析】解法 1( 配方法 ) ：y1 ( x26x)11 ( x26x 329)122221 ( x3)24 ，2 当 x -3 时， y最小4 解法 2( 公式法 ) ：a10 ， b3， c122x b 时，2ab当 x2a4acb2y最小4a313时，2241132221 94 4122解法 3( 判别式法 ) ：y1 x23x1，x26x(1 2y) 0 22 x是实数， 62-4(1-2y)0，
8、 y -4 y有最小值 -4 ，此时 x26x90 ，即 x -3 【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择举一反三：【变式 】用总长 60m的篱笆围成矩形场地矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化当L 是多少时，矩形场地的面积S最大？4最新 料推荐一、选择题1. 将二次函数 yx22x3 化为 y ( xh) 2k 的形式，结果为（）A y (x 1)24 B y (x 1)24 C y (x 1)22 D y (x 1)222已知二次函数yax2bx c 的图象，如图所示，则下列结论正确的是（）A a 0B c 0C b24a
9、c0 D a b c03若二次函数 yx2bx5 配方后为 y( x2) 2k ，则 b、k 的值分别为 （）A 0， 5 B 0，1C -4 ， 5D -4 ， 14抛物线 yx2bxc 的图象向右平移2 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，所得图象的解析式为 y x22x3 ，则 b、 c 的值为（）A. b=2， c=2B. b=2 ， c=0C. b= -2 ， c= -1 D . b= -3， c=22)5已知抛物线 y=ax +bx+c 的对称轴为 x=2，且经过点 (3 ， 0) ，则 a+b+c 的值 (A. 等于 0B. 等于 1C.等于 -1D. 不能确定6二次函数 y=
10、ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c ，它们在同一直角坐标系中的图象大致是()二、填空题7二次函数 y2x24x1的最小值是 _8已知二次函数yax 22ax c ，当 x-1时，函数 y 的值为 4，那么当 x 3 时，函数 y 的值为 _9二次函数 yx2bxc 的图象经过 A(-1， 0) 、 B(3 ，0) 两点，其顶点坐标是_10二次函数 yx2mx3 的图象与 x 轴的交点如图所示根据图中信息可得到m的值是 _5最新 料推荐第 10 题第 11 题11如图二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点(-1 ， 2) 和 (1 ， 0) 且与 y 轴交于负半轴第问
11、：给出四个结论：a0； b0； c0； a+b+c=0 其中正确的结论的序号是 _；第问：给出四个结论：abc0； a+c=1； a1，其中正确的结论的序号是_ _.12已知二次函数 y=x2-2x-3的图象与 x 轴交于点 A、 B 两点，在 x 轴上方的抛物线上有一点C，且 ABC的面积等于 10，则 C 点的坐标为 _.三、解答题13（ 1）用配方法把二次函数y x24x3变成 y ( x h)2k 的形式；（ 2）若 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) 是函数 yx24 x 3 图象上的两点，且 x1 x2 1，比较 y1 、 y2 的大小14. 已知抛物线 y1 x23x5：22(1) 求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2) 画函数图象，并根据图象说出 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大？ x 取何值时， y 随 x 的增大而减小？函数 y 有最大值还是最小值？最值为多少？6
