1、高考物理高考物理万有引力与航天技巧小结及练习题一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h.已知地球半径为R，地球自转角速度为0，地球表面的重力加速度为g，O 为地球中心(1)求卫星B 的运行周期(2)如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、 B 两卫星相距最近(O、B、 A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？(R + h)3t2【答案】 (1) TB = 2p(2)gR2gR2( Rh)30【解析】【详解】Mmm 42R h ， G Mm（1）由万有引力定律和向心力公式得G22m
2、g RhTBR2R3联立解得 ： TBh2R2 g（2）由题意得0 t 2 ，由得BgR2BR3ht2R2 g代入得30Rh2a、 b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，度为 3R，己知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：b 卫星离地面高（ 1） a、 b 两颗卫星周期分别是多少？（ 2） a、 b 两颗卫星速度之比是多少？（ 3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同 -点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？【答案】 （1）2RR（ 2）速度之比为8Rg， 162 ；gg7【解析】【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得
3、运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；解：（ 1）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，对地面上的物体由黄金代换式G MmmgR2GMm4 2Ra 卫星2m2RTa解得 Ta2RgGMm4 24Rb 卫星2m2(4 R)Tb解得 Tb16Rg（2）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，GMmmva2a 卫星R2R解得 vaGMRb 卫星 b 卫星 G Mmm v2(4 R)24R解得 v bGM4RVa2所以Vb2 2（ 3）最远的条件 Ta Tb解得 t8R7g32016 年 2 月 11 日，美国 “激光干涉引力波天文台”（LIGO）
4、团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13 亿光年之外一个双黑洞系统的合并已知光在真空中传播的速度为c，太阳的质量为M0 ，万有引力常量为G（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26 倍和 39 倍，合并后为太阳质量的62 倍利用所学知识，求此次合并所释放的能量（ 2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体a因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T，半径为 r 0 的匀速圆周
5、运动由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞利用所学知识求此黑洞的质量M；b严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m1、 m2的质点相距为 r 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为E pG m1m2（规定无穷远处r势能为零）请你利用所学知识，推测质量为M的黑洞，之所以能够成为“黑 ”洞，其半径R 最大不能超过多少？24 2r032GM13M 02【答案】（）c； R（ ） MGT 2c2【解析】【分析】【详解】（1）合并后的质量亏损m(2639) M 062M 03M 0根据爱因斯坦质能方程E
6、mc2得合并所释放的能量E3M 0c2（2） a小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m根据万有引力定律和牛顿第二定律Mm22Gmr0r02T解得M42 r03GT 2b设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律1 mv2G Mm02R解得2GMRv2因为连光都不能逃离，有v =c 所以黑洞的半径最大不能超过2GMRc242019 年 4 月 20 日 22时 41 分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号 ”乙运载火箭，成功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为r 的匀速圆周运动。卫星的质量为 m，地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，不计地球自转的影
7、响。求：（1）卫星进入轨道后的加速度大小gr；（2）卫星的动能Ek。【答案】（ 1） gR2 （ 2） mgR2r 22r【解析】【详解】(1)设地球的质量为M，对在地球表面质量为 m 的物体，有： G Mmm gR2对卫星，有： GMmmgr2rgR2解得： grr 2(2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：G Mm m v2r 2r卫星的动能为：Ek1mv22mgR2解得： Ek2r52003 年 10 月 15 日，我国神舟五号载人飞船成功发射标志着我国的航天事业发展到了一个很高的水平飞船在绕地球飞行的第5 圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为 h 的圆形轨道已知地
8、球半径为R，地面处的重力加速度为g，引力常量为G，求：(1)地球的质量；(2)飞船在上述圆形轨道上运行的周期TgR 2(2) T 2(R h)3【答案】 (1) MgR2G【解析】【详解】Mm(1)根据在地面重力和万有引力相等，则有G R2mggR2解得： MG(2)设神舟五号飞船圆轨道的半径为r，则据题意有：rR hMm2飞船在轨道上飞行时，万有引力提供向心力有：4Gr 2m T 2 r( Rh)3解得：T2gR26 已知火星半径为R，火星表面重力加速度为g，万有引力常量为G，某人造卫星绕火星做匀速圆周运动，其轨道离火星表面高度等于火星半径R，忽略火星自转的影响。求：（1）火星的质量；（2）
9、火星的第一宇宙速度；（3）人造卫星的运行周期。2gR （3） 4R2【答案】（ 1） g R （ 2）Gg【解析】【详解】（1）在火星表面，由万有引力等于重力得：GMmmg2R2得火星的质量 Mg R ；G2（2）火星的第一宇宙速度即为近火卫星的运行速度，根据mgm vR得 vgR ；2（3）人造卫星绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得GMm22m2R2RT4R2联立得 T。g7 双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动已知某双星系统中两颗星之间的距离为r，运行周期为T，引力常量为G，求两颗星的质量
10、之和23【答案】4rGT 2【解析】【详解】对双星系统，角速度相同，则：G MmM2r1 m 2r2r 2解得： Gm2r2 r；GM2 r2 r2 ；1其中2， r=r 1+r2；T三式联立解得：4 2r 3M m2GT8 航天专家叶建培透露，中国将在2020 年发射火星探测器，次年登陆火星中国火星探测系统由环绕器和着陆巡视器组成环绕器环绕火星的运动可看作匀速圆周运动，它距火星表面的高度为 h，火星半径为 R，引力常量为 G（ 1）着陆巡视器的主要功能为实现在火星表面开展巡视和科学探索着陆巡视器第一次落到火星时以 v0 的速度竖直弹起后经过 t 0 时间再次落回火星表面求火星的密度（ 2）
11、“环绕器 ”绕火星运动的周期 T【答案】 （1）3v0（ 2）2 ( R h) ( R h)t02v02 RGt0R【解析】gv02v0（1）根据竖直上抛运动的基本规律可知，火星表面重力加速度t 0t0 ；2根据火星表面万有引力等于重力得G Mm m g ，R2MM3v0火星密度V43，由解得；R2RGt03Mmm 42（2）根据万有引力提供向心力公式得：G22 (Rh)(R h)T解得： T2(Rh)32(R h)(Rh)t0gR2R2v092019 年 1 月 3 日 10 时 26 分，嫦娥四号探测器自主着陆在月球背面南极-艾特肯盆地内的冯 卡门撞击坑内，实现人类探测器首次在月球背面软着
12、陆。设搭载探测器的轨道舱绕月球运行半径为 r，月球表面重力加速度为 g，月球半径为 R，引力常量为 G，求：（1）月球的质量M 和平均密度 ；（2）轨道舱绕月球的速度v 和周期 T.【答案】（ 1）MgR23ggR2，T 2r 3，22G4 RG（ ） vgRr【解析】【详解】（1）在月球表面：m gGMm0，则gR 22M0RG月球的密度：MgR2/ 4 R33gVG34 GR（2）轨道舱绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供：G Mmm v2r 2rgR2解得： vrT2 rr 32gR2v10 假如你乘坐我国自行研制的、代表世界领先水平的神州X 号宇宙飞船，通过长途旅行，目睹了美丽的火星
13、，为了熟悉火星的环境，飞船绕火星做匀速圆周运动，离火星表面的高度为 H，测得飞行 n 圈所用的时间为t ，已知火星半径为R，引力常量为 G，求：（1）神舟 X 号宇宙飞船绕火星的周期T；（2）火星表面重力加速度gt42n23【答案】 （1） TR H（ 2） gR2t 2n【解析】t(1)神舟 X 号宇宙飞船绕火星的周期TnMmm 42(2)根据万有引力定律G22 R H，RHTG MmmgR24 2n2 R3解得 gHR2t 2【点睛 】本题考查了万有引力定律的应用，考查了求重力加速度、第一宇宙速度问题，知道万有引力等于重力、万有引力提供向心力是解题的前提与关键，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题
