1、高中物理万有引力与航天技巧( 很有用 ) 及练习题及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1“天宫一号 ”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形2013 年 6 月，“神舟十号 ”与 “天宫一号 ”成功对接， 6 月 20 日 3 位航天员为全国中学生上了一节生动的物理课已知 “天宫一号 ”飞行器运行周期T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g， “天宫一号 ”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为G求：(1)地球的密度；(2)地球的第一宇宙速度v；(3) 天“宫一号 ”距离地球表面的高度【答案】 (1)3g(2)vgR (3)h3gT2 R2R4 GR42【解析】（1）在地
2、球表面重力与万有引力相等：Mmmg ，GR2MM地球密度：V4 R33解得：3g4 GR（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，mgm v2RvgR（3）天宫一号的轨道半径 rRh，Mmh 42据万有引力提供圆周运动向心力有：G2 m R2，R hT解得： h3gT 2 R2R242 我国发射的 “嫦娥三号 ”登月探测器靠近月球后，经过一系列过程，在离月球表面高为h处悬停，即相对月球静止关闭发动机后，探测器自由下落，落到月球表面时的速度大小为 v，已知万有引力常量为G，月球半径为R， hR ，忽略月球自转 ，求：（ 1）月球表面的重力加速度 g0 ；（ 2）月球的质量 M；（ 3）假如你站在月
3、球表面，将某小球水平抛出，你会发现，抛出时的速度越大，小球落回到月球表面的落点就越远所以，可以设想，如果速度足够大，小球就不再落回月球表面，它将绕月球做半径为R 的匀速圆周运动，成为月球的卫星则这个抛出速度v1 至少为多大？【答案】 （1） g0v2v2 R2v2 R（ 2） M（3） v12h2h2hG【解析】（1）根据自由落体运动规律 v22g0h ，解得 g0v22h（2）在月球表面，设探测器的质量为m，万有引力等于重力， G Mmmg0 ，解得月球R2v2 R2质量 M2hG（3）设小球质量为m ，抛出时的速度v1 即为小球做圆周运动的环绕速度万有引力提供向心力Mm v12，解得小球速
4、度至少为v2 RGm v1R2R2h3 地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。已知地球表面重力加速度为球半径为 R，地球自转周期为T，引力常量为G，求：（1）地球的质量M；（2）同步卫星距离地面的高度h。g，地【答案】 (1)(2)【解析】【详解】（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G解得地球质量为：M=；（2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T，同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：解得：【点睛】；本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解题的前
5、提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题4 我国首个月球探测计划“嫦娥工程 ”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动试求出月球绕地球运动的轨道半径（2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h 高处以速度 v0 水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为s已知月球半径为R 月，万有引力常量为 G试求出月球的质量M 月 【答案】 (1) rgR2T 22R月2h
6、023(2) M 月 =4 2Gs2【解析】本题考查天体运动，万有引力公式的应用，根据自由落体求出月球表面重力加速度再由黄金代换式求解5 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为 G，求该星球的质量M23LR 2【答案】M23Gt【解析】【详解】两次平抛运动，竖直方向h1 gt 2 ，水平方向 xv0t ，根据勾股定理可得：2L2h2( v t)2 ，抛出速度变为 2 倍：(3L )2h2(2v0t
7、)2 ，联立解得： h1 L ，032L，在星球表面： G Mm2LR2gmg，解得： M3t2R23t 2G6 在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G 的数值，如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量 ”的实验，因为由G 的数值及其它已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、 m2 相距为 r 的两个小球之间引力的大小为 F，求万有引力常量G；（2）若已知地球半径为R，地球表面重力
8、加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式【答案】（ 1）万有引力常量为GFr 2m1m2（2）地球质量为R2 g ，地球平均密度的表达式为3gG4 RG【解析】【分析】根据万有引力定律F Gm1m2，化简可得万有引力常量G；r 2在地球表面附近的物体受到重力等于万有引力G Mmmg ，可以解得地球的质量M，地R2球的体积为 V4R3 ，根据密度的定义M ，代入数据可以计算出地球平均密度3V【详解】（1）根据万有引力定律有：FG m1m2r 2解得：GFr 2m1m2（2）设地球质量为M，在地球表面任一物体质量为m，在地球表面附近满足：G Mmmg
9、R2得地球的质量为：R2 gMG地球的体积为：V4R33解得地球的密度为：3g4RG答：（ 1）万有引力常量为 GFr 2m1m2（2）地球质量R2 g，地球平均密度的表达式为3gMG4RG7 我国预计于2022 年建成自己的空间站。假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。求：(1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。【答案】 (1)(2)【解析】【详解】(1) 卫星在地球表面时，可知：空间站做匀速圆周运动时：其中联立解得线
10、速度为：(2) 设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T1 和 T2，则由开普勒第三定律有：其中：，解得：【点睛】本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动的参量。8 双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动已知某双星系统中两颗星之间的距离为 r，运行周期为 T，引力常量为 G，求两颗星的质量之和42r 3【答案】【解析】【详解】GT 2对双星系统，角速度相同，则：Mm22Gr2Mr1 m r2解得： Gm2r 2 r1 ； GM2 r 2 r2；2其中， r
11、=r 1+r2；T42r 3三式联立解得：MmGT 29如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面沿水平方向以初速度球，经时间t 落地，落地时速度与水平地面间的夹角为，已知该星球半径为v0 抛出一个小R，万有引力常量为G，求：（ 1）该星球表面的重力加速（ 2）该星球的第一宇宙速度 v；【答案】（ 1）；（ 2）【解析】试题分析：（ 1）根据平抛运动知识：，解得（2）物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：又因为，联立解得考点：万有引力定律及其应用、平抛运动【名师点睛】处理平抛运动的思路就是分解重力加速度 a 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量10 已知地球
12、半径为 R，地球表面重力加速度为 g，万有引力常量为 G，不考虑地球自转的影响（1）求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v1 ；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星运行半径r ；【答案】（ 1）gR （ 2）3 gR2T 2r42【解析】GMm试题分析：（ 1）地表的物体受到的万有引力与物体的重力近似相等即： mg R22若发射成卫星在地表运动则卫星的重力提供向心力即：mg m vR解得： vgRGMm2 m 42（2）由卫星所需的向心力由万有引力提供可得2 rrT又 GMm mgR222解得：r 3 gR T24考点：万有引力定律的应用名师点睛：卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解
