1、高中物理万有引力与航天技巧( 很有用 ) 及练习题含解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x 和落地时间为 R，己知万有引力常量为G，求：t，又已知该星球的半径（ 1）小球抛出的初速度 vo（ 2）该星球表面的重力加速度g（ 3）该星球的质量 M（ 4）该星球的第一宇宙速度 v（最后结果必须用题中己知物理量表示）【答案】 (1) v0=x/t(2) g=2h/t 2(3) 2hR2/(Gt 2) (4)2hRt【解析】（ 1）小球做平抛运动，在水平方向 ： x=v
2、t，解得从抛出到落地时间为： v0=x/t（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：1h= gt2，2解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t 2；（3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m，由万有引力等于物体的重力得：mg= G MmR2所以该星球的质量为：M= gR2= 2hR2/(Gt 2)；G（4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v，由牛顿第二定律得：G Mmm v2R2R重力等于万有引力，即mg= GMmR2，解得该星球的第一宇宙速度为：v2hRgRt2a、 b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为 3R，己
3、知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：（ 1） a、 b 两颗卫星周期分别是多少？（ 2） a、 b 两颗卫星速度之比是多少？（ 3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同 -点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？【答案】 （1） 2R ， 16R （ 2）速度之比为2 ；8Rgg7g【解析】【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；解：（ 1）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，Mm对地面上的物体由黄金代换式GmgGMm4 2a 卫星R2m Ta2
4、 R解得 Ta2Rgb 卫星GMm4 24R(4 R)2m2Tb解得 Tb16Rg（2）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，a 卫星 GMmmva2R2R解得 vGMaRb 卫星 b 卫星 G Mmm v2(4 R)24R解得 v bGM4RVa2所以Vb2 2（ 3）最远的条件 Ta Tb解得 t8R7g3 如图所示是一种测量重力加速度g 的装置。在某星球上，将真空长直管沿竖直方向放置，管内小球以某一初速度自 O 点竖直上抛，经 t 时间上升到最高点， OP 间的距离为 h，已知引力常量为 G， 星球的半径为 R；求：（ 1）该星球表面的重力加速度g；（ 2）该星球的质量 M；（ 3）该星球的第
5、一宇宙速度 v1。2h（ 2）2hR22hR【答案】（ 1） gGt 2（3）t 2t【解析】（ 1）由竖直上抛运动规律得：t 上 =t 下=t由自由落体运动规律：h1gt 22g2ht 2（2）在地表附近： G MmmgR2MgR22hR2GGt 22（3）由万有引力提供卫星圆周运动向心力得：G Mmm v1R2RGM2hRv1Rt点睛：本题借助于竖直上抛求解重力加速度，并利用地球表面的重力与万有引力的关系求星球的质量。4 从在某星球表面一倾角为的山坡上以初速度v0 平抛一物体，经时间t 该物体落到山坡上已知该星球的半径为R，一切阻力不计，引力常量为G，求：（ 1）该星球表面的重力加速度的大
6、小g（ 2）该星球的质量 M2v0 tan2v0 R2 tan【答案】 (1)(2)tGt【解析】【分析】（1）物体做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出重力加速度（ 2）物体在小球的表面受到的万有引力等于物体的重力，由此即可求出【详解】（1）物体做平抛运动，水平方向：x v0t ，竖直方向： y1 gt 22由几何关系可知：ygttan2v0x解得： g2v0 tant（2）星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G MmmgR2可得： MgR22v0R 2tanGGt【点睛】本题是一道万有引力定律应用与运动学相结合的综合题，考查了求重力加速度、星球自转的周期，应用平抛运动规律与万有引力公式
7、、牛顿第二定律可以解题；解题时要注意“黄金代换”的应用5 宇航员在某星球表面以初速度v0 竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h.已知该星球的半径为R，且物体只受该星球的引力作用.求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度.v02R【答案】 (1)(2) v02h2h【解析】本题考查竖直上抛运动和星球第一宇宙速度的计算(1) 设该星球表面的重力加速度为g ，物体做竖直上抛运动，则v022g h解得，该星球表面的重力加速度gv022h(2) 卫星贴近星球表面运行，则 mg m v2R解得：星球上发射卫星的第一宇宙速度Rvg R v0 2h6 我们将两颗彼此相
8、距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为L，质量分别为M1、 M2 ( 万有引力常量为 G)试计算：12双星的轨道半径双星运动的周期M 2L，M 1L ；2 ?2 LL【答案】 1 ?M 2；M 1 M 2M 1G M 1 M 2【解析】设行星转动的角速度为，周期为T1 如图，对星球 M 1 ，由向心力公式可得：G M 1 M 2M 1 R12L2同理对星 M 2，有： G M 1M 2M2R 2 2L2两式相除得：R1M 2 ，)R 2M 1( 即轨道半径与质量成反比又因为 L R 1 R 2所以得： R 1M 2L ，
9、R 2M 1LM 1M 2M 1M 22 有上式得到： 1G M 1M 2LL2T 2LL因为 T，所以有：G M 1M 2答： 1 双星的轨道半径分别是M 2L ， M 1L ；M 1M 2M 1 M 22 双星的运行周期是2LLG M 1M 2点睛：双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；根据万有引力提供向心力计算出周期7“神舟 ”十号飞船于2013 年 6 月 11 日 17 时 38 分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国首位 80 后女航大员王亚平将首次在太空为我国中小学生做课，既展示了我国在航天领域的实力，又包含着祖国对我们
10、的殷切希望火箭点火竖直升空时，处于加速过程，这种状态下宇航员所受支持力F 与在地球表面时重力mg 的比值后 kF称为载荷值已知地球的mg62）半径为 R 6.4 10g 9.8m/sm（地球表面的重力加速度为(1)假设宇航员在火箭刚起飞加速过程的载荷值为k 6，求该过程的加速度；（结论用g 表示）(2)求地球的笫一宇宙速度；(3)神“舟 ”十号飞船发射成功后，进入距地面300km 的圆形轨道稳定运行，估算出 “神十 ”绕地球飞 行一圈需要的时间（2g）【答案】 (1) a 5g (2) v7.92 103 m/s (3)T=5420s【解析】【分析】(1)由 k 值可得加速过程宇航员所受的支持
11、力，进而还有牛顿第二定律可得加速过程的加速度(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，此时万有引力近似等于地球表面的重力，然后结合牛顿第二定律即可求出；(3)由万有引力提供向心力的周期表达式，可表示周期，再由地面万有引力等于重力可得黄金代换，带入可得周期数值【详解】(1)由即：k 6 可知， F 6mg ，由牛顿第二定律可得：6mg - mg maF- mg ma解得：a 5g(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，由万有引力提供向心力得：mgm v2R所以： vgR9.86.4 106 m/s7.92 103 m/s(3)由万有引力提供向心力周期表达式可得：G Mmm(
12、 2 )2r 2T在地面上万有引力等于重力： G MmmgR242r 34 (6.7106 )3s 5420s解得： T2(6.462gR10 )【点睛】本题首先要掌握万有引力提供向心力的表达式，这在天体运行中非常重要，其次要知道地面万有引力等于重力8 宇航员来到某星球表面做了如下实验：将一小钢球以v0 的初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升离抛出点的最大高度为h（ h 远小于星球半径），该星球为密度均匀的球体，引力常量为G，求：（ 1）求该星球表面的重力加速度；（ 2）若该星球的半径 R，忽略星球的自转，求该星球的密度【答案】（ 1）【解析】（1）根据速度（2）- 位移公式得：，得（ 2）在星
13、球表面附近的重力等于万有引力，有及联立解得星球密度9 阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题(1)以下是地球和太阳的有关数据(2)己知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为v 7.9km/s ，万有引力常量G6.67 l0113 1 28 1s，光速 C 3 ；m kg10ms(3)大约 200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球，直径为太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速（逃逸速度为第一宇宙速度的2 倍），这一奇怪的星体就叫作黑洞在下列问题中，把星体（包括黑洞）看作是一个质量分布均匀的球体（的计算结果用科学计数法表达，且保留
14、一位有效数字；的推导结论用字母表达）试估算地球的质量；试估算太阳表面的重力加速度；己知某星体演变为黑洞时的质量为M，求该星体演变为黑洞时的临界半径R24322GM（3）【答案】 （1） 610 kg（ 2）310 m / s2C【解析】GM 地 mv2(1)物体绕地球表面做匀速圆周运动R地2m R解得： MR地 v2 6 1024kgGGM 地 m(2)在地球表面R地2mg地GM 地解得：g地R地2GM日同理在太阳表面g日R日22g日M 日R地2 g地3 103 m / s2M 地 R日(3)第一宇宙速度GMmm v12R2R第二宇宙速度 v2c2v12GM解得：RC 2【点睛 】本题考查了万
15、有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速10 高空遥感探测卫星在距离地球表面h 的轨道上绕地球转动，已知地球质量为M，地球半径为 R，万有引力常量为G，求：(1)人造卫星的角速度；(2)人造卫星绕地球转动的周期；(3)人造卫星的向心加速度GMR hh） R hGM【答案】 （1）2（ 2） T2（ R（3） a2RhGMRh【解析】【分析】根据万有引力提供向心力G Mmm( 2 ) 2 rm v2m 2rma 求解角速度、周期、向r 2Tr心加速度等。【详解】（1）设卫星的角速度为，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：mMG2 m2(R+h)，RhGMRh解得卫星角速度2Rh故人造卫星的角速度GMRhR2hMm（4 2（2）由 G2）2m RhRhT得周期 T 2（ Rh） RhGM故人造卫星绕地球运行的周期为T2（ Rh） Rh GMmMGM（3）由于 Gh2 =m a 可解得，向心加速度a=2RR h故人造卫星的向心加速度为GMR2h【点睛】解决本题的关键知道人造卫星绕地球运行靠万有引力提供向心力，即G Mmm( 2 ) 2 r m v2m 2 r ma .r 2Tr
