1、高考物理高考物理万有引力与航天技巧( 很有用 ) 及练习题一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 如图所示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B 两者中心之间距离为 L已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线， A 和 B 分别在 O 的两侧，引力常量为 G求：(1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ；(2)两星球做圆周运动的周期ML,r=mL,（ 2） 2L3【答案】 （1） R=m Mm MG M m【解析】（1）令 A 星的轨道半径为R， B 星的轨道半径为r，则由题意有 L r R两星做圆周运
2、动时的向心力由万有引力提供，则有：GmM4 242L2mR2Mr2TT可得 R M ，又因为 LRrrm所以可以解得：ML , rmL ；RMmMm（2）根据（ 1）可以得到 ： GmM4242ML2m2 Rm2MLTTm42L32L3则： Tm GG mMM点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径 2 如图所示，假设某星球表面上有一倾角为 37m 2.0 kg的小的固定斜面，一质量为物块从斜面底端以速度9 m/s 沿斜面向上运动，小物块运动1.5 s 时速度恰好为零 .已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，该星球半径为3
3、0.6， cosR 1.2 10km. 试求： (sin 3737 0.8)(1)该星球表面上的重力加速度g 的大小 .(2)该星球的第一宇宙速度.【答案】 （1） g=7.5m/s23（ 2） 3 10m/s【解析】【分析】【详解】（1）小物块沿斜面向上运动过程0v0at解得： a6m/s 2又有： mgsinmgcosma解得： g7.5m/s 2（2）设星球的第一宇宙速度为v，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有：mgmv2R3vgR3 10 m/s3a、 b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为 3R，己知地球半径为R，表面的重力加速度
4、为g，试求：（ 1） a、 b 两颗卫星周期分别是多少？（ 2） a、 b 两颗卫星速度之比是多少？（ 3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同 -点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？【答案】 （1） 2RR（ 2）速度之比为8Rg， 162 ；gg7【解析】【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比 ；由根据相距最远时相差半个圆周求解 ；解：（1）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，对地面上的物体由黄金代换式 GMmmgR2GMmm4 2Ra 卫星22RTa解得 Ta2Rgb 卫星GM
5、mm4 24R(4 R)22Tb解得 Tb 16Rg（2）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，a 卫星 GMmmva2R2RGM解得 vaRb 卫星 b 卫星 GMmmv2(4 R)24RGM解得 v b4RVa所以2Vb2 2（ 3）最远的条件 Ta Tb解得 t8R7g4 一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r，周期为T，引力常量为 G，行星半径为求：(1)行星的质量M；(2)行星表面的重力加速度g ；(3)行星的第一宇宙速度v【答案】 （1）（ 2）（ 3）【解析】【详解】(1)设宇宙飞船的质量为m，根据万有引力定律求出行星质量(2)在行星表面求出 :(3)在行星表面求
6、出 :【点睛】本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力5 已知地球同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球半径为R，地球视为均匀球体，两极的重力加速度为g，引力常量为G，求：（ 1）地球的质量；（ 2）地球同步卫星的线速度大小【答案】 (1)gR2gRM(2)vG7【解析】【详解】（1）两极的物体受到的重力等于万有引力，则GMmR2解得mgMgR2G；（2）地球同步卫星到地心的距离等于地球半径的7 倍，即为7R，则GMmv22m7R7R而 GMgR2 ，解得vgR.76 如图所示， A 是地球的同步卫星另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内已知地球自转角速度为0 ，地
7、球质量为M ， B 离地心距离为r ，万有引力常量为G， O 为地球中心，不考虑A 和 B 之间的相互作用（图中R、h 不是已知条件）（ 1）求卫星 A 的运行周期 TA（ 2）求 B 做圆周运动的周期 TB（3）如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B 两卫星相距最近（同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？O、 B、 A 在2r3t2【答案】 （1） TA（ 2） TB2（ 3）GM0GMr30【解析】【分析】【详解】（1） A 的周期与地球自转周期相同2TA0GMmm(2)2 r（2）设 B 的质量为 m， 对 B 由牛顿定律 :r 2TB解得： TBr 32
8、GM（3） A、 B 再次相距最近时B 比 A 多转了一圈，则有： ( B0 ) t 2t2GM解得：0r 3点睛：本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用；第3 问是圆周运动的的追击问题，距离最近时两星转过的角度之差为2的整数倍 7“嫦娥一号 ”探月卫星在空中的运动可简化为如图 5 所示的过程，卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道 .已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行的半径分别为R和 R1，地球半径为r ，月球半径为 r1，地球表面重力加速度为g，月球
9、表面重力加速度为.求：(1)卫星在停泊轨道上运行的线速度大小；(2)卫星在工作轨道上运行的周期.【答案】 (1)(2)【解析】（1）卫星停泊轨道是绕地球运行时，根据万有引力提供向心力：解得：卫星在停泊轨道上运行的线速度；物体在地球表面上，有，得到黄金代换，代入解得；（2）卫星在工作轨道是绕月球运行，根据万有引力提供向心力有，在月球表面上，有，得，联立解得：卫星在工作轨道上运行的周期8 在某一星球上，宇航员在距离地面h 高度处以初速度v0 沿水平方向抛出一个小球，小球落到星球表面时与抛出点的水平距离为x，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：(1)该星球表面的重力加速度g；(2)该星球的质量M
10、 ；(3)该星球的第一宇宙速度v。【答案】 (1)g2hv02(2)M2hv02 R2(3)vv02hRx2Gx2x【解析】（ 1）由平抛运动规律得：水平方向xv0 t竖直方向 h1g t 22解得： g2hv022x（2）星球表面上质量为m 的物体受到万有引力近似等于它的重力，即GMmmgR2g R2得： MG22代入数据解得：M2hv0 R2（3） mgm v；解得 vg RR代入数据得：vv02hRx点睛 ：平抛运动与万有引力联系的桥梁是重力加速度g运用重力等于万有引力，得到g=GM/R2，这个式子常常称为黄金代换式，是求解天体质量常用的方法，是卡文迪许测量地球质量的原理9 宇航员乘坐宇
11、宙飞船靠近某星球，首先在距离该星球球心r 的圆轨道上观察星球表面，他发现宇宙飞船无动力绕星球的周期为T；安全降落到星球表面后，他做了一个实验：如图所示，在倾角30o 的斜面上，以一定的初速度v0 沿水平方向抛出一个小物体，测得落点与抛出点间的距离为L，已知引力常量为G。求：（ 1）该星球的质量 M；（ 2）该星球的半径 R。【答案】【解析】 （1）在半径为r 的圆轨道运动时，对宇宙飞船，根据向心力公式有解得：（2）设星球表面的加速度为g，平抛时间为t，有：解得：对星球表面物体有：解得：。点睛：此题是万有引力定律和平抛运动的结合题目，解题的关键是通过平抛运动问题求解星球表面的重力加速度，然后结合
12、万有引力求解.10 假设在宇航员登月前用弹簧秤称量一只砝码，成功登陆月球表面后，还用这一弹簧秤称量同一砝码，发现弹簧秤在月球上的示数是在地球上示数的k(k1)倍，已知月球半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度大小为g，求：（ 1）月球的密度；（ 2）月球的第一宇宙速度和月球卫星的最小周期。【答案】（ 1）3gk；（ 2）kRg ； 2R；4GRgk【解析】【详解】（1）在地面上 F1mg在月球表面上 F2GMmR2月球的质量 M4R33F2k由于 F1解得月球密度3gk4 GR（ 2）当卫星环绕月球表面飞行时的速度为第一宇宙速度，周期最小，设月球的第一宇宙速度为 v ，近月卫星的周期为 T ，则mv2F2RF1mg2 RTv解得 vkRg2 RRT2vgk
