1、最新 料推荐必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理第 1 讲1.1.1集合的含义与表示知识要点 ：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（ set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性 .2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来，基本形式为 a1, a2 , a3 ,an ，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为 xA | P(x) ，既要关注代表元素x，也要把握其属性 P( x) ，适用于无限集 .3. 通常用大写拉丁字母 A, B, C, 表示集合 . 要记住一些常见数集的表示， 如
2、自然数集 N，正整数集 N * 或 N ，整数集 Z ，有理数集 Q，实数集 R.4. 元素与集合之间的关系是属于（ belong to）与不属于（ not belong to），分别用符号 、表示，例如 3 N ， 2 N .例题精讲 ：【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程 x(x2 2 x 3) 0 的所有实数根组成的集合；（2）大于 2 且小于 7 的整数 .解：（1）用描述法表示为： x R | x(x22 x3)0 ；用列举法表示为 0,1,3 .（2）用描述法表示为： xZ | 2x7 ；用列举法表示为 3,4,5,6 .【例 2】用适当的符号填空：已知A x
3、 | x3k2,k Z ， B x | x 6m1, m Z ，则有：17A； 5A；17B.解：由 3k217，解得 k5Z ，所以 17A；由 3k25 ，解得 k7Z ，所以 5A ；3B .由 6m117 ，解得 m3Z ，所以 17【例 3】试选择适当的方法表示下列集合： （教材 P6 练习题 2， P13A 组题 4）（1）一次函数 yx3 与 y2 x6 的图象的交点组成的集合；（2）二次函数 yx24 的函数值组成的集合；（3）反比例函数 y2 的自变量的值组成的集合 .x解：（1）yx3(1,4).( x, y) |2xy6（2） y | y x24 y | y4 .（3）
4、x | y2 x | x 0 .x点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量 . 在解题中不能把点的坐标混淆为 1,4 ，也注意对比（ 2）与（ 3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心 .1最新 料推荐* 【例 4】已知集合 Axa a | 21有唯一实数解 ，试用列举法表示集合 Axax22x (a 2)0 应分以下三种情况：解：化方程 21为： xx29 ，此时的解为 x1方程有等根且不是2 ：由 =0，得 a，合42方程有一解为2 ，而另一解不是2 ：将 x2 代入得 a2 ，此时另一解 x 12 ，合方程有一解为2，而另一解不是2 ：将 x2
5、代入得 a2 ，此时另一解为x2 1 ，合综上可知， A92, 2 ,4. 注意分式方程易造点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示成增根的现象 .第 2 讲1.1.2集合间的基本关系知识要点 ：1. 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，则说两个集合有 包含关系，其中集合 A 是集合 B 的子集（ subset），记作 AB （或 BA ），读作“ A 含于 B”（或 “B 包含 A”）.2. 如果集合 A 是集合 B 的子集（ AB ），且集合 B 是集合 A 的子集（ BA ），即集合 A与集合 B 的元素是一样的，因此集合
6、A 与集合 B 相等，记作 A B .3. 如果集合 AB ，但存在元素 xB ，且 xA ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（ propersubset），记作 AB（或 BA） .4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集 .5. 性质： AA ；若 AB ， BC ，则 AC ；若 AB A ，则 A B ；若 A BA ，则 B A .例题精讲 ：【例 1】用适当的符号填空：（1） 菱形 平行四边形 ； 等腰三角形 等边三角形 .（2） x22 0；00 ；0 ；N0.R | x解：（1） ，；（2）=， ， .【例 2】设集合 A x
7、| x n , nZ,B x | x n1, nZ ，则下列图形能表示A 与 B 关22）.系的 A BBAABAB是（AB CD解：简单列举两个集合的一些元素，A ,31,113 ,311322,0,1, , ，B, ，易知 B，故答案选A222222A另解：由 B x | x2n1，易知 BA，故答案选 A 2, n Z2最新 料推荐【例 3】若集合 Mx | x2x6 0 , N x | ax 10，且 N M ，求实数 a 的值 .解：由 x2x 60x2或3 ，因此， M2,3.（ i）若 a0 时，得 N，此时， N M ；（ ii ）若 a0 时，得 N1 .若 N M ,满足
8、12或 13 ，解得 a1 或 a1 .aaa23故所求实数 a 的值为 0 或 1或 1 .23B . 从而点评：在考察“ AB ”这一关系时，不要忘记“” ，因为 A时存在 A需要分情况讨论 . 题中讨论的主线是依据待定的元素进行 .【例 4】已知集合 A= a,a+b,a+2b ，B= a,ax,ax2.若，求实数x的值.A=Babax22解：若2bax 2a+ax -2ax=0, 所以 a(x-1)=0，即 a=0 或 x=1.a当 a=0 时，集合 B 中的元素均为 0，故舍去；当 x=1 时，集合 B 中的元素均相同，故舍去 .若 abax22ax2-ax-a=0.a2bax因为
9、a0，所以 2x2即(x-1)(2x+1)=0.又 ，所以只有 x1.-x-1=0,x 12经检验，此时 A=B 成立 . 综上所述 x1 .2点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论 . 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合 .第 3 讲1.1.3集合的基本运算（一）知识要点 ：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次 . 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下 .概念记号符号并集交集由所有属于集合A 或属由属于集合A 且属于集于集合 B 的元素所组成合 B 的元素所组成的集的集合，称为集合A 与合，称为集合A 与 B 的B 的
10、并集（ union set）交集（ intersection set）AB （读作“ A 并 B”）AB （读作“ A 交 B”）AB x | xA,或 xBAB x | xA,且 xB补集对于集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，称为集合 A 相对 于 全 集 U 的 补 集（ complementary set）e U A （读作“ A 的补集”）e U A x | xU ,且 xA图形U表示A例题精讲 ：【例 1】设集合 U R Ax| 1x5,Bx| 3x9,求ABe UAB.,()解：在数轴上表示出集合 A、B，如右图所示：ABA B x | 3 x5 ，CU
11、 ( A B) x | x1,或 x9 ，-1359x3最新 料推荐【例 2】设 A x Z | | x | 6 ， B 1,2,3 , C3,4,5,6 ，求：（1） A (BC ) ； （ 2） A eA (B C) .解： A6, 5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6.（1）又 BC 3 ， A(B C) 3 ；（2）又BC1,2,3,4,5,6，得 CA ( BC)6,5,4,3,2,1,0 . A CA (BC )6,5,4,3,2, 1,0.【例 3】已知集合 A x |2x4 ， B x | x m ，且 AB解：由 ABA ，可得 AB .在数轴上表示集合 A 与集合
12、 B，如右图所示：B由图形可知， m4 .点评：研究不等式所表示的集合问题， 常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题A ，求实数 m 的取值范围 .A-24mx.【例 4】已知全集 U x | x10,且 xN* ，A 2,4,5,8，B1,3,5,8 ，求 CU ( AB) ，CU ( A B) ，( CU A) ( CU B) ， (CU A)(CU B) ，并比较它们的关系 .解：由 AB 1,2,3,4,5,8，则 CU ( AB )6,7,9 .由 A B5,8 ，则 CU ( AB)1,2,3,4,6,7,9由 CU A1,3,6,7,9 ， CU
13、B2,4,6,7,9，则 (CU A)(CU B) 6,7,9 ，(CU A) (CU B) 1,2,3,4,6,7,9 .由计算结果可以知道， (CU A)(CU B)CU ( AB) ，(CU A) (CU B) CU ( AB) .另解：作出 Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果 .B ) ，在理解的点评：可用 Venn 图研究(CU A(CU BCUAB 与 (CU A) (CU B) CU (A)()基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第 4 讲1.1.3集合的基本运算（二）知识要点 ：1. 含两个集合的 Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结
14、果 . 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：CU ( AB)(CU A)(CU B) , CU ( AB)(CU A)(CU B) .2. 集合元素个数公式：n( AB)n ( A)n( B)n (AB) .3. 在研究集合问题时， 常常用到分类讨论思想、 数形结合思想等 . 也常由新的定义考查创新思维 .例题精讲 ：【例 1】设集合 A4,2a1,a2 , B9, a5,1a ，若 AB9 ，求实数 a 的值 .解：由于 A4,2 a1,a2 ,B9,a5,1a ，且 AB9 ，则有：当 2a 19时
15、，解得 a5，此时 A= 4, 9, 25 ， B=9, 0, 4 ，不合题意，故舍去；当 a29 时，解得 a3或 3 .a3时，A= 4,5,9 ，B =9, 2,2 ，不合题意，故舍去；a 3，A= 4, 7，9 ， B=9, 8, 4 ，合题意 .所以， a3 .4最新 料推荐【例 2】设集合 A x | (x3)( xa ) 0,a R ， B x | ( x 4)( x1)0 ，求 A B , AB .（教材 P14 B 组题 2）解： B1,4 .当 a3时， A3 ，则 AB1,3,4 ， AB；当 a1时， A1,3 ，则 AB1,3,4 ， AB1 ；当 a4 时， A3,
16、4，则 A B1,3,4 ， AB4 ；当 a3且 a 1且 a4时， A3, a ，则 AB 1,3,4, a ， AB.点评：集合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分情况讨论 . 罗列参数 a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例 3】设集合 A = x | x24x 0 ， B = x | x22(a 1)x a21 0 ， aR ，若 A B=B，求实数 a 的值解：先化简集合 A= 4,0 . 由 AB=B，则 BA，可知集合 B 可为，或为 0 ，或 4 ，或 4,0 .(i)若 B=，则4( a1)24(a 21) 0 ，
17、解得 a 1 ；(ii )若 0B，代入得 a21=0a =1 或 a = 1，当 a =1 时， B=A，符合题意；当 a = 1时， B=0 A，也符合题意(iii )若 4B，代入得 a 28a70a =7 或 a =1，当 a =1 时，已经讨论，符合题意；当 a =7 时， B= 12， 4 ，不符合题意综上可得， a =1 或 a 1点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用 . 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系， 可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B 和 B=的情形，从而造成错
18、误这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.8, x N * ，集合【例 4】对集合 A 与 B，若定义 AB x | xA, 且 x B ，当集合 A x | xB x | x( x 2)( x 5)( x6) 0 时，有 AB =. （由教材 P12补集定义“集合 A 相对于全集 U 的补集为 CU A x | x,且 x A ”而拓展）解：根据题意可知， A 1,2,3,4,5,6,7,8 ， B0,2,5,6由定义 A B x | x A,且xB ，则AB1,3,4,7,8 .点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是
19、从A 中排除 B 的元素 . 如果再给定全集U，则 AB 也相当于 A(CU B) .第 5 讲1.2.1函数的概念知识要点 ：1. 设 A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（ function），记作 y = f ( x) ， x A 其中， x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫作定义域（ domain），与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 f ( x) | xA 叫值域（ range） .2. 设 a、b 是两个实数
20、，且 ab，则： x|axb a,b 叫闭区间；x|axb (a,b)叫开区间；5最新 料推荐x|axb a,b) ， x|a1， f( 3 2 )=( 3 2 )3+( 3 2 )-3=2+ 1 = 5 ，即 ff(0)= 5 .222【例 3】画出下列函数的图象：（1） y | x 2 | ； （教材 P26练习题 3）（2） y | x 1| | 2x 4 | .解：（1）由绝对值的概念，有x2,x2y | x 2 |x,x.22所以，函数 y| x2 | 的图象如右图所示 .3x3, x1（2） y | x 1| | 2 x 4 |x 5, 2x 1 ，3x3, x2所以，函数 y |
21、 x 1| | 2x4|的图象如右图所示 .点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象 .【例 4】函数 f (x) x的函数值表示不超过 x 的最大整数， 例如 3.54 ， 2.12 ，当 x(2.5,3 时，写出 f (x) 的解析式，并作出函数的图象 .3,2.5x22,2x1解： f ( x)1,1x0. 函数图象如右：0,0x11, 1x22,2x33,x3点评：解题关键是理解符号m 的概念，抓住分段函数的对应函数式 .7最新 料推荐第 7 讲1.3.1函数的单调性知识要点 ：1. 增函数：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（increasingfunction） . 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说 f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫 f(x)的单调区间 . 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图 2）. 由此，可以直观观察函
