1、最新 料推荐1.3.1 函数的单调性题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间例 1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间（1） yx21 ;（ 2） yx 22 x 3;（3） yx 1( x 2) 2; （ 4） yx26x 9x 26 x 9相应作业1：课本 P32 第 3 题.题型二、用定义法证明函数的单调性用定义法证明函数的单调性步骤：取值作差变形定号下结论取值，即 _ ；作差变形 ,作差 _,变形手段有 _、 _、 _、 _等；定号，即 _;下结论，即 _ 。例 2.用定义法证明下列函数的单调性（1）证明：f (x)x31 在,上是减函数 .1最新 料推荐定义法证明单调性的等价形
2、式 ：设 x1、 x2a, b ， x1x2 ,那么( x1x2 )f ( x1 )f ( x2 )f ( x1 )f ( x2 )f (x) 在 a, b 上是增函数；0x20x1( x1x 2 )f ( x1 )f ( x2 )f ( x1 )f ( x2)f ( x) 在 a,b 上是减函数 .0x20x1(2) 证明： f ( x)x21 x 在其定义域内是减函数；（3）证明：1在,0 上是增函数；f (x)2x法一： 作差法二：作商2最新 料推荐（4）已知函数yf ( x) 在 0,上为增函数，且f (x)0( x0) ，试判断 F (x)1在f (x)0,上的单调性，并给出证明过程
3、； 方法技巧归纳判断函数单调性的方法：1、直接法：熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册 P27（ 2）P31（上 5、 1）2、图象法；3、定义法；4、运算性质法：当 a0 时，函数 af (x) 与 f (x) 有相同的单调性；当a0时，函数 af ( x) 与 f (x) 有相反的单调性；当函数 f ( x) 恒不等于零时， f (x) 与 1单调性相反；f ( x)若 f (x) 0 ，则 f ( x) 与 f ( x) 具有相同的单调性；若 f (x) 、 g(x) 的单调性相同，则f (x)g( x) 的单调性与之不变；即：增 +增 =增减 +减=减若 f (x
4、) 、 g(x) 的单调性相反，则f (x)g( x) 的单调性与f ( x) 同 .即：增 -减=增减 -增 =增注意：（ 1）可熟记一些基本的函数的单调性，一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式，再利用上述结论判断；（2） f ( x) g (x) 与 f (x) 的单调性不能确定.g( x)3最新 料推荐相应作业2：（ 1）讨论函数 f ( x)ax在1,1 上的单调性（ a 0 ）；21xk (k（ 2）务必记住“对勾”函数f ( x)x0) 的单调区间（见练习册P29 探究之窗 .x探究 1）知识拓展复合函数单调性（难点）一、复习回顾：复合函数的定义： 如果函数 yf (t) 的定
5、义域为A，函数 tg( x) 的定义域为D，值域为 C ，则当 CA 时，称函数 yf ( g( x) 为 f 与 g 在 D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，tg ( x) 叫内层函数，yf ( x) 叫外层函数。二、引理 1已知函数y=f g(x) . 若 t=g(x)在区间 (a,b) 上是增函数，其值域为(c ，d) ，又函数 y=f(t)在区间 (c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f g(x) 在区间 (a,b) 上是增函数 .引理 2已知函数y=f g(x) . 若 t=g(x)在区间 (a,b) 上是减函数，其值域为(c ，d) ，又函数 y=f(t)在区间 (c,d)
6、上是减函数， 那么，复合函数y=f g(x) 在区间 (a,b) 上是增函数 .引理 1 的证明：重要结论 1：复合法则若 t g (x)y f (t )则 y f g ( x)增增增减减增增减减减增减规律可简记为“_ ”（四个字）重要结论 2：若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定 :若减函数有偶数个，则复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则复合函数为减函数.4最新 料推荐规律可简记为“_ ”（四个字）题型三、求复合函数的单调区间例 3. 求下列函数的单调区间.2（2） y1（1） y7 6x x22x 3x小结 ：1、注意：（1）求单调区间必
7、先求定义域；（ 2）单调区间必须是定义域的子集；（ 3）写多个单调区间时，区间之间不能用“”并起来，应用“， ”隔开 .2、判断复合函数单调性步骤：求函数的定义域；将复合函数分解成基本初等函数：yf (t ) 与 tg( x) ；确定两个函数的单调性；由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性.相应作业3：求下列函数的单调区间.（1）y82xx 2（ 2） y1yx 22x31x24x5最新 料推荐单调性的应用题型四、比较函数值的大小例 4.已知函数 yf ( x) 在 0,上是减函数，试比较f ( 3 ) 与 f (a 2a1) 的大小 .4题型五、已知单调性，求参数范围例 5.已知函数f (
8、 x)x 22(xa)x2（1）若 f ( x) 的减区间是,4 ，求实数 a 的值；（2）若 f ( x) 在,4 上单调递减，求实数a 的取值范围 .例 6.若函数 f ( x)( 2b1) xb 1, x0 在 R 上为增函数，求实数b 的取值范围 .x 2(2b) x, x06最新 料推荐题型六、利用单调性，求解抽象不等式例 7.已知函数 yf ( x) 是1,1 上的减函数，且f (1a)f (a 21) ，求实数 a 的取值范围.例 8.已知 f ( x) 是定义在0,上的增函数，且 f ( x )f (x) f ( y) ，且 f ( 2)1，解不y等式 f (x) f (1 )
9、 2.x3相应作业4：已知f ( x) 是定义在0,上的增函数，且f ( xy)f ( x)f ( y) ，且f ( 2)1，解不等式f ( x)f (x2)3.题型七、抽象函数单调性的判断定义法解决此类问题有两种方法：“凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论；赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.7最新 料推荐例 9.已知函数 f ( x) 对任意实数x 、 y 都有 f (x y)f (x) f ( y) ，且当 x0时f ( x) 0 ，求证： f (x) 在 R上单调递增 .例 10.已知定义在0,上的函数f ( x) 对任意 x 、 y0
10、,，恒有f ( xy)f (x)f ( y) ，且当 0x1 时 f ( x)0 ，判断 f ( x) 在 0,上单调性 .相应作业5：定义在0,上的函数f (x) 对任意 x 、 y 0,，满足f (mn)f (m)f ( n)，且当时f (x) 0.x 1（1）求 f (1) 的值；（2）求证： f ( m)f (m)f ( n) ；n（3）求证： f (x) 在 0,上是增函数；（4）若 f ( 2)1，解不等式f ( x2)f (2x) 2 ；8最新 料推荐函数的最大（小）值1、函数的最大（小）值定义2、利用单调性求最值常用结论（ 1）若函数（ 2）若函数yf ( x) 在闭区间a,
11、byf ( x) 在闭区间a, b上单调递增，则yminf (a) ， ymaxf (b) ；上单调递减，则yminf (b) ， ymaxf ( a) ；（3）若函数 yf ( x) 在开区间a, b 上单调递增，则函数无最值，但值域为f (a), f (b) ；（4）若函数 yf ( x) 在闭区间a, b 上单调递增，在闭区间b, c 上单调递减，那么函数yf ( x) ， xa, c 在 xb处有最大值，即ymaxf (b) ；（5）若函数 yf ( x) 在闭区间a, b 上单调递减，在闭区间b, c 上单调递增，那么函数yf ( x) ， xa, c 在 xb处有最小值，即ymin
12、f (b) .题型八、单调性法求函数最值（值域）例 11、（ 1）函数1在 1,5 上的最大值为 _,最小值为 _;f (x)2x1（2）函数 y2x1 在 2,4 上的最大值为 _,最小值为 _;x1（3）函数 y2x12x 的值域为 _;（4）函数 yxx1 的值域为 _;（5）函数 yx 21x 2 的值域为 _;1xy（6）函数x 的值域为 _;9最新 料推荐二次函数的区间最值的求法二次函数在给定区间m, n 上求最值，常见类型：（ 1）定轴定区间：对称轴与区间m, n 均是确定的；（ 2）动轴定区间：（ 3）定轴动区间：（ 4）动轴动区间：1、定轴定区间可数形结合，较易解决，注意对称
13、轴与区间位置关系。例 12.当2x2 时，求函数yx22x3的最值 .相应作业 6：求函数 yx24x5在 1,5 上的最值 .2、动轴定区间例 13.已知函数 f ( x)x 22ax2，求 f (x) 在5,5 上的最值 .动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论，从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.相应作业7：求函数f ( x)x22ax1 在 0,2 上的最值 .10最新 料推荐3、定轴动区间例 14.已知函数f ( x)x 22x2 ，当 xt, t1 时，求f (x) 的最小值 g(t) .相应作业8：已知函数f ( x)x 24x3 ，当 xm,m2 时，求 f (x) 的最大值 g(m).4、动轴动区间解决方法：可将对称轴和区间之一看做不动，进行讨论.例 15.求函数 yx 2ax 在 x1, a 上的最大值 .相应作业9：求函数yx22ax2 在 xa,1 上的最值 .11
