1、最新 料推荐函数的单调性及典型习题一、函数的单调性1、定义：（1）设函数yf (x) 的定义域为A，区间 MA ，如果取区间 M 中的任意两个值 x1 , x2 ,当改变量x 2 x10时，都有f ( x 2)f ( x1 ) 0，那么就称函数yf ( x) 在区间 M 上是增函数，如图（ 1）当改变量x2x10 时，都有f ( x2 ) f (x1) 0 ，那么就称函数yf (x) 在区间 M 上是减函数， 如图（ 2）注意： 函数单调性定义中的 x1,x2 有三个特征 ,一是任意性， 二是有大小， 三是同属于一个单调区间2、巩固概念：1、定义的另一种表示方法如果对于定义域I内某个区间D上的
2、任意两个自变量x1,x 2, 若 f ( x1 )f (x2 )0 即x1x2y是增函数， 若f ( x1 )f ( x2 )y0 ，则函数 y=f(x) 为减函数。0，则函数 y=f(x)x10 即xxx2判断题：已知 f (x)11) f(2) ，所以函数 f ( x) 是增函数因为 f (x若函数 f ( x) 满足 f (2)f (3)则函数 f ( x) 在区间2,3 上为增函数若函数 f ( x) 在区间 (1,2 和 (2,3)上均为增函数， 则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数 因 为 函 数1在 区 间, 0 ) , ( 0 , 上) 都 是 减 函 数 ，
3、所 以 f ( x)1f ( x)在xx(,0)(0,) 上是减函数 .通过判断题，强调几点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性1最新 料推荐对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域( 如一次函数 ) ，可以是定义域内某个区间 ( 如二次函数 ) ，也可以根本不单调 ( 如常函数 ) 单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A B 上是增（或减）函数熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性1函数 y f（ x）与函数 y f（ x）的单调性相反12当 f（ x）恒为
4、正或恒为负时，函数y f ( x) 与 y f（ x）的单调性相反3在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数等3判断函数单调性的方法（ 1）定义法（ 2）直接法运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单调性均可直接说出（ 3）图象法例 1、证明函数 f ( x)1）是减函数在（ 0， +x练习 1：证明函数f ( x)x 在 0,上是增函数11x例 、设函数f（ ）x2lg 1x,试判断 f（ x）的单调性，并给出证明2x例 3、求下列函数的增区间与减区间(1)y |x2 2x 3|x 22x(2)y 1|1 |x(3)y x 22x 32最新 料推荐例 4、函
5、数 f(x) ax2(3a 1)x a2 在 1， 上是增函数，求实数a 的取值范围例 5、已知二次函数y f(x)(x R)的图像是一条开口向下且对称轴为x 3 的抛物线，试比较大小：(1)f(6) 与 f(4)(2)f(2) 与 f(15)例 6、 函数 f (x) | x | 和 g (x) x (2 x )的递增区间依次是()A. (, 0, (, 1 B. (, 0, 1,) C. 0,), (, 1 D. 0,), 1,)例 7、已知 a、b 是常数且 a 0, f (x)ax 2bx , 且 f ( 2)0 , 并使方程 f ( x)x 有等根 .(1) 求 f (x ) 的解析
6、式 ;(2) 是否存在实数m、 n (mn) , 使 f (x ) 的定义域和值域分别为 m, n 和 2m, 2n ?同步训练：一、选择题1下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是2A y |x2 1|B y xC y 2x2 x 1D y |x| 12如果奇函数 f（ x）在区间 3， 7上是增函数且最小值为5，那么 f（ x）在区间 7， 3上是A. 增函数且最小值为 5B 增函数且最大值为5C减函数且最小值为 5D减函数且最大值为53若函数解析式为 y f（x），则下列判断正确的是A 、若 f（ x）在（ ,0）和（ 0，）上均是增函数，则f（ x）在（ ,0）（ 0,）上也是增函数
7、B 、若 f（ x）在（ ,0）和（ 0，）上均是减函数，则f（ x）在（，0）（ 0，3最新 料推荐）上也是减函数C、若 f （x）是偶函数，且在（0，）上是增函数，则f（ x）在（， 0）上也是增函数D 、若 f（ x）是奇函数，且在（ 0，）上是增函数，则 f （x）在（ ,0）上是增函数二、填空题24已知函数y x 2x 1 在区间 3，a上是增函数， 则 a 的取值范围是 _5设函数y f（ x）是定义在（1，1）上的增函数，则函数y f（ x2 1）的单调递减区间是_b6若函数 y ax,y x 在（ 0，）上都是减函数， 则函数 y ax2 bx 在（ 0,）上是 _（填单调性）
8、三、解答题 已知函数 f（ x）的定义域为 R ，且满足 f（ x）c（ c 为常数）在 a,b（a b上是单调递减函数，判断并证明性1f ( x) 0，又 g（ x） f（ x）g（ x）在 b, a上的增减课后巩固：1、利用函数单调性定义证明函数f(x) x3 1 在 (， )上是减函数2、.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数， 对 m 、 n R 恒有 f (mn)f ( m)f (n) ，且当 x0 时，0 f ( x)1。（1）求证：f (0) 1；（ 2）证明： xR 时恒有 f ( x)0 ；（3）求证：f (x) 在 R 上是减函数；（ 4）若 f ( x)f (2x)1 ，求 x 的范围。4最新 料推荐5
