1、3.3导数在研究函数中的应用知识点： 一、确定函数的单调区间设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数.注意：在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件。 二、利用导数求函数单调性的基本步骤： 1. 确定函数的定义域； 2. 求导数； 3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；4. 写出的单调区间：当时，在相应区间上为增函数； 当时，在相应区间上为减函数. 三、函数的极值的定义 一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有
2、点，都有，则是函数的一个极大值， 记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值， 记作. 在定义中，极值点是自变量x，极值指的是函数值y； 极小值点和极大值点统称极值点，极大值与极小值统称极值。注意：（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念； （2）在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点. 四、利用导数求函数极值的的基本步骤：确定函数的定义域；求导数；求方程的根；解不等式，得出增减区间列表，检查在方程根左
3、右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值 x正负0正负0正负单调性单调性单调性五、求函数的最大值与最小值：如果函数在定义域I内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数在区间上的最大值和最小值的步骤： （1）求在区间上的极值； （2）将第一步中求得的极值与比较，得到在区间上的最大值与最小值。练习题一、选择题1下列函数在内为单调函数的是（） 答案：2函数在区间上是（）单调增函数 单调减函数在上是单调减函数，在上是单调增函数在上是单调增函数，在上是单调减
4、函数答案：3函数的极大值点是（） 答案：4已知函数的图象与轴相切于极大值为，极小值为（）极大值为，极小值为0 极大值为0，极小值为极大值为0，极小值为 极大值为，极小值为0 答案：5函数在上取最大值时，的值为（）0答案：6设函数在定义域内可导，的图象如图1所示，则导函数的图象可能为（） 答案：二、填空题7函数的单调增区间为答案：8函数的极值点为，则，答案：9函数在上单调递增，则实数的取值范围是答案：410函数在上单调递增，则实数的取值范围是答案：11函数在上的值域为12在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图2所示当为时，正三棱柱的体积最大，最大值
5、是答案：三、解答题13已知，证明不等式证明：原不等式等价于证明设，则，在上是单调增函数又，即，亦即14已知函数在处有极小值，试求的值，并求出的单调区间解：由已知，可得，又， ，由，解得故函数的解析式为由此得，根据二次函数的性质，当或时，；当，因此函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为15已知某工厂生产件产品的成本为（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：（1）设平均成本为元，则，令得当在附近左侧时；在附近右侧时，故当时，取极小值，而函数只有一个点使，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品（2）利润函数为，令，得，当在附近左侧时；在附近右侧时，故当时，取极大值，而函数只有一个点使，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品
