1、例1: 提升机系统重物重量钢丝绳的弹簧刚度 重物以v=15m/s的速度匀速下降时求:绳的上端突然被卡住时,(1)重物的振动频率,(2)钢丝绳中的最大张力。 Wv mh0l/2l/2解:振动频率重物匀速下降时处于静平衡位置,若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置 则 t=0 时,有: 振动解: 振动解: 绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和 :由于 为了减少振动引起的动张力,应当降低升降系统的刚度 例2: 重物落下,与简支梁做完全非弹性碰撞 梁长 L,抗弯刚度 EJ求:梁的自由振动频率和最大挠度解:取平衡位置以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系 静变形由材料力学 : 自由
2、振动频率为 : 撞击时刻为零时刻,则 t=0 时,有: 则自由振动振幅为 :梁的最大扰度: mh0l/2l/2x静平衡位置例:圆盘转动圆盘转动惯量 I为轴的扭转刚度,定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩 在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置由牛顿第二定律: 扭振固有频率 由上例可看出,除了选择了坐标不同之外,角振动与直线振动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度,则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时,弹簧质量系统是广义的 。0mx静平衡位置弹簧原长位置 例3:弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角 30质量 m
3、=1kg弹簧刚度 k=49N/cm开始时弹簧无伸长,且速度为零重力角速度取 9.8 求: 系统的运动方程m300 lmak/2k/2解:以静平衡位置为坐标原点建立坐标系振动固有频率:振动初始条件: 初始速度:运动方程: 例4:如图所示是一个倒置的摆 摆球质量 m 刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度 求:(1) 倒摆作微幅振动时的固有频率(2) 摆球时,测得频率为,时,测得频率为,问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态? 解法1:广义坐标平衡位置1动能势能 解法2:平衡位置2动能势能 例5:均质圆柱质量m,半径R与地面纯滚动在A、B点挂有弹簧确定系统微振动的固有频率k1abRk1k2k2AB
4、k1Rk2M m 解:广义坐标:圆柱微转角圆柱做一般运动,由柯希尼定理,动能: C点为运动瞬心A点速度: B点速度: 势能:例6:铅垂平面内一个滑轮-质量-弹簧系统 滑轮为匀质圆柱 ,绳子不可伸长,且与滑轮间无滑动,绳右下端与地面固结。 确定系统微振动的固有频率解:广义坐标:质量块的垂直位移 x动能:势能:广义坐标:质量块的垂直位移 x动能: 势能: 例7:杠杆系统杠杆是不计质量的刚体求:系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度 k1k2m1m2l1l2l3x kcx0x0Pm平衡位置解法1:能量法动能:等效质量:势能:等效刚度:固有频率:解法2:定义法设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P
5、则在m1、m2上产生惯性力,对支座取矩: 设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P 则在k1、k2处将产生弹性恢复力,对支点取矩: 例8:阻尼缓冲器静载荷 P 去除后质量块越过平衡位置得最大位移为初始位移的 10 求:缓冲器的相对阻尼系数解:由题知 设 求导 :设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移,这时速度为: 即经过半个周期后出现第一个振幅 x1 由题知 解得:例9:小球质量 m刚杆质量不计求:(1)写出运动微分方程(2)临界阻尼系数,阻尼固有频率lakcmb解:广义坐标 受力分析力矩平衡: 无阻尼固有频率: 阻尼固有频率: 例10:计算初始条件,以使的响应只以频率振动解: 的全解
6、:如果要使系统响应只以为频率振动必须成立: 初始条件:全解:由 全解: 例11:汽车的拖车在波形道路上行驶,已知拖车的质量满载时为 m1=1000 kg空载时为 m2=250 kg悬挂弹簧的刚度为 k =350 kN/m阻尼比在满载时为车速为 v =100 km/h路面呈正弦波形,可表示为求: 拖车在满载和空载时的振幅比l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz解:汽车行驶的路程可表示为:因此:路面的激励频率:得:因此得到空载时的阻尼比为:满载和空载时的频率比:因为有: 满载时阻尼比空载时阻尼比满载时频率比空载时频率比记:满载时振幅 B1,空载时振幅 B2有: 因此满载和空载时的振幅比:例12: 已知梁截面惯性矩I,弹性模量E,梁质量不计 支座A产生微小竖直振动求:质量m的稳态振动振幅ambAB解:在质量m作用下,由材料力学可求出静挠度固有频率:因yA的运动而产生的质量m处的运动动力学方程: 振幅: