1、立体几何中外接内切问题Babyone 思考 体积为3的正方体内接于球 则球的体积为 A B C D 设正方体棱长为a 球半径为R C 变题 长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为 设长方体的长宽高分别为a b c 例1 半球内有一个内接正方体 正方体的一个面在半球的底面圆内 若正方体的一边长为 求半球的表面积和体积 过正方体的与半球底面垂直的对角面作截面 则 截半球面得半圆 截正方体得一矩形 且矩形内接于半圆 如图所示 例2 正三棱锥的高为1 底面边长为内有一个球与四个面都相切 求棱锥的全面积和球的表面积 设内切球半径为r 则OO1 1 r 作OF AE于F Rt AFO R
2、t AO1E 在Rt AO1E中 在Rt OO1E中 例2 正三棱锥的高为1 底面边长为内有一个球与四个面都相切 求棱锥的全面积和球的表面积 例2 正三棱锥的高为1 底面边长为内有一个球与四个面都相切 求棱锥的全面积和球的表面积 设球的半径为r 则VA BCD VO ABC VO ABD VO ACD VO BCD 1 例2 正三棱锥的高为1 底面边长为内有一个球与四个面都相切 求棱锥的全面积和球的表面积 过侧棱AB与球心O作截面 如图 在正三棱锥中 BE是正 BCD的高 O1是正 BCD的中心 且AE为斜高 练习 三棱锥A BCD的两条棱AB CD 6 其余各棱长均为5 求三棱锥的内切球的体
3、积 各侧面全等 设内切球半径为r 练习 三棱锥A BCD的两条棱AB CD 6 其余各棱长均为5 求三棱锥的内切球的体积 取CD的中点E 连AE BE AC AD BC BD CD AE CD BE AE BE E CD 面ABE AD BD 5 DE 3 AE BE 4 即S ABE 则 截球得大圆 截正四棱锥得 PAC 且 PAC内接于圆O 如图所示 练习2 求棱长为a的正四棱锥的外接球的体积 过正四棱锥的相对侧棱作截面 PA PC a PAC是等腰Rt 即AC为球的直径 例3 求棱长为a的正三棱锥P ABC的外接球的表面积 过侧棱PA和球心O作截面 则 截球得大圆 截正四面体得 PAD如图所示 连AO延长交PD于G 则OG PD 且OO1 OG Rt PGO Rt PO1D
