1、康杰中学 20172018 高考数学（理）模拟题（一）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ，则 中元素的个数是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时，所以 ，所以 ，故选 B.考点：集合的交集运算.2.是虚数单位，复数 满足 ，则A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，故选 C.考点：1、复数的运算；2、复数的模.3. 设向量与的夹角为，且 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】A【解析】分
2、析：由 求出 ，结合 ，利用平面向量夹角余弦公式可得结果.详解：因为向量与的夹角为，且 ， ， ，故选 A.点睛：本题主要考查向量的坐标运算及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.4. 已知 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以 ，故选 D.考点：1、倍角公式；2、两角和与差的正切公式.【方法点睛】根据已知单角的三角函数值求和角（或差角）的三角函数，通常将结
3、论角利用条件角来表示，有时还需借助同角三角函数间的基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式即可求解.5. 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）A. 4 B. C. D. 2【答案】B【解析】分析：仔细观察三视图，发挥空间想象力，可知该几何体是底面为斜边边长为 2 的等腰直角三角形、高为 2 的直三棱柱，进而可得结果.详解：由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为 2 的等腰直角三角形、高为 2 的直三棱柱，所以该几何体的表面积为 ，故选 B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想
4、象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6. 已知数列 满足 ，则“数列 为等差数列”是“数列 为等差数列”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据等差数列的定义， “数列 为等差数列”能推出“数列 为等差数列”，
5、“数列 为等差数列”不能推出“数列 为等差数列” ，从而可得结果.详解：若数列 是等差数列，设其公差为 ，则，所以数列 是等差数列.若数列 是等差数列，设其公差为 ，则 ，不能推出数列 是等差数列.所以“数列 为等差数列”是“数列 为等差数列”的充分不必要条件，故选 A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的A. B.
6、 C. D. 【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件，即可得到输出的的值.详解：输入 ；第一次循环，得 ；第二次循环，得 ；第三次循环，得 ，以此类推，知该程序框图的周期 ，又知当 退出循环，此时共循环了 39 次，所以输出的 ，故选 C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺
7、序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 在 展开式中，二项式系数的最大值为，含 项的系数为 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意， ，二项式系数的最大值为 ，含 项的系数为，故选 D.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9. 设实数 满
8、足约束条件 ，则 的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：作出可行域，将 转化为可行域内的点到原点距离的平方，利用数形结合思想求解即可.详解：作出 表示的可行域，如图所示，因为 表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，原点到直线 的距离的平方就是 的最小值，.故选 B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出
9、最值.10. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比取得最大值，设此时正方体的棱长为，求出正方体及半球的体积即可的结果.详解：当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比取得最大值，设此时正方体的棱长为，则球的半径为 ，所以所求体积比为 ，故选 A.点睛：本题主要考球的性质、多面体内接问题及球的体积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相
10、结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；注意运用性质 .11. 已知 为坐标原点， 是双曲线 的左焦点， 分别为 的左、右顶点， 为 上一点，且 轴， 过点 的直线与线段 交于点 ，与 轴交于点 ，直线与 轴交于点 ，若 ，则 的离心率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用相似三角形的性质可得 ，结合 可得结果.详解：由直角三角形的性质可得 ，则 ，即；同理 ，所以 ，又 ，所以 ，整理，得 ，故选 A.点睛：本题主要考查双曲线的简单性质及离心率，属于难题.离心率的求解在
11、圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;构造 的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解12. 已知函数 ，则使得 成立的 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用复合函数的单调性判断 在 上的单调性，利用奇偶性可得 在 上单调性，可得 等价于 ，从而可得结果.详解：因为 ，所以 是偶函数，因为 在 上递增， 在 上递增，所以 在 上递增，又因为 在 单调递增，所以 在 单调递增，所以 在 上递减，所以 等价于 ，解得 ，或 .使得 成立的 的取值范围是 ，故选 D.点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用
12、，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 曲线 与 所围成的封闭图形的面积为_.【答案】【解析】试题分析：由题意，知所围成的封闭图形的面积为 .考点：定积分的几何意义.14. 已知 是等比数列， ，则 _.【答案】1【解析】试题分析：设数列 的首项为 ，公比为 ，则依题意，有 ，解得，所以 .考点：等比数列的通项公式.【一题多解】因为
13、，所以 ，所以 ，解得 .15. 设 为椭圆 的左、右焦点，经过 的直线交椭圆 于 两点，若 是面积为 的等边三角形，则椭圆 的方程为_.【答案】【解析】试题分析：由题意，知 ，又由椭圆的定义知， ，联立，解得， ，所以 ，所以 ， ，所以 ，所以，所以椭圆 的方程为 .考点：椭圆的几何性质.16. 已知 是函数 在 内的两个零点，则 _.【答案】【解析】试题分析：因为 ，其中（ ） ，由函数 在 内的两个零点，知方程 在 内有两个根，即函数与 的图象在 内有两个交点，且 关于直线 对称，所以 ，所以 .考点：1、三角函数的图象与性质；2、辅助角公式.【方法点睛】函数图象的应用常与函数零点有关
14、，一般为讨论函数 f(x)零点的个数或由零点(根)的个数求参数取值（范围） ， ，此时题中涉及的函数 f(x)的图象一般不易直接画出，但可将其转化为与 有一定关系的函数 和 的图象问题，且 和 的图象易得.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. 在 中,角 所对的边分别为 .已知 .（ I）求 ；（ II）若 ， 的面积为 ，求.【答案】() ；() .【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理化已知条件等式中的边为角，然后利用两角和的正
15、弦公式结合三角形内角和定理求得 的值，从而求得角 的大小；（2）首先结合（1）利用余弦定理求得 的关系式，然后根据三角形面积公式求得的值.试题解析：（1）由正弦定理得：2sinBcosBsinAcosAcosBsinBsin 2AsinCcosAsinAcos(AB)sinCcosAsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinB，sinB0，cosB，B. 6 分（2）由 b2a 2c 22accosB，ba，cosB得c2ac6a 20，解得 c2a， 10 分由 SABC acsinBa 22，得 a2. 12 分考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角面积公式；3、两角和的正弦公式
16、.【方法点睛】利用正弦定理与余弦定理解三角形，主要有两种题型：（1）给出三角形的边与角的关系解三角形，解答时主要采取的手段是是“边化角”与“角化边” ；（2）在一个具体的三角形中给出相关的条件解三角形，解答时注意选择正弦定理与余弦定理.18. 在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为 ，且成绩分布在 ，分数在 以上（含 ）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.（ I）在答题卡上填写下面的 列联表，能否有超过 的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？文科生 理科生 合计获奖不获奖合计（ II）将上述调査所得的频率视为
17、概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取 名学生，记“获奖”学生人数为 ，求 的分布列及数学期望.附表及公式： ，其中 .【答案】()答案见解析；()答案见解析.【解析】分析：（I）利用公式 求得 ，与邻界值比较，即可得到结论；() 的所有可能的取值为 ，且 . ().从而可得 的分布列，利用期望公式可得数学期望.详解：（I）文科生 理科生 合计获奖 5 35 40不获奖 45 115 160合计 50 150 200，所以有超过 的把握认为“获奖与学生的文理科有关”.（II）由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为 . 的所有可能的取值为 ，且 .
18、().所以 的分布列如下.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等） ，求出随机变量取每个值时的概率；“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；“求期望” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布 ） ，则此随机变量的期望可直接利用
19、这种典型分布的期望公式( )求得因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度19. 在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， .（ I）证明： 平面 ；（ II）若 ，求二面角 的余弦值.【答案】()证明见解析；() .【解析】试题分析：（1）连接 ，取 中点 ，连接 ，然后根据等腰三角形的性质得出 ， ，从而推出 平面 ，进而利用线面垂直的性质定理结合判定定理可使问题得证；（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，然后求得相关点的坐标与向量，由此求得平面 与平面 的法向量，从而利用空间夹角公式求解.试题解析：连接 AC，则ABC 和ACD 都是正三角形，取 BC 中点 E，连接 AE，
20、PE，因为 E 为 BC 的中点，所以在ABC 中， ，因为 PBPC，所以 BCPE，又因为 PEAEE，所以 BC平面 PAE，又 PA 平面 PAE，所以 BCPA.同理 CDPA，又因为 BCCDC，所以 PA平面 ABCD. 6（2）如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 A-xyz，则 B(，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，(0，2，2)，(，3，0)，设平面 PBD 的法向量为 m(x，y，z)，则即取平面 PBD 的法向量 m(，1，1)， 9 分取平面 PAD 的法向量 n(1，0，0)，则 cosm，n，所以二面角 A-PD-B 的余弦值是. 12 分考点：
21、1、线面垂直的判定；2、二面角；3、空间向量的应用.【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型， （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20. 已知抛物线 ，圆 .（ I）若抛物线 的焦点 在圆 上，且 为 和圆 的一个交点，求 ；（ II）若直线与抛物线 和圆 分别相切于点 ，求 的最小值及相应 的值.【答案】() ；()答案见解析.【解析】试题分析：（1）首先求得焦点 的坐标，由此求得抛物线的方程，然后联立抛物线与圆的方程求得 ，最后利用抛物线的定义求得 的长；（2）设 ，由此设
22、出直线切线的方程，然后根据 求得 与 的关系式，从而求得 关于 的关系式，进而利用基本不等式求得其最小值，以及 的值.试题解析：（1）由题意得 F(1，0)，从而有 C：x 24y.解方程组，得 yA2，所以|AF|1. 5 分（2）设 M(x0，y 0)，则切线 l：y(xx 0)y 0，整理得 x0xpypy 00. 6 分由|ON|1 得|py 0|，所以 p且 y10， 8 分所以|MN| 2|OM| 21xy12py 0y1y14(y1)8，当且仅当 y0时等号成立，所以|MN|的最小值为 2，此时 p. 12 分考点：抛物线的定义及几何性质；3、直线与抛物线的位置关系；3、直线与圆
23、的位置关系.【方法点晴】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.21. 已知函数 ， .（ I）求函数 的最大值；（ II）当 时，函数 有最小值，记 的最小值为 ，求函数 的值域.【答案】() ；()【解析】试题分析：（1）首先求得导函数，然后根据导函数与 0 的关系求得函数 的单调区间，从而求得 的最大值；（2）首先求得 ，然后结合（1）分 、 求得函数的单调区间与最小值的函数解析式，
24、再通过求导研究其的单调性，从而求得 的值域.试题解析：（1）f(x)（x0） ，当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x(e，)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当 xe 时，f(x)取得最大值 f(e). 4 分（2）g(x)lnxaxx(a)，由（1）及 x(0，e得：当 a时，a0，g(x)0，g(x)单调递减，当 xe 时，g(x)取得最小值 g(e)h(a). 6 分当 a0，)，f(1)0a，f(e)a，所以存在 t1，e)，g(t)0 且 lntat，当 x(0，t)时，g(x)0，g(x)单调递减，当 x(t，e时，g(x)0，g(x)单调递增，所以 g(x
25、)的最小值为 g(t)h(a). 9 分令 h(a)G(t)t，因为 G(t)0，所以 G(t)在1，e)单调递减，此时 G(t)(，1.综上，h(a)，1. 12 分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数最值与导数的关系.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22. 在平面直角坐标系 中，曲线 ，曲线 为参数） ， 以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ I）求曲线 的极坐标方程；（ II）若射线 与曲线 的公共点分别为 ，求 的最大值【答案】() ，
26、；() .【解析】分析：（I）利用直角坐标方程和极坐标方程的互化公式 得到直线的极坐标方程，先消参得到曲线的直角坐标方程，再利用互化公式进行求解；（II）设点的极坐标，利用几何意义进行求解.详解：（I）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的普通方程为 ，所以曲线 的极坐标方程为 . （II）设 ， ，因为 是射线 与曲线 的公共点，所以不妨设，则 ， ， 所以， 所以当 时， 取得最大值 . 点睛：考查参数方程和极坐标方程，主要考查曲线的参数方程和直角坐标方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化问题，要牢记互化公式和消参方法.23. 已知函数 .（ I）当 时，求不等式 的解集；（ II）如果对于
27、任意实数 ， 恒成立，求的取值范围【答案】() ；() .【解析】分析：（I）将 写成分段函数形式，判断分段函数的单调性，结合图象与单调性，由 可得结果；（II）对讨论三种情况，分别利用基本不等式求出的最小值，利用 列不等式，可求得的取值范围详解：（I） .所以， 在 上递减，在 上递增，又 ，故 的解集为 .（II）若 ，当且仅当 时，取等号，故只需 ，得 .若 ， ， ，不合题意.若 ，当且仅当 时，取等号，故只需 ，这与 矛盾.综上所述，的取值范围是.点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
