1、康杰中学 20172018 高考数学（文）模拟题（一）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ，则 中元素的个数是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时，所以 ，所以 ，故选 B.考点：集合的交集运算.2. 是虚数单位，复数 满足 ，则A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，故选 C.考点：1、复数的运算；2、复数的模.3. 设向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】A【
2、解析】分析：由 求出 ，结合 ，利用平面向量夹角余弦公式可得结果.详解：因为向量 与的夹角为 ，且 ， ， ，故选 A.点睛：本题主要考查向量的坐标运算及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.4. 已知 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以 ，故选 D.考点：1、倍角公式；2、两角和与差的正切公式.【方法点睛】根据已知单角的三角函数值求和角（或差角）的三角函
3、数，通常将结论角利用条件角来表示，有时还需借助同角三角函数间的基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式即可求解.5. 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为A. B. C. D. 2【答案】B【解析】分析：仔细观察三视图，发挥空间想象力，可知该几何体是底面为斜边边长为 2 的等腰直角三角形、高为 2 的直三棱柱，进而可得结果.详解：由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为 2 的等腰直角三角形、高为 2 的直三棱柱，所以该几何体的表面积为 ，故选 B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间
4、想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6. 已知数列 满足 ，则“数列 为等差数列”是“数列 为等差数列”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据等差数列的定义， “数列 为等差数列”能推出“数列 为等差数列”，
5、 “数列 为等差数列”不能推出“数列 为等差数列” ，从而可得结果.详解：若数列 是等差数列，设其公差为 ，则，所以数列 是等差数列.若数列 是等差数列，设其公差为 ，则 ，不能推出数列 是等差数列.所以“数列 为等差数列”是“数列 为等差数列”的充分不必要条件，故选 A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的A. B
6、. C. D. 【答案】C【解析】分析：列举前几次循环，观察规律，进而判定循环体结束的条件和循环的次数，确定输出结果.详解：第一次循环，得 ；第二次循环，得 ；第三次循环，得 ，以此类推，知该程序框图的周期 3，又知当 时退出循环，此时共循环了 39 次，所以输出的 .故选 C.点睛：本题考查程序框图中的循环结构，解决此题的关键在于通过前几次循环的结果得到循环结果的周期性.8. 在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先利用直线和圆的位置关系得到弦长等于该圆内接三角形的边长的直线的位置，再利用几
7、何概型的概率公式进行求解.详解：设圆的半径为 ，则 ，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为 .故选 C.点睛：本题考查几何概型的概率问题，几何概型的几何模型主要是长度、面积与体积，其关键是选择合适的模型，如本题中虽然涉及直线和圆的位置关系，但要注意点在圆的直径上运动，即该概率为线段的长度之比.9. 设实数 满足约束条件 ，则 的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：作出可行域，将 转化为可行域内的点到原点距离的平方，利用数形结合思想求解即可.详解：作出 表示的可行域，如图所示，因为 表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，原点到直线 的距离的平方就是 的最小值，.故
8、选 B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比取得最大值，设此时正方体的棱长
9、为 ，求出正方体及半球的体积即可的结果.详解：当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比取得最大值，设此时正方体的棱长为 ，则球的半径为 ，所以所求体积比为 ，故选 A.点睛：本题主要考球的性质、多面体内接问题及球的体积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；注意运用性质 .11. 已知 O 为坐标原点， F 是双曲线 : 的左焦点， A， B 分别为 的左、右顶点， P 为 上一点，
10、且 PF x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若| OE|=2|ON|，则 的离心率为（ ）A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A.详解：易证得 ，则 ，即 ；同理 ，所以 ，又 ，所以 ，整理得 .故选 A.点睛：解决本题的关键在利用两次相似三角形得到对应线段成比例，再利用公共线段和进行求解.12. 已知函数 ，则使得 f(2x)f(x+3) 成立的 x 的取值范围是A. (-1,3) B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，将转化为 进行求解.详解：因为
11、，所以函数 是偶函数，又 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，解得 或 .故选 D.点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，要注意：奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程（用一般式表示）为_.【答案】x-y+2=0【解析】分析：求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线的点斜式方程，化成一般式即可.详解：由题意知 ，且 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .点睛：利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，要注意区分“在 处的切线”和“过的切线”的不同，
12、“在 处的切线” ，即 在曲线上，且该点是直线和曲线的切点，“过 的切线” ，即 不一定在曲线上，也不一定是直线和曲线的切点.14. 已知 是等比数列， ，则 _.【答案】1【解析】试题分析：设数列 的首项为 ，公比为 ，则依题意，有 ，解得，所以 .考点：等比数列的通项公式.【一题多解】因为 ，所以 ，所以 ，解得 .15. 设 为椭圆 的左、右焦点，经过 的直线交椭圆 于 两点，若 是面积为 的等边三角形，则椭圆 的方程为_.【答案】考点：椭圆的几何性质.16. 已知 是函数 在 内的两个零点，则 _.【答案】【解析】试题分析：因为 ，其中（ ） ，由函数 在 内的两个零点，知方程 在 内
13、有两个根，即函数与 的图象在 内有两个交点，且 关于直线 对称，所以 ，所以 .考点：1、三角函数的图象与性质；2、辅助角公式.【方法点睛】函数图象的应用常与函数零点有关，一般为讨论函数 f(x)零点的个数或由零点(根)的个数求参数取值（范围） ， ，此时题中涉及的函数 f(x)的图象一般不易直接画出，但可将其转化为与 有一定关系的函数 和 的图象问题，且 和 的图象易得.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 在 中,角 所对的边分别为 ,已知 .（I）求 ；（II）若 ， 的面积为 ，求 .【答案】 （I） （II）a=2. 【解析】试题分析：（1）首先利
14、用正弦定理化已知条件等式中的边为角，然后利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理求得 的值，从而求得角 的大小；（2）首先结合（1）利用余弦定理求得 的关系式，然后根据三角形面积公式求得 的值.试题解析：（1）由正弦定理得：2sinBcosBsinAcosAcosBsinBsin 2AsinCcosAsinAcos(AB)sinCcosAsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinB，sinB0，cosB，B. 6 分（2）由 b2a 2c 22accosB，ba，cosB得c2ac6a 20，解得 c2a， 10 分由 SABC acsinBa 22，得 a2. 12 分考点：1、正
15、弦定理与余弦定理；2、三角面积公式；3、两角和的正弦公式.【方法点睛】利用正弦定理与余弦定理解三角形，主要有两种题型：（1）给出三角形的边与角的关系解三角形，解答时主要采取的手段是是“边化角”与“角化边” ；（2）在一个具体的三角形中给出相关的条件解三角形，解答时注意选择正弦定理与余弦定理.18. 如图，四棱柱 的底面 为菱形，且 （I）证明：四边形 为矩形；（II）若 ， 平面 ，求四棱柱 的体积【答案】(I)见解析 (II)【解析】试题分析：（1）由底面 为菱形，可得 ，由 可证，由此可得 平面 ，进而证明 .即可证明四边形 为矩形；（2）由 平面 ，可得平面 平面 ，且交线为 .过点 作
16、 ，垂足为点 ，则 平面 .即 为四棱柱的高，求出地面面积即可得到四棱柱 的体积.试题解析：（1）证明: 连接 ，设 ，连接 . ， .又 为 的中点， . 平面 ， . ， .又四边形 是平行四边形，则四边形 为矩形.（2）解：由 ，可得 ， .由 平面 ，可得平面 平面 ，且交线为 .过点 作 ，垂足为点 ，则 平面 .因为 平面 , ，即 .在 中，可得 .所以四棱柱 的体积为 .19. 某高三理科班共有 60 名同学参加某次考试，从中随机挑选出 5 名同学，他们的数学成绩 与物理成绩 如下表：数学成绩 145 130 120 105 100物理成绩 110 90 102 78 70数据
17、表明 与 之间有较强的线性关系（I）求 关于 的线性回归方程；（II）该班一名同学的数学成绩为 110 分，利用（I）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（III）本次考试中，规定数学成绩达到 125 分为优秀，物理成绩达到 100 分为优秀. 若该班数学优秀率与物理优秀率分别为 50%和 60%，且除去抽走的 5 名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有 5 人，在答卷页上填写下面 22 列联表，判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀 物理不优秀 合计数学优秀数学不优秀合计 60参考数据：回归直线的系数， ，【答案】(I) (II)8
18、2 (III)见解析 【解析】分析：（I）利用所给表格得到数据的平均数，再利用所给参考公式求出回归直线方程的系数；（II）代入 进行预测；（III）先判定各科优秀成绩的人数，列出列联表，利用所给 公式求值，再利用临界值表进行判定.详解：(I)由题意可知 ， ， 故， 故回归方程为 (II)将 代入上述方程，得 (III)由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为 30，36抽出的 5 人中，数学优秀但物理不优秀的共 1 人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共 6 人于是可以得到 列联表为：物理优秀 物理不优秀 合计数学优秀 24 6 30数学不优秀 12 18 30合计 36 24 60于
19、是 ，因此在犯错误概率不超过 0.01 的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关点睛：本题考查线性回归直线和独立性检验的应用，在处理线性回归直线时，要注意“线性回归直线一定过样本点的中心 ”.20. 已知抛物线 ，圆 .（I）若抛物线 的焦点 在圆 上，且 为 和圆 的一个交点，求 ；（II）若直线 与抛物线 和圆 分别相切于点 ，求 的最小值及相应 的值.【答案】 （I） （II）见解析【解析】试题分析：（1）首先求得焦点 的坐标，由此求得抛物线的方程，然后联立抛物线与圆的方程求得 ，最后利用抛物线的定义求得 的长；（2）设 ，由此设出直线切线 的方程，然后根据 求得 与 的关系式，从而求得
20、 关于 的关系式，进而利用基本不等式求得其最小值，以及 的值.试题解析：（1）由题意得 F(1，0)，从而有 C：x 24y.解方程组，得 yA2，所以|AF|1. 5 分（2）设 M(x0，y 0)，则切线 l：y(xx 0)y 0，整理得 x0xpypy 00. 6 分由|ON|1 得|py 0|，所以 p且 y10， 8 分所以|MN| 2|OM| 21xy12py 0y1y14(y1)8，当且仅当 y0时等号成立，所以|MN|的最小值为 2，此时 p. 12 分考点：抛物线的定义及几何性质；3、直线与抛物线的位置关系；3、直线与圆的位置关系.【方法点晴】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两
21、种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.21. 已知函数 ， .（I）求函数 的最大值；（II）当 时，函数 有最小值，记 的最小值为 ，求函数的值域.【答案】 （I）最大值 （ II） . 【解析】分析：（I）求出函数的定义域和导数，利用导数的符号变化判定函数的单调性，进而得到函数的最值；（II）求导，利用导数的符号变化和分类讨论思想判定函数 的单调性和最值，即得到 的表达式，再构造函数，利用导数求其最值.详解：（I）
22、 f(x)的定义域为 ， .当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.所以当 时， 取得最大值 . （II） ，由（I）及 得：若 ， ， ， g(x)单调递减，当 时，g(x)的最小值 . 若 ， ， ，所以存在 ， 且 ，当 时， ，g(x)单调递减；当 时， ，g(x)单调递增，所以 g(x)的最小值 . 令 ， . ，当 时， ，所以 在 单调递减，此时 ，即. 由可知， h(a)的值域是 . 点睛：利用导数研究函数的单调性、极值和最值，是高考中重要的题型，也是难度较难的题目，有时要构造函数（技巧性较强）或多次求导，但要注意“函数的定义域优先原则” ，即不要忘记求函数的定义域.2
23、2. 在平面直角坐标系 中，曲线 ，曲线 为参数） ， 以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ I）求曲线 的极坐标方程；（ II）若射线 与曲线 的公共点分别为 ，求 的最大值【答案】() ， ；() .【解析】分析：（I）利用直角坐标方程和极坐标方程的互化公式 得到直线的极坐标方程，先消参得到曲线的直角坐标方程，再利用互化公式进行求解；（II）设点的极坐标，利用几何意义进行求解.详解：（I）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的普通方程为 ，所以曲线 的极坐标方程为 . （II）设 ， ，因为 是射线 与曲线 的公共点，所以不妨设，则 ， ， 所以， 所以当 时， 取得最大值 .
24、点睛：考查参数方程和极坐标方程，主要考查曲线的参数方程和直角坐标方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化问题，要牢记互化公式和消参方法.23. 选修 45：不等式选讲 已知函数 .（I）当 时，求不等式 的解集；（II）如果对于任意实数 ， 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （I） （II） .【解析】分析：（I）利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，得到分段函数，进而判定单调性、得到不等式的解集；（II）讨论 与 1 的大小关系，利用三角不等式进行求解.详解：（I） .所以， 在 上递减，在 上递增，又 ，故 的解集为 . （II）若 ，当且仅当 时，取等号，故只需 ，得 . 若 ， ， ，不合题意. 若 ，+(1-a)|x-a| ，当且仅当 时，取等号，故只需 ，这与 0a1 矛盾. 综上所述， 的取值范围是 .点睛：求解含两个绝对值的不等式时，往往利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数对应的不等式组进行求解.
