1、第三章一元函数积分学 3 1不定积分 例 定义 一 原函数与不定积分的概念 原函数存在定理 简言之 连续函数一定有原函数 问题 1 原函数是否唯一 例 为任意常数 2 若不唯一它们之间有什么联系 关于原函数的说明 1 若 则对于任意常数 2 若和都是的原函数 则 为任意常数 证 为任意常数 不定积分的定义 例1求 解 解 例2求 例3设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线方程 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点 1 2 所求曲线方程为 显然 求不定积分得到一积分曲线族 由不定积分的定义 可知 结论 微分运算与求不定积分的运算是互逆的 实例 启示 能
2、否根据求导公式得出积分公式 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的 因此可以根据求导公式得出积分公式 二 基本积分表 基本积分表 是常数 说明 例4求积分 解 根据积分公式 2 证 等式成立 此性质可推广到有限多个函数之和的情况 三 不定积分的性质 例5求积分 解 例6求积分 解 例7求积分 解 例8求积分 解 说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形 才能使用基本积分表 解 所求曲线方程为 基本积分表 1 不定积分的性质 原函数的概念 不定积分的概念 求微分与求积分的互逆关系 四 小结 练习题 练习题答案 3 2不定积分的计算一 第一类换元法二 第二类换元法三 分部积分法 问题 解决方法
3、利用复合函数 设置中间变量 过程 令 一 第一类换元法 在一般情况下 由此可得换元法定理 实际计算时直接写做 定理1 例1求 解 一 解 二 解 三 例2求 解 例3求 解 例4求 解 例5求 解 例6求 解 例7求 解 例8求 解 例9求 原式 例10求 解 例11求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时 拆开奇次项去凑微分 例12求 解 例13求 解 一 使用了三角函数恒等变形 解 二 类似地可推出 解 例14设求 令 例15求 解 例16 求 同理可得 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法 过程 令 应用 凑微分 即可求出结果 二 第二类换元法 证 设为的原函数 令 则 第二类积分换元
4、公式 例16求 解 令 例17求 解 令 例18求 解 令 说明 1 以上几例所使用的均为三角代换 三角代换的目的是化掉根式 一般规律如下 当被积函数中含有 可令 可令 可令 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的 需根据被积函数的情况来定 说明 3 三角代换很繁琐 令 解 例20求 解 令 说明 4 当分母的阶较高时 可采用倒代换 令 解 例22求 解 令 分母的阶较高 例23求 解 令 基本积分表 三 小结 两类积分换元法 一 凑微分 二 三角代换 倒代换 根式代换 基本积分表 2 思考题 求积分 思考题解答 练习题 练习题答案 3 2 2分部积分法 问题 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则 分部积分公式 一 基本内容 例1求积分 解 一 令 显然 选择不当 积分更难进行 解 二 令
