1、第四章 不定积分,1. 不定积分的概念与性质,已知物体运动的位置函数 s = s(t)，求时刻 t 的瞬时速度 v = v(t)。 微分学解决的问题,已知物体运动的速度函数 v = v(t)求运动的位置函数 s = s(t)。 积分学解决的问题,一般，已知函数 f(x), 要找另一个函数F(x), 使 F (x) = f (x)。 积分学的任务,一、原函数与不定积分的概念,定义1：,已知 f (x)是一个定义在区间I上的函数，,则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。,如：, x 2 是 2 x 的原函数;,d sin x = cos x d x, sin x 是 cos x 的
2、原函数;, s (t) 是 v (t) 的原函数。,如果存在函数F (x), 使在 I 内的任一点都有,有关原函数的几个问题,1.,在什么条件下, f (x) 一定存在原函数？,原函数存在定理：,若 f (x) 在区间I 上连续，,则在 I 上必存在原函数。,2.,如果 f (x) 有原函数，那么共有几个？,设F (x) 为 f (x) 的原函数，则, f (x) 如有原函数，就有无穷多个。,F (x) + C 包含了 f (x) 的所有原函数。,3.,如果 f (x) 有一个原函数 F (x) ,那么F (x) + C 是否包含了 f (x) 的,所有原函数？,定义2：,函数 f (x) 的
3、全体原函数就称为,f (x) 的不定积分。 记作,其中, 积分号,f (x), 被积函数,f (x) d x, 被积表 达式,x, 积分变量,例：,若F (x) 为 f (x) 的一个原函数，则,不定积分的几何意义:,f (x) 的一个原函数F (x) 的图形称为 f (x) 的一条积分曲线，,方程为 y = F (x) .,就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C .,它们相互平行，即在横坐标相同的点处有相同的切线斜率。,x,先积分后微分的作用相互抵消。,由不定积分的定义，,则有,又,或,先微分后积分的作用抵消后加任意常数C。,例：,求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的切线斜
4、率等于该点横坐标6倍的一条曲线。,解：,设所求曲线方程为 y = f (x) .,由题意，曲线上点(x, y)的切线斜率,为一簇积分曲线。,二、 基本积分表,注意：,依基本导数公式与不定积分的定义，,即可得基本积分公式：,请同学们参见教材第186页15个公式。,例 题 讨 论,求下列不定积分：,例1.,例2.,三、 不定积分的性质,性质2.,被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外。,利用基本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定积分。注意3点：,1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出。可在积分号全部不出现后简写为一个常数。,2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，
5、看它的导数是否等于被积函数即可。,3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式中的 x 可用其它变量 u 替代，公式仍正确。,技巧：先将被积函数变形，化为表中所列的类型，然后再积分。,例3.,例4.,掌握被积函数的恒等变形。,例5.,同理，,例6.,例7.,例8.,例9.,(假分式,=多项式+真分式),从理论上来讲，只需把积分结果求导，就可检验积分是否正确。但由于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素，一般不检验。,所以注重积分过程的正确性是至关重要的。,即每一步运算都要看能否还原到上一步。,课 外 作 业,习 4 1（A）,1（双）,习 4 1（B）,1（5，6，7，11），2,一、第一类换元
6、法,( 凑微分法 ),1.,凑常数,例1：,2,(2x = u),2. 换元积分法,例2：,例3：,( +1),(x + 1 = u),例4：,( /a),a,( -1),同理：,例5：,同理：,例6：,2.,凑函数（变量）,定理1.,设 F(u) 是 f (u) 的一个原函数，且,原函数，且有换元公式：,u = (x)可导,证明：,换元公式：, (x) = u,前例：,(u = sin x),例1：,例2：,题目做得熟练后，中间变量 u 可以不写出来。,例3：,同理：,例4：,(sec x + tan x),(sec x + tan x),同理：,例5：,或,例6：,2,例7：,例8：,例9
7、：,一般：,例10：,例11：,一般：,例12：,例13：,课 外 作 业,习 4 2（A）,3（4，5，6，13，16，17）,习 4 2（B）,2（4，7，8）,二、第二类换元法,(变量代换法),定理2.,设 x = (t) 是单调的可导函数，,换元公式：,令 x = (t)，,1. 三角代换,例1：,分析：,目的：消去根式。,利用三角恒等式：,若令 x = a sin t ,被积函数,例1：,解：,令 x = a sin t ,d x = a cos t d t ,t,x,a,例2：,分析：,若令 x = a tan t ,解：,令 x = a tan t ,d x = a sec 2
8、t d t .,t,x,a,也可令 x = a sh t ( t 0 ),解：,令 x = a sh t ，,d x = a ch t d t ,例3：,分析：,若令 x = a sec t ,解：,令 x = a sec t ,d x = a sec t tan t d t ,t,x,a,或令 x = a ch t ( t 0 ),如：,小结：,当被积函数含有因子：,目的： 去根号。,例 题 讨 论,例1：,解：,t,x,例2：,解：,令 x = tan t ,d x = sec 2 t d t .,x,1,t,2. 根式代换,例1：,分析：,目的：化分数幂为整数幂。(去根号),解：,-1+1,回代,例2：,解：,例3：,令 x = sec t ,d x = a sec t tan t d t ,解二：,解一：,3. 倒代换,对形如：,前例3：,例4：,解二：,解一：,熟记！,教材第 203 页积分公式：(16)(24),另外补充一个积分公式：,杂 例,例1：,例2：,例3：,例4：,例5：,例6：,例7：,例8：,例9：,例10：,例10：,另解：,例11：,例12：,课外作业,习 4 2（A）,3（21，23）,习 4 2（B）,2（12，18，19，21，27， 30，31，34，35，36），3,
