1、 1 习题 4-1 不定积分的概念与性质 1.设 f x 为 , 上连续的偶函数,则它的原函数_. (A)均为奇函数; (B)均为偶函数; (C)仅有一个是奇函数; (D)既非奇函数也非偶函数. 解.选(C). 2.若 F x 在区间I 上可导,则 F x 一定在I 上连续吗?考虑函数 2 1 sin , 0 0, 0 xx Fx x x . 解.不一定,例如 11 2s i n c o s, 0 0, 0 xx Fx xx x ,它在 0 x 处不连续. 3.设一曲线过点 2 ,3 e ,且在任一点处切线的斜率等于该点横坐标的 倒数,求该曲线的方程. 解.设曲线方程为 yyx ,则 1 dy
2、 dx x ,同时 2 x e 时, 3 y ,故 1 ln yd xx C x ,代入 2 x e , 3 y ,得 1 C ,因此 ln 1 y x . 4.设 2 2 x fxd xexC ,求 f x . 解. 22 x fxex ,故 2 22 x fxe x . 5.求下列不定积分 (1) 2 1 1 I xx d x x ; 解. 35 11 44 44 4 4 7 I xxd xxxC . (2) 2 2 32 1 1 I dx x x ; 解. 3arctan 2arcsin I xx C . (3) 23 52 3 xx x I dx ; 解. 52 2 ln2 ln3 3
3、 x IxC . 2 (4) 42 2 331 1 xx I dx x ; 解. 23 2 1 3a r c t a n 1 I xd x xx C x . (5) 2 2 1 x xx ex I ee d x x ; 解. 2 11 ln xx x I ed x exC xx . (6) 22 cos sin dx I x x . 解. 22 22 22 sin cos sec csc tan cot sin cos xx I dx x x dx x x C xx . 6.一物体由静止开始运动,经过t秒后的速度为 2 3m / s t ,问: (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少? (2)物体走完360m需要多少时间? 解.(1)设t秒后离开出发点 sst 米,则 223 33 ds tst d ttC dt , 代入 0 t , 0 s ,得 0 C ,故 3 st ,故 32 7 s 米; (2) 3 3 360 360 7.11 tt 秒.
