1、第四章 不定积分,教学目的要求,1、理解原函数的概念，不定积分的概念、几何意义及性质。,2、掌握不定积分的基本公式，不定积分的换元积分法和分部积分法。,3、了解简单有理函数的积分方法。,学习重点和难点,重点 不定积分的计算,难点 不定积分的换元积分法和分部积分法。,原函数,定理（原函数存在定理）,不定积分的概念,不定积分的几何意义,不定积分的性质,性质1 不定积分与求导数（或微分）互为逆运算，即,性质2 被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前，即,性质3 两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不定积分的代数和，即,这一结论可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形，即,基本积分公式,由于不
2、定积分是求导数（或微分）的逆运算，那么就自然可以从导数公式得到相应的积分公式。,见pag.79.以上十三个基本积分公式，是求不定积分的基础，必须熟记。,套用基本积分公式和性质的积分方法称之为直接积分法。,先化为,的形式，利用公式(2),来求不定积分。,注: 1)、分项积分后，每个不定积分的结果都含有任意常数。由于任意常数之和仍是任意常数，因此总的只写一个任意常数。,2)、检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看它的导数是否等于被积函数。,解：基本公式中没有这种类型的积分，经过变形化为表中所列类型，就可以逐项求积分：,换元积分法,换元积分法是复合函数的求导的逆运算，根据被积函数的不同特点将分为第
3、一类和第二类换元积分法。,第一类换元积分法（凑微分法）,通常用以下步骤应用上述定理：,这种求不定积分的方法通常叫做第一类换元积分法（凑微分法）,方法熟悉后，可略去中间换元步骤，直接凑微分公式的形式（见pag.83 凑微分）,本题中七个积分，可以作为公式使用.,在求解不定积分时，经常需要先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形，另外要多做题，掌握更多的积分技巧。,解：利用三角中的积化和差公式,第二类换元积分法,这类求不定积分的方法，称为第二类换元积分法,注：1、 第二类换元法常常用于被积函数中含有根式的情形，常用的变量替换可总结如下：,2、在作三角替换时，可以利用直角三角形的边角关系确定有关三
4、角函数的关系，以还原原积分变量。,分部积分法,形如,等类型的积分(即两个函数乘积的积分)， 就采用另一种基本积分方法分部积分法。,分部积分公式的作用在于把比较难求的,化为比较容易求的,来计算，从而达到化难,为易，化繁为简的目的。,应用分部积分法求积分时，恰当选取,是关键，为了便于掌握、记忆分部积分法，编写了 分部积分歌：,幂三（指）选幂,（若被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，设幂函数为u，其余为dv),幂反（对）选反（对）,（若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，设反三角函数或对数函数为u，其余为dv),三角指数可任选,出现循环移项解,现举例说明,幂三选幂为u,幂指选幂为u,幂对选对为u,幂反选反为u,幂反选反为u,等式左端的积分与右端的积分是同一类型，对右端积分再用一次分部积分法，,三角指数可任选,简单有理函数积分 （有理可分解）,有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即,一般地，利用多项式除法，总可把假分式化为多项式真分式之和，例如,多项式部分可逐项积分，因此以下只讨论真分式的积分法。,称有理函数是真分式；反之,称有理函数是假分式。,有理真分式积分有以下三种形式，现举例说明：,这是恒等式，两端 X 的系数和常数项必须分别相等，于是,方法二：在恒等式（1）中，代人特殊的 x 值，从而求出待定的常数,这样，所求积分可计算如下：,
