1、第一部分 考点研究第三单元 函数第 15 课时 二次函数综合题浙江近 9 年中考真题精选（2009-2017）命题点 1 与一次函数结合(杭州必考)1(2013 杭州 20 题 10 分)已知抛物线 y1 ax2 bx c(a0)与 x 轴相交于点 A、 B(点A、 B 在原点 O 两侧)，与 y 轴相交于点 C，且 点 A、 C 在一次函数 y2 x n 的图象上，线43段 AB 长为 16，线段 OC 长为 8，当 y1随着 x 的增大而减小时，求自变量 x 的取值范围2(2014 杭州 23 题 12 分)复习课中，教师给出关于 x 的函数 y2 kx2(4 k1)x k1( k 是实数
2、)教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上学生思考后，黑板上出现了一些结论教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：存在函数，其图象经过(1，0)点；函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；当 x1 时，不是 y 随 x 的增大而增大就是 y 随 x 的增大而减小；若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数教师：请你分别判断四 条结论的真假，并给出理由最后简单写出解决问题时所用的数学方法3(2016 杭州 22 题 12 分)已知函数 y1 ax2 bx，y 2 ax b(ab0)在同一平面直角坐标系中(1)若函数 y1的图象过点(1
3、，0)，函数 y2的图象过点(1，2)，求 a， b 的值；(2)若函数 y2的图象经过 y1的图象的顶点求证：2 ab0；当 10)与 x 轴的另一个交点为 A.过点 P(1， m)作直线 PM x 轴于点 M，交抛物线于点 B.记点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C(B、 C 不重合)连接 CB， CP.(1)当 m3 时，求点 A 的坐标及 BC 的长；(2)当 m1 时，连接 CA，问 m 为何值时 CA CP?(3)过点 P 作 PEP C 且 PE PC，问是否存在 m，使得点 E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的 m 的值，并求出相对应的点 E 坐标；若不存在，请说明理由
4、第 5 题图类型二 与角度有关的综合题(绍兴 2 考)6(2013 绍兴 24 题 14 分)抛物线 y( x3)( x1)与 x 轴交于 A， B 两点(点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C，点 D 为顶点(1)求点 B 及点 D 的坐标；(2)连接 BD， CD，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E.若线段 BD 上一点 P，使 DCP BDE，求点 P 的坐标；若抛物线上一点 M，作 MN CD，交直线 CD 于点 N，使 CMN BDE，求点 M 的坐标类型三 与面积有关的综合题(温州 2 考)7(2016 温州 23 题 10 分)如图，抛物线 y x2 mx3( m0)交
5、y 轴于点 C， CAy 轴，交抛物线于点 A，点 B 在抛物线上，且在第一象限内， BE y 轴，交 y 轴于点 E，交 AO 的延长线于点 D， BE 2AC.(1)用含 m 的代数式表示 BE 的长；(2)当 m 时，判断点 D 是否落在抛物线上，并说明理由；3(3)作 AG y 轴，交 OB 于点 F，交 BD 于点 G.若 DOE 与 BGF 的面积相等，求 m 的值连接 AE，交 OB 于点 M.若 AMF 与 BGF 的面积相等，则 m 的值是_第 7 题图类型四 与三角形相似有关的综合题8(2017 宁波 25 题 12 分)如图，抛物线 y x2 x c 与 x 轴的负半轴交
6、于点 A，与 y 轴14 14交于点 B，连接 AB，点 C(6， )在抛物线上，直线 AC 与 y 轴交于点 D.152(1)求 c 的值及直线 AC 的函数表达式；(2)点 P 在 x 轴正半轴上，点 Q 在 y 轴正半轴上，连接 PQ 与直线 AC 交于点 M，连接 MO 并延长交 AB 于点 N，若 M 为 PQ 的中点求证： APM AON；设点 M 的横坐标为 m，求 AN 的长(用含 m 的代数式表示)第 8 题图答案1解：点 C 在一次函数 y2 x n 的图象上，线段 OC 长为 8，43 n8；(2 分)当 n8 时一次函数为 y2 x8， y0 时， x6，求得点 A 的
7、坐标为 A(6，0)，43第 1 题解图抛物线 y1 ax2 bx c(a0)与 x 轴相交于点 A， B(点 A， B 在原点 O 两侧)，与 y 轴相交于点 C，且线段 AB 长为 16，这时抛物线开口向下， B(10，0)，如解图所示，抛物线的对称轴是 x2，由图象可知：当 y1随着 x 的增大而减小时，自变量 x 的取值范围是 x2；(5 分)当 n8 时一次函数为 y2 x8， y0 时， x6，求得点 A 的坐标为 A(6，0)，43抛物线 y1 ax2 bx c(a0)与 x 轴相交于点 A， B(点 A， B 在原点 O 两侧)，与 y 轴相交于点 C，且线段 AB 长为 16
8、，这时抛物线开口向上， B(10，0)，如解图所示，抛物线的对称轴是 x2，由图象可知：当 y1随着 x 的增大而减小时，自变量 x 的取值范围是 x2；(8 分)第 1 题解图综上所述，当 y1随着 x 的增大而减小时，自变量 x 的取值范围是 x2 或 x2.(10 分)2解：是真命题；是假命题；是假命题；是真命题(2 分)理由如下：当 k0 时，原 函数变形为 y x1，当 x1 时，y0，即存在函数 y x1，其图象过(1，0)点，故是真命题；当 k0 时，原函数变形为 y x1，图象为直线且过第一、二、四象限，与坐标轴只有两个不同的交点，与总有三个不同交点矛盾，故是假命题；(5 分)
9、由题可知当 k 1 时，函数解析式为 y2 x25 x，又 x 1 时，由图象可知当b2a 54x1 时， y 随 x 先减小再增大，故是假命题；(8 分)当 k0 时， y ，4ac b24a 24k2 18k当 k0 时，函数图象开口向上， y 有最小值，最小值为负数；当 k0， m ；(8 分)32 .(10 分)322【解法提示】由知 B(2m，2 m23)，E(0，2 m23)，A( m，3)， G 是 BE 的中点， GF m2 ，则 AF m2 ，32 32易得直线 BO 的解析式为 y x，2m2 32m设直线 AE 的解析式为 y k1x b，则 ，k1m b1 3b1 2m
10、2 3)解得 ，k1 2mb1 2m2 3)直线 AE 的解析式为 y 2mx2 m23.联立得 ，y 2mx 2m2 3y 2m2 32m x )解得 x ，（ 2m2 3） 2m6m2 3点 M 的横坐标为 .（ 2m2 3） 2m6m2 3如解图，过点 M 作 MN AG 于点 N，第 7 题解图则 MN m ，（ 2m2 3） 2m6m2 3 2m3 3m6m2 3由 S BGF S AMF得 MNAF GBGF，12 12即 (m2 ) m(m2 )，2m3 3m6m2 3 32 32解得 m ，或 m0(舍去)，或 m (舍去)322 3228解：(1)把点 C(6， )代入 y
11、x2 x c，得 9 c，152 14 14 152 32解得 c3，(1 分) y x2 x3，14 14当 y0 时， x2 x30，14 14解得 x14， x23， A(4，0)，(2 分)设直线 AC 的函数表达式为 y kx b(k0)，把 A(4，0)， C(6， )代入，得 ，解得 ，152 0 4k b152 6k b) k 34b 3)直线 AC 的函数表达式为 y x3；(4 分)34(2)在 Rt AOB 中，tan OAB .OBOA 34在 Rt AOD 中，tan OAD ，ODOA 34 OAB OAD，(6 分)在 Rt POQ 中， M 为 PQ 中点， OM MP， MOP MPO，MOPAON， APM AON， APM AON；(8 分)如解图，过点 M 作 ME x 轴于点 E.第 8 题解图又 OM MP， OE EP，点 M 横坐标为 m， AEm4， AP2m4，(9 分)tan OAD ，34cos EAMcos OAD ，45 AM AE ，(10 分)54 5（ m 4）4 APM AON， ，(11 分)AMAN APAO AN .(12 分)AMAOAP 5m 202m 4
