1、平面几何是由点 线 角 面组成的 初中平面几何中有一些线段之 间的重要等量关系 同学们如果能够熟练掌握 对自己数学水平的提高 是大有益处的 直角三角形 勾股定理 地球人都知道 两直角边的平方和等于斜边的平方 多种证明方法 请参考 文章 你可能不了解的勾股定理 另外 我们还需要记住如下试卷中经常出现的勾股数 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如下图 D 是 Rt ABC 斜边 AB 上的中点 则 AD BD CD 用倍长中线法证明 ADC BDE Rt ABC Rt EBC 即可 30 角对应的直角边等于斜边的一半
2、如图 做斜边上的中线 易证下面的小三角形是一个等边三角形 射影定理 图中 AD 是直角三角形斜边上的高 则有图下面的三个等量关系 分别证明左右两个小直角三角形和大三角形相似 以及两个小直角三角 形相似 即可得出结论 一般三角形 中位线定理 图中 D E 分别是边 AB AC 的中点 则 DE BC 且 DE BC 2 倍长 DE 再证明 BCFD 是平行四边形即可 三角形重心到顶点的距离是到对边中点距离的两倍 在 三角形的七颗心 一文中我 们介绍了重心是三角形三条中线的交点 如图 AG 2GD BG 2GE CG 2FG 联结 EF 由中位线定理 易知 EF BC 且 EF BC 2 易得 B
3、G 2GE CG 2FG 内角平分线定理 如图 AP 是 BAC 的内角平分线 则 外角平分线定理 如图 AP 是 BAC 的外角平分线 则 作 CE AB 交 AP 于 E 则 CEA DAE CAE 则 Stewart 定理 在三角形中随手从 A 点画一条直线 AP 交底边 BC 于 P 则有 看去来有些复杂 不要着急 我们设 AP 把 BC 分成 m n 的两部分 那么公式可以化简为 更多相关知识请参考 文章 你也能当数学家 Stewart 定理探析 正弦定理 设三角形一边长为 a 对应角为 A 三角形外接圆的半径为 R 则 a sin A 2R 同理 b sin B c sin C a
4、 sin A 2R 如图 A 和 D 都是弧 BC 所对应的圆周角 所以 A D 又 直径 BD 对应的圆周角 BCD 90 度 所以 a BD sin D BD sin A 2R sin A 得证 余弦定理 在三角形 ABC 中 设 AB c BC a AC b 则有 余弦定理的证明多达十几种 这里先给出一个利用勾股定理且三角形 是锐角三角形的简单情况证明 作高 AD BC 对直角三角形 ADC 应用勾股定理即可以得到 钝角三角形和其它边的关系类似 四边形 梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 如图 把 AD 移到 CG 并利用三角形中位线定理即可证明 平行四边形对
5、角线的平方和等于四条边的平方和 对下图利用勾股定理即可证明 托勒密定理 圆的内接凸四边形两两对边的乘积和等于两对角线的乘积 即下图中 AC BD AD BC AB CD 证明 作 BAF CAD 则 ABF 和 ACD 相似 可得 BF AC AB CD 又 ABC 和 AFD 相似 可得 DF AC BC AD 两式相加 得证 圆外接四边形两两对边的和相等 如图 AD BC AB CD 因为切线 AE AF 等分别相等 易证 圆 圆幂定理 1 相交线定理 如图 AE EB DE EC 证明左右两个三角形相似即可 圆幂定理 2 切割线定理 如图 PT 为切线 则 因为 OT PT 倒角可得弦切
6、角 PTA 圆周角 PBT 于是 PTA 和 PBT 相似 可得 剩余部分易证 鸡爪定理 点 I 是 ABC 的内心 连接并延长 AI 交外接圆于点 D 则 DB DI DC 三条线段很像一个鸡爪形状 所以称之为鸡爪定理 如上图倒角即可证明 BID IBD 故 BD DI 同理 DC DI 欧拉公式 如图 O 是 ABC 外心 外接圆半径为 R I 是 ABC 内心 内接圆半径 为 r 则 证明 作 IF AC 连 EO 交外接圆于 G 连 GC GCE 和 AFI 相似 于是 AI EC GE FI 2Rr 根据鸡爪定理 AI EI AI EC 2Rr 连接 OI 并延长分别交外接圆于 MN
7、 则 IM IN AI EI 2Rr 即 R OI R OI 2Rr 整理得 相似三角形 A字型线束模型 图中 DE BC 则利用相似可证 8 字型线束模型 图中 DE BC 同样利用相似可证 梯形的斯坦纳定理 梯形 BCEF 中 BE CF 交于 A 点 BF CE 交于 O 点 连接并延长 AO 分别交上下两底于 G 点 D 点 则 EG FG BD CD 利用 A 点的 A 字型线束以及 O 点的 8 字型线束 即可得出 EG GF GF EG 故 EG FG 梅涅劳斯定理 X Y Z 分别是三角形 ABC 的三条边 AB AC BC 或者其延长线上的点 如果 X Y Z 三点共线 则有 证明 分别从 A B C 向直线 XYZ 作高 塞瓦定理 X Y Z 分别是三角形 ABC 的三条边 AB AC BC 或者其延长线上的点 如果 AZ BY CX 三线共点或相互平行 则有 比如 再如 AZ BY CX 三线相互平行的情况 证明 设三种不同颜色的三角形面积分别为 S1 S2 S3
