1、高中平面几何(叶中豪)知识要点1面积方法2代数与三角方法3同一法与反证法4圆幂与根轴5Ptolemy 定理及应用6Euler 线与九点圆7几何变换及相似理论8位似及其应用9内接三角形与 Miquel 定理10完全四边形与 Miquel 点11Simson 线、垂足三角形与等角共轭12配极，调和四边形13反演14射影几何例题和习题1已知 E、F、G、H 分别在四边形 ABCD 各边上，满足 s， t，联结 EG、FH 相交于 P 点。求证：ABDCABCs 。 （Apollonius ）P PFGAB CDE H2已知：ABC 中，M 是 BC 边的中点，自 M 作 MEAB 于 E，作MFAC
2、 于 F，N 是 EF 联线的中点，L 是顶点 A 与垂心 H 联线段的中点。求证：M、N、 L 三点共线。LHN FE MAB C3ABCD 为矩形，正AEF 内接于 ABCD，M 是 EF 中点。求证：2S BDM S CEF 。 MBDAEFC4已知：A 1、B 1、C 1 三点在直线 l1 上，A 2、B 2、 C2 三点在直线 l2 上，A1B2A2B1=P，A 1C2A2C1=Q，B 1C2B2C1=R。求证： P、Q、R 三点共线。（Pappus 定理） l 1l2RQPA1 B1 C1A2 B2 C25ABC 中， BE、CF 是角平分线，EE1BC，EE 2AB，FF 1BC
3、，FF 2AC，E 1E2、F 1F2 交于 D 点，I 是ABC 的内心，I 是 I 关于 BC 的对称点。求证：A、D、I三点共线。IIDE2E1F2F1F EAB C6ABCD 是梯形，且 BC2AD 。作 CEAB。EC 上有一点 P，满足BP CP，联 AP、ED。若ABP ADE。求证：APAD。 DEB CPA7在凸五边形 ABCDE 中，12，BE，BCDE，M 为 CD 的中点。求证：AMCD。 21EMC DB A8设 OA、OB、OC 是从 O 点出发的三条射线，D 是平面上任意一点，过 D作 DF/OA，DE/OC ，分别交 OB 于 E、F ，再过 E、F 作一对平行
4、线，分别交OA、OB 于 P、Q。求证： P、D、Q 三点共线。 P QEFOA B CD9ABC 中， D、E、F 是边 BC、CA、AB 的中点， X、Y、Z 是各边上高的垂足，EZ 与 FY 交于 L，FX 与 DZ 交于 M，DY 与 EX 交于 N。求证：L、M、N 三点都在ABC 的 Euler 线上。 NLOHMZ YXEDFAB C10设 P、Q 是A 内两点，满足BAP CAQ，P 、Q 在两边上的射影分别为 P1、P 2；Q 1、Q 2。求证： Q1P2、P 1Q2、PQ 三线共点。 RQ2P2Q1P1AB CP Q11设 P、Q 是A 内两点，满足BAP CAQ，P 、Q
5、 在两边上的射影分别为 P1、P 2；Q 1、Q 2。求证： Q1P2、P 1Q2、PQ 三线共点。D Q2P2Q1P1AB CP Q12如图，圆 O1 和圆 O2 分别是ABC 的旁切圆，分别与各边切于E、F、 G、H，联结 EG、FH 并延长交于 P 点。求证：PABC。 （1996 年全国联赛） O2O1PHGFEAB C13已知 P 是 ABC 内任意一点，作PEAB，PF AC，AQCP ，ARBP ，E、F、 Q、R 为垂足，联结 QE、RF。求证：QE 、RF 、BC 三线共点。 XFE RQAB CP14设 ABCD 是圆内接四边形，过 A、B 各作 AD、BC 的垂线交于 X
6、，同样可得 Y、Z 、W。求证：X、 Y、 Z、W 四点共线。 XDA BC15已知ABC 为锐角三角形，以 AB 为直径的圆分别交 AC、BC 于 P、Q。分别过 A 和 Q 作圆的两条切线交于点 T，分别过 B 和 P 作圆的两条切线交于点 S。求证：T、C、S 共线。 TSQPA BC16圆 O1 和圆 O2 相交于 A、B 两点，P 是直线 AB 上一点，过 P 作两圆作切线，分别切圆 O1 和圆 O2 于点 C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆 O1 和圆 O2 于点 E， F。求证： AB、CE 、DF 共点。 （10092201.gsp） E F DCBO1A O2P17过矩形
7、ABCD 的顶点作一条直线，分别与 BA、BC 的延长线交于 E、F ，点 O 是矩形的中心，且 OEOF。求证： 。 （10021201-1.gsp ）CFAED（09103101-1.gsp） O FDAB CE18已知 O 是ABC 的外心，点 E、F 分别在 AB、BC 边上，L 、M、N 分别是EF、BF、CE 中点。求证：过 L、M、N 三点的圆与 EF 相切的充要条件是OEOF。 （10021201-2.gsp） （09071501.gsp）O NMLAB CE F19设O 1 与O 2 交于 C、D。过 D 的直线交O 1 与O 2 于 A、B 。点 P 在弧AD 上，PD 与
8、 AC 的延长线交于 M，Q 在弧 BD 上， QD 与 BC 的延长线交于 N，O为ABC 外心。求证： MNOD 是 P、Q、M、N 四点共圆的充要条件。（09020401.gsp）OMNBDO1CO2AP Q20已知 RTABDRT ADC，M 是 BC 中点，AD 与 BC 交于 E，自 C 作AM 垂线交 AD 于 F。求证： DEEF。 （10083001.gsp） EFM CAB D21设 KL、KN 是圆 O 的切线， M 是 KN 延长线上一点，过 K、L、M 三点的圆与圆 O 交于 P，作 NQLM 于 Q。求证：MPQ=2NML。 （98 年伊朗竞赛）（10081601-
9、5、6.gsp） （09022203.gsp） QPKONLM22如图，设 N 是ABC 的弧 BAC 的中点，M 是 BC 边中点，I 是ABC 的内心。求证：ANIIMC。 （09021701.gsp）NIMAB C23已知 H 是ABC 的垂心，M、N 分别是 BC 和 AH 的中点，直线 MN 交以AH 为直径的圆于点 S、T。求证：AT、AS 平分BAC 及其外角。 （10040601-2.gsp ） STMNHAB C24在 ABC 中 ACBC，F 是 AB 的中点，过 F 作它的外接圆直径 DE，使得 C、 E 在 AB 同一侧，又过 C 做 AB 的平行线交 DE 于 L。求
10、证 ：(AC+BC) 24DLEF。 （09011003.gsp） LEDOFCA B25自圆 O 外一点 P 作切线 PA、PB 及割线 PCD，自 C 作 PA 的平行线，分别交 AB、AD 于 E、F。求证：CE=EF。 （10081001-5.gsp ） FECA BODP26A 为圆 O 上一点，B 为圆外一点，BC、BD 分别相切圆 O 于 C、D ，DE垂直 AO 于 E，DE 分别交 AB、AC 于 F、G 。求证： DFFG。 （09042001.gsp ）KGFECDO AB27如图，ABC 中，M 为 BC 的中点，以 AM 为直径的圆分别与 AB、AC交于 E、F 两点
11、，圆在 E、F 两点的切线交于点 D。求证：DMBC 。 （09013101.gsp ）DFEMAB C28设圆 I1 是ABC 的 BC 边外的旁切圆，D、E、F 分别是切点，若 I1D 与EF 交于 P 点。求证：AP 平分底边 BC。 （10082001-8.gsp ） MPFEDI1ABC29设以 O 为圆心的圆经过ABC 的两个顶点 A 和 C，且与边 AB、BC 分别交于 K 和 N，又设ABC 和KBN 的外接圆交于 B 和另一点 M。求证：OMB=90 。 （1985 年 IMO） （10090301-1.gsp） OMNBA CK30已知：在OAB 与OCD 中，OA=OB，
12、OC=OD，直线 AB 与 CD 交于点P，PAC 与 PBD 的外接圆交于 P、Q 两点。求证： OQPQ。 （09022301.gsp）QPOACBD31已知四边形 ABCD 中，B90对角线 AC BD，P 是对边 BC、AD 中垂线的交点，Q 是对边 AB、CD 中垂线的交点。求证：B、P 、Q 三点共线。 （10041302.gsp） QPACBD32已知：P 是ABC 内任一点，EHBC，FI AB，GDAC，且三线共点于P，AP 交ABC 的外接圆于另一点 Q。求证：APPQ=EPPH+FPPI+GPPD。 （10022801.gsp ）QGFED IHAB CP33已知 O 是
13、ABC 的外心，D、E、F 分别是各边中点，R、r 为外接圆和内切圆的半径。求证：ODOEOFRr。 （10040601-9.gsp） IF EDOAB C34已知 E、F 是圆内接四边形 ABCD 对边 AB、CD 的中点，M 是 EF 的中点，自 E 分别作 BC、AD 的垂线，垂足记为 P、Q。求证：MP=MQ。 （10091702-1.gsp） MQPFEAB CD35已知：P 是四边形 ABCD 内的一点，满足12，34。求证：PBPD 的充要条件是 ABCD 内接于圆。 （09030801.gsp）2143PABDC36已知，D 是ABC 底边 BC 上任意一点，P 是形内一点，满
14、足12，34。求证： 。 （09030801.gsp）BA4321PAB CD37一点 P 在ABC 三边 BC、CA、AB 上射影分别为 S1、S 2、S 3，在三条高AD、BE 、CF 上射影分别为 T1、T 2、T 3。求证：S 1T1、S 2T2、S 3T3 三线共点 。 （08042602.gsp） （10040601-5.gsp） T3T2 T1S2S3S1F EDAB CP38已知：AD 是高，O、H 是外心和垂心，过 D 作 OD 垂线，交 AC 于 E。求证：DHE=C。 （09022202.gsp）H EODAB C39已知：D、E、F 分别在ABC 三边上，满足 EBED，FC FD，O 是ABC 外心。求证：A 、E、O、F 四点共圆。 （09033102.gsp ）OFEAB CD40已知ABC 中，内心 I 关于 BC 边中点 M 的对称点为 I，S 是 BC 弧（不含 A 点）中点，直线 SI交ABC 的外接圆于另一点 P。求证：P 点到ABC 较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。 （10082201-5.gsp ） PI SMIAB C
