1、高中平面几何(上海教育出版社 叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker 点，Gergonne 点，Nagel 点，等力点，Fermat 点，Napoleon点， Brocard 点，垂聚点，切聚点，X 点，Tarry 点，Steiner 点，Soddy 点，Kiepert 双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine 线，极轴，Brocard 轴，九点圆，Spieker 圆，Brocard 圆，Neuberg 圆，McCay 圆，Apollonius圆，Schoute 圆系，第一 Lemoine圆，第二 Lemoine圆，Taylor 圆
2、，Fuhrmann 圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一 Brocard三角形，第二 Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva 三角形，反垂足三角形，反 Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton 线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton 线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller 定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius 圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等
3、角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称） ，对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel 定理内接三角形，外接三角形，Miquel 点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues 定理，Pascal 定理，Brianchon 定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，Ptolemy 定理，Menel
4、aus 定理，Ceva 定理，Stewart 定理，Euler线，Fermat- Torricelli问题，Fagnano- Schwarz问题， Newton线，Miquel 定理，Simson 线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach 定理，Napoleon 定理，蝴蝶定理，Morley 定理，Mannheim 定理例题和习题1 以ABC 的 AB、AC 两边向形外作正方形 ABEP 和 ACFQ，AD 是 BC 边上的高。求证：直线 AD、BF、CE 三线共点。2 以ABC 的 AB、AC 两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形 ABD 和 ACE，使ABDACE90。求证线段
5、 DE 的中点的位置与顶点 A 的位置无关。3 已知梯形 ABCD 中，ADBC。分别以两腰 AB、CD 为边向外侧作正方形ABGE 和正方形 DCHF。连接 EF，设线段 EF 的中点为 M。求证：MAMD。4ABC 中，AM 是中线，H 是垂心，N 是 AH 中点，过 A 作外接圆切线，交对边于 D 点。求证：NDAM。(06061602gsp)MNHDAB C5ABC 中，D 是 BC 边上一点，设 O、O 1、O 2分别是ABC 、ABD、ACD 的外心，求证： A、O、O 1、O 2四点共圆。 （ Salmon 定理）6ABC 中，D 是 BC 边上一点，设 O、O 1、O 2分别是
6、ABC 、ABD、ACD 的外心， O是 A、 O、O 1、O 2四点所共圆（Salmon 圆）的圆心。求证：（1）OD BC 的充要条件是：AD 恰好经过ABC 的九点圆心！ OO2O1DNiAB C（2）记ABC 的九点圆心为 Ni 。作 OEBC，垂足为 E。则 Ni EAD！ (06051705gsp) (06052901gsp)NiEOO2O1 AB CD7四边形 ABCD 中，P 点满足PABCAD，PCBACD，O 1、O 2分别是ABC、 ADC 的外心。求证： PO 1BPO 2D。 （06060301gsp）O2O1PAB C D8设 I 是圆外切四边形 ABCD 的内心，
7、求证：IAB ，IBC，ICD，IDA 的垂心共线。9已知凸四边形 ABCD 满足：AB+AD=BC+CD ，延长 BA，CD 交于 E 点，延长 BC，AD 交于 F 点。求证：EB+ED=FB+FD （或 EA+EC=FA+FC） 。（05123102gsp）FEB DAC10 （06.8.9）设 A、B 、C、D 是椭圆 上四点。若直线 AB、CD 的21xyab斜率之积 ，2ABCDka则直线 AC、BC 或直线 AD、BC 的斜率之积也必等于 。2ba（注：这时经过 A、B、C、D 四点的任意二次曲线的离心率必不小于椭圆 的离心率21xy 。 ） （06080901gsp） （060
8、81201gsp）ca1在ABC 中，D 是 BC 边上一点，设 O1、O 2分别是ABD、ACD 的外心，O是经过 A、O 1、O 2三点的圆之圆心。求证：ODBC 的充要条件是：AD 恰好经过ABC 的九点圆心。 OO2O1DNiAB C【证明】取ABC 的外心 O，则熟知 A、O、O 1、O 2四点共圆（Salmon 圆） 。易知AO1O2 ABC，且 O1O2是 AD 的垂直平分线。作顶点 A 关于 BC 边的对称点 A，易看出AOD AOA。设 BC 边高的垂足为 G，再取 AO 连线的中点 L，则 LG 是AOA 的中位线，进而知AO DALG。得 ODA LGA。 OO1 O2L
9、DAGOAB C再作外心 O 关于 BC 的对称点 O，由 AH2OMOO知 A O经过九点圆心 Ni。 （注：AHNi OONi）由 LMA O知ADC LMG；在直角梯形 AOMG 中，得LMG LGM。故ADCLGM。而LGMLGA90。将、代入得ODAADC90。 ODBC。MGLHOOODNiAB C2在ABC 中，D 是 BC 边上一点，设 O1、O 2分别是ABD、ACD 的外心，O是经过 A、O 1、O 2三点的圆之圆心。记ABC 的九点圆心为 Ni。作OE BC，垂足为 E。则 Ni EAD。 （叶中豪提供）NiEOO2O1 AB CD【证明】作 LKAH。由 AH2OM，N
10、i F（OM HG）/2 易知 AK Ni F。又因 OL 在 BC 上的射影是 EF，而 AL 在 AG 上的射影是 AK，且两者夹角相等（都等于） ，故 。12BCALEFK由、知 RtAOL Rt Ni EF。得AOLNi EF。MLKGFE NiHOAB CO而由下图，又易知AOL ADC。由、得Ni ECADC， Ni EAD 。 LOEO NiAB CD3ABC 中， AH 是 BC 边上的高，D 是直线 BC 上任一点。O 、O 1、O 2分别是ABC、 ABD、ACD 的外心，N、N 1、N 2分别是ABC、ABD、ACD的九点圆心。设 O是 A、O、O 1、O 2所共圆（Sa
11、lmon 圆）的圆心，作OE BC，垂足为 E。则 H、E 、N、N 1、N 2五点共圆。（闵飞提供）EOO2O1OHN2N1NAB CD【证明】引理 ABC 中，记外心 O 关于 BC 边的对称点为 O，则九点圆心 Ni 是 A O的中点。（证略）ONiOAB C如下图，作 A、O、O 1、O 2诸点关于 BC 边的对称点，这些对称点仍构成共圆四边形。再以 A 点为位似中心，作 1/2 的位似变换，即可知所得到点 H、N、N 1、N 2一定共圆。 （且顺便得知所共圆的大小恰是 Salmon 圆的一半！）再在 Salmon 圆上取 A，使 AABC。因此 OE 所在直线是 AA的中垂线。作 A
12、关于BC 边的对称点 A。易知 AA的中点恰是 E，于是 E 也在上述位似后的圆上。AAAO1O2OEOO2O1OHN2N1NAB CD5四边形 ABCD 中，P 点满足PAB CAD， PCBACD，O 1、O 2分别是ABC、 ADC 的外心。求证： PO 1BPO 2D。（叶中豪提供）O2O1PAB C D【证法 1】 （田廷彦提供） QO2O1PABC D如上图，延长 CP 交ABC 的外接圆于 Q。连接 QA、QB 、QO 1、AO 2。在等腰O 1BQ 和等腰O 2AD 中，由于BO 1Q2BCQ 2ACDAO 2D，故O1BQ O2AD。又在PAQ 中，由正弦定理 21sinsinsinsiin180/issPABDACBACPQACBDRC其中 R1、R 2分别是BAC 和 DAC 的外接圆半径。
