1、初中平面几何相等关系,一.证明角相等,二.证明线段相等,三、证明线段的和差倍分,1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等.,2.对顶角相等.,3.平行线的性质:两直线平行同位角(内错角)相等.,4.三角形外角定理:三角形外角等于和它 不相邻的内角之和.,5.全等三角形的性质:全等三角形对应角相等.,6.等腰三角形的性质:等边对等角;三线合一.,7.直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一条直角边是斜边的一半,则这条直角边所对的角是 30.,8.角平分线的性质定理的逆定理:到一个角两边距离相等的点在这个角的平分 线上.,9.平行四边形的性质:平行四边形的对角 相等.,10.菱形的
2、性质:菱形的对角线互相垂直平 分,并且每一条对角线平分一组对角.,11.等腰梯形的性质定理:等腰梯形同一底上 的两个角相等.,12.相似三角形的性质:相似三角形对应角相等.,13.圆心角定理:在同圆或等圆中, 如果两个圆心角, 两条弧,两条弦或两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应 的其余各组量都分别相等,14圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,推论:同弧或等弧所对的圆周角相等,直径所 对的圆周角是直角.,15.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.,16.弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角,17:两个弦切角所夹的弧相等
3、,这两个弦切角相等.,18.三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.,19.正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角.,已知 I 为ABC的内心，延长AI 交BC于D，作IE BC.求证：BID=CIE,例1：,证明：,点I是的内心,已知如图，在ABC中, AB=AC,M为AC的中点，ADBM。 求证:AMB=DMC,例2：,过点C作CFAC交AD的延长线于F. 证:,提示,已知，如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别为BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别与EF的延长线交于H、G. 求证：BHE=CGE,例3：,连结BD，取BD的中点M，连结FM、EM.只需
4、证FM=EM，即可证得BHE=CGE.,提示:,AB是 O的直径，弦CDAB于E，M是上任意一点。延长AM与DC的延长线交于F。求证：FMC=AMD,例4：,要证FMC=AMD 而FMC是圆内接四边形ABCM的外角，所以FMC=ABC,分析：,已知条件有直径与弦互相垂直，可考虑用垂径定理。,AMD与ABC所对的弧 是 ，用垂径定理可证 得 = 从而AMD=ABC.,已知 O1 与 O2相交于A、B两点，O1的弦BC交O2于E，O2的弦BD交O1于F，且FD=EC。求证：ABD=ABC,例5：,连结AD、AC、AF、AE,证明：,AFD、AEC分别是圆内接四边形AFBC、ADBE的外角,AFD=
5、ACE，AEC=ADF,DF=EC,ABD=ABC,例6：如图，已知BC是直径， ，ADBC， 求证：（1）EAF=AFE。（2）BE=AE=EF,提示：,要充分利用条件：BC是直径，证明ABE=BAE；再证EAF=FAE。,例7:已知，两圆内切于M，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AMC=BMD,思考：,1.在ABC中，EF AB，CD AB，G在AC边上并且 GDC=EFB，求证: AGD=ACB,2.已知，如图，在 ABC中，AC 2=AD AB。 求证：ACD=ABC。,3.如图，在 ABC中，B=90，点G、E在BC边上，且AB=BG=GE=GC。 求证:AGB=AEB+ACB
6、,4.PA、PB分别为相交两圆O1和O2的切线，且PA=PB。PD、PF分别交O1和O2于C、D、E、F.求证：CDE=EFC,3.等腰三角形的判定定理: 等角对等边.,4.线段垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到该线段两端的距离相等.,5.角平线性质: 角平分线上的点到角两边的距离相等.,6.三角形外心的性质:三角形的外心到三个顶点的距离相等.,1. 全等三角形的性质: 全等三角形对应边,对应边上的高、中线,对应角的平分线相等.,2. 等腰三角形的性质定理推论: 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.,7.三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等.,8.平行四边
7、形的性质:平行四边形的对边平行且相等.,推论:夹在两平行线间的平行线段相等.,9.平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分.,10.矩形性质:矩形的对角线相等.,11.菱形性质:菱形四边形相等.,12.中心对称图形的性质:关于中心对称的两个图形对应线段平行且相等.,13.轴对称图形的性质:关于轴对称的两个图形的对应线段相等.,14.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等.,推论:.经过梯形一腰中点与底平行的直线,必平分另一腰;,经过三角形一边中点与另一边平行的直线,必平分第三边;,15.垂 径定理:垂直 于弦的直径平分这条弦,且平分弦
8、所对的弧;,16.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和该点的连线平分两条切线的夹角,且垂直平分连结两切点的线段.,17.相交两圆的连心线,垂直平分两圆的公共弦.,18.如果两圆有两条外(内)公切线,则两条外公切线长相等,两条内公切线长也相等,例1.如图，在ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC的延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D。求证：DE=DF,分析：证明两条线段相等，我们往往会联想：是否可以通过证明两条线段所在的两个三角形全等。,根据题意，显然 BED和 CDF不全等。因而可以考虑把BE、CF转移到两个全等的三角形中。从E作AC的平行线交BC于G。
9、证明 EGD FCD即可。,例2：如图，在ABC中，ACB=90，BAC=30，分别以AB、AC为边在 ABC的外侧作等边ABE和ACD，DE与AB交于F。求证：EF=FD,分析：DF在ADF中，如能有一个三角形以EF为边与ADF全等，则问题可解决。,例3：已知，如图，RtABC中，D、E是直角边AB、AC上任意点，M、N、P、Q分别是DE、BE、BC、CD的中点。求证：MP=NQ,分析：由本部分知识点可以看出，证明两条线段相等，并非只有证明全等一种方法，况且线段PM、NQ所在的三角形并不明确，但是题目中有这样一个条件：M、N、P、Q分别是DE、BE、BC、CD的中点。说明MN、PQ分别是EB
10、D、CDB的中位线。,根据三角形中位线定理，能证明MNPQ，且MN=PQ， 因而四边形PQMN是平行四边形，如果PM=NQ，则平行四边形PQMN必定是矩形。得到启发：连结MN、NP、PQ、QM，证明四边形PQMN是矩形。,例4：已知，直线DEF 与 ABC的边AB、 AC及BC的延长线分别交于D、E、F，且 ， 求证：AD=BD。,分析：由于条件中有比例线段，而要得到比例，在三角形中一般考虑相似或线段平行.因为：,所以过点C作CGAB交DF于G。从而 ADCG=AEEC， BFCF=BDCG故ADCG=BDCG，所以AD=BD。,例5：已知BD和CE是ABC的两条高，F 是BC的中点，又FGE
11、D于G。求证：EG=DG,分析：方法 一 如果EG=DG成立，因为FGED，那么DG必定是线段DE的垂直平分线，连结EF、DF，从而有EF=DF。反过来只要能证到EF=DF，根据等腰三角形的三线合一，立即可证得结论。而EF、DF分别是RtBEC和RtBDC 斜边上的中线，所以很容易得到EF=DF。,方法二：因为BD、CE是ABC的高，即 CDB=BEC=90，所以B、C、D、E四点共圆，BC为此圆的直径，F为BC的中点，故F为此圆的圆心。FGED，FG平分ED，即EG=GD。,例5：已知BD和CE是ABC的两条高，F 是BC的中点，又FGED于G。求证：EG=DG,思考： 其它条件不变，交换“
12、FGED”与“EG=DG”，是否成立？请证明你的结论。,例6：已知，如图，AB是O的直径，直线MN与O相切于C。AEMN于E，BFMN于F （1）求证： EC=CF； （2）平移MN使MN与O相交于G、H，当G、H在直径AB的同旁时，EG=FH是否成立？试证明你的结论。 （3）平移MN使MN与O相交于G、H，当G、H在直径AB的两旁时，EG=FH是否成立？试证明你的结论。,分析：（1）直线MN与O相切于C连结OC，OCMN，从而可得到AEOCBF，因为OA=OB，所以EC=CF（平行线等分线段定理）；（2）、（3）略。,例7：已知O和O1外切于P点，AB为两圆的一条外公切线，A、B为切点，AC
13、为O的直径，CD切O1于D，求证：AC=CD,分析： 在解决有关两圆相切的问题时，如果需要添加辅助线，一般可以考虑以下两种方法： （1）过切点作两圆的公切线； （2）作两圆的连心线，由定理可知，两圆的连心线必过切点。这样可将两圆的问题，向一个圆转化。,连结AP、BP、CP，若C、P、B三点在一条直线上，由于CD是O1的切线，联想切割线定理，可以得到 CD2=CPCB，由于AC是O的直径，AB是O的切线，所以ACAB，APCP，根据射影定理有AC 2=CP CB，从而可以得到AC=CD。这些分析都是假设C、P、B三点在一条直线上，所以解决问题的关键在于证明C、P、B三点在一条直线上。易证APC=
14、90只需证明APB=90，为此，过点P作两圆的内公切线交AB于点E，根据切线长定理，可以得到AE=PE=BE，所以APB=90，这样C、P、B三点在一条直线上，问题得到解决。 证明：（略）,思考：,1.如图，以ABC的边AB、AC向形外作正方形ABEF、ACGH，求证FC=BH,2.已知等腰直角ABC中，BAC=90，过点A作直线 lBC,在l上取一点F使BF=BC，BE与AC交于点E。求证：CE=CF,3.已知：如图，正方形ABCD的对角线交于O，点E在OA上，CFBE于F，交OB于G。求证：OE=OG,思考：若只交换条件“GFBE”与结论“OE=OG”，本题是否成立？,4.如图,在梯形AB
15、CD中,ADBC,点F在边AD上,EFAB交CD的延长线于E,若AEBF, 求证:点D是EC的中点.,5.如图，MNBC，AD 是BC边上的中线，MN与AD交于点P，求证：MP=NP,变式思考：(1)P是ABC的中线AD上的一点，PEAB，PFAC，PE、PF分别交BC于E、F，求证：ED=FD(2)如图，已知 ABC中，ACB=90，CAB的平分线AE交BC于E，CDAB于D且交AE于F，FMAB交BC于M， 求证：（1）AEAF=ABAC； （2）CE=BM,7.在正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使BE=BC，由E作EFBD交CD于F，求证：DE=EF=FC,8. 从圆外一点E，引圆
16、的两条割线交圆于A、B、C、D。AD、BC在圆内相交。过E作AD的平行线交BC的延长线于F，从F作圆的切线FG，G为切点。求证：FG=FE,思考：若只交换条件“FG=EF”与 结论“EFAD”，本题是否成立？,9.已知：如图，PA与O相切于A，PBC是O的割线，E是的中点，AE交BC于H。求证：（1）PA=2PB；（2）PA=PH,10.已知：如图，O与O1 交于A、B两点，O1点在O上，AC是O直径，AD是O1的直径，连结CD。求证：AC=CD,1.三角形中位线定理:三角形中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.,2.梯形中位线定理:梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半.,3.三角形重
17、心定理:三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍.,4.圆的外切四边形的两组对 边之和相等.,5.证明 b + c = a,通常 :作 x = b+c 证: x=a(延长法);或作: y =a - b,证 : y = c (截取法)或在 a 上作 m = b,证剩下的线段等于c ( 截取法).,6.证 a = kb 可考虑:作x=kb,证 x = a(加倍法). 或先作y= ,再证 y = b(等分法),分析：证明线段的和差，作辅助线，常常采取延长或截取两种方法。在本题的图中，没有线段等于BE+DF，我们采取延长线段的方法，作一条线段等于BE+DF，然后证明这条线段等于CE。延长线
18、段EB至点G，使BG=DF，连结CG。这样EG=BE+DF，所以只需证明CE=EG，即证明EGC=ECG。,例1：如图，已知E是正方形ABCD的边AB上的一点，CF平分DCE，交AD于F。求证：CE=BE+DF,例2：在 ABC中，B=2C，且AD为 BAC的角平分线。求证：AC=AB+BD,方法一：在AC上截取AE=AB，连结DE，然后证EC=BD。,方法二：延长AB至E，使BF=BD。证AF=AC,例2：在ABC中，B=2C，且AD为 BAC的角平分线。求证：AC=AB+BD,思考：若只交换条件“B=2C”与结论“AC=AB+BD”，本题是否成立？,例3：以 ABC的边AB、AC分别向形外
19、作正方形ABEF和ACGH，M是BC边的中点。 求证：FH=2AM,分析：图中没有线段2AM，可以考虑作出线段，使之等于2AM，然后证明它等于FH。在三角形中，如果已知中线，作辅助线，常常延长中线，使延长的线段等于中线，构成平行四边形。,例3：以 ABC的边AB、AC分别向形外作正方形ABEF和ACGH，M是BC边的中点。 求证：FH=2AM,本题也可以这样考虑：延长中线AM至点D，使MD=AM，连结BD、DC，因为AD与BC互相平分，所以四边形ABDC是平行四边形， 故BDAC，且BD=AC。接下来只需证：ABD FAH 即可。,例4：在 ABC中， BC 2=AC（AC+AB） 求证：BA
20、C=2ABC,分析：已知条件中有线段AC+AB，而图中没有，因而可以作一条线段使之等于AC+AB。如图，延长CA至点D，使AD=AB，连结DB，则CD=AC+AB，,例4：在 ABC中， BC 2=AC（AC+AB） 求证：BAC=2ABC,分析：已知条件中有线段AC+AB，而图中没有，因而可以作一条线段使之等于AC+AB。如图，延长CA至点D，使AD=AB，连结DB，则CD=AC+AB，,已知条件 BC2=AC（AC+AB）就可以改成BC2=AC CD，即，又ACB=BCD，所以 ABC BDC。故D= ABC，分析到此，后面的证明就容易了。,例4：在 ABC中， BC 2=AC（AC+AB
21、） 求证：BAC=2ABC,思考： 若交换条件 “BAC=2ABC”与结论 “ BC2=AC（AC+AB）”，本题是否成立？,例5：如图，O的内接四边形ABCD的对角线BD的延长线与切O于A点的切线AE相交于E点，DFAE于F，BD平分ABC。 求证：AC=2AF,分析： 方法一 根据条件，很容易证到AD平分EAC，而DFAE，联想角平分线的性质，自然可以想到作辅助线DGAC于G，然后证明AC=2AG即可。,例5：如图，O的内接四边形ABCD的对角线BD的延长线与切O于A点的切线AE相交于E点，DFAE于F，BD平分ABC。 求证：AC=2AF,分析： 方法二： 因为图中没有2AF这条线段，所
22、以延长AF至点L，使FL=AF，连结DL，证明 ADC ADL即可得到AL=AC。,练习题：,1.已知，点E为梯形ABCD的腰CD上的一点，EA、EB分别平分DAB、CBA。求证：AB=AD+BC,思考：本题若将条件“EB是 ABC的平分线“去掉,但点E是DC的中点,结论是否成立?如成立,你能用几种方法证明?,练习题：,2.在平形四边形ABCD中，E为AB的中点， ， EF交AC于G.求证：,练习题：,3.在 ABC中，B=2C，ADBC于D， M为BC的中点。求证： （用两种方法）,4.在 ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB中点E，连结CD和CE， 求证：CD=2CE.（用两种方法）,5.如图,点E是正方形ABCD的边AD的中点,F是CD边上的一点 ,若FBE=ABE,求证:BF= AB+DF,练习题：,6.如图，AB是O的直径，AC为弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAB于E。 求证：AC=AE BE,7.已知，如图，AB是O的直径，直线MN与O相切于C。AEMN于E，BFMN于F. 求证：AB=AE+BF,练习题：,
