1、- 0 -目录第一章 三角函数1.1.1 任意角 11.1.2 弧度角 51.2.1 任意角的三角函数(1) 81.2.1 任意角的三角函数(2) 121.2.2 同角三角函数的关系(1) 151.2.2 同角三角函数的关系(2) 171.2.3 三角函数的诱导公式(1) 191.2.3 三角函数的诱导公式(2) 221.2.3 三角函数的诱导公式(3) 251.3.1 三角函数的周期性 271.3.2 三角函数的图象和性质(1) 301.3.2 三角函数的图象和性质(2) 331.3.2 三角函数的图象和性质(3) 361.3.3 函数 的图象(1) 38)sin(xAy1.3.3 函数 的
2、图象(2) 411.3.4 三角函数的应用44三角函数复习与小结 46第二章 平面的向量2.1 向量的概念及表示492.2.1 向量的加法522.2.2 向量的减法552.2.3 向量的数乘(1) 582.2.3 向量的数乘(2) 622.3.1 平面向量的基本定理 652.3.2 向量的坐标表示(1) 682.3.2 向量的坐标表示(2) 702.4.1 向量的数量积(1) 722.4.1 向量的数量积(2) 75第三章 三角恒等变换3.1.1 两角和与差的余弦公式 773.1.2 两角和与差的正弦公式 813.1.3 两角和与差的正切公式 853.2.1 二倍角的三角函数(1) 883.2
3、.1 二倍角的三角函数(2) 92- 1 -第一章 三角函数1.1.1 任意角【学习目标】1 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题 1：回忆初中我们是如何定义一个角的？_所学的角的范围是什么？_问题 2：在体操、跳水中，有“转体 ”这样的动作名词，这里的“ ”，怎么刻画？072072_二、建构数学1角的概念角可以看成平面内一条_绕着它的_从一个位置_到另一个位置所形成的图形。射线的端点称为角的_，射线旋转的开始位置和
4、终止位置称为角的_和_。2角的分类按_方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_，它的_和_重合。这样，我们就把角的概念推广到了_，包括_、_和_。3. 终边相同的角所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个_，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成 。4象限角、轴线角的概念我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的_与_- 2 -重合，角的_与_重合。那么，角的_(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是_。如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为_。象限角的集合（1）第一象限角的集合：_（2）第二象限角的
5、集合：_（3）第三象限角的集合：_（4）第四象限角的集合：_轴线角的集合（1）终边在 轴正半轴的角的集合： _x（2）终边在 轴负半轴的角的集合： _（3）终边在 轴正半轴的角的集合：_y（4）终边在 轴负半轴的角的集合：_（5）终边在 轴上的角的集合： _x（6）终边在 轴上的角的集合：_（7）终边在坐标轴上的角的集合：_三、课前练习在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。 0003,156,39,12【典型例题】例 1 （1）钟表经过 10 分钟，时针和分针分别转了多少度？（2）若将钟表拨慢了 10 分钟，则时针和分针分别转了多少度？例 2 在 的范围内，找出与下列各角终边相
6、同的角，并分别判断它们是第几象限036到角。（1） （2） （3） （4）05015020159- 3 -例 3 已知 角的终边相同，判断 是第几象限角。024与2例 4 写出终边落在第一、三象限的角的集合。例 5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）（1） （2） （3）【拓展延伸】已知角 是第二象限角，试判断 为第几象限角？2【巩固练习】1、设 ，则与角 终边相同的角的集合可以表示为_.062、把下列各角化成 的形式，并指出它们是第几象限的),360(360Zkk角。（1） （2） （3） （4）00501501593、终边在 轴上的角的集合_; 终边在直线 上的角的集合y
7、xy_;终边在四个象限角平分线上的角的集合_.4、 终边在 角终边的反向延长线上的角的集合_.05、 若角 的终边与 角的终边关于原点对称，则 ；若角 的终045 _,边关于直线 对称，且 ，则 。yx06_- 4 -6、 集合 ，,3690|ZkkA，则18|B ._BA7、若 是第一象限角，则 的终边在_2【课后训练】1、 分针走 10 分钟所转过的角度为_; 时针转过的角度为_.2、若 ，则 的范围是_， 的范围是_.0013593、 （1）与 终边相同的最小正角是_;（2）与 终边相同的最大负角是_;07（3）与 终边相同且绝对值最小的角是_;（4）与 终边相同且绝对值最小的角是_.0
8、184、与 终边相同的在 之间的角 为_.5003615、已知角 的终边相同，则 的终边在_.,6、若 是第四象限角，则 是第_象限角； 是第_象限角。080187、若集合 ，,9031| ZkkkA集合 ，4564560|B则 ._8、已知集合 ， ， ，下列说法：锐 角M90的 角小 于N第 一 象 限 的 角P（1） ， （2） ， （3） ， （4） 其中正确的是PPMPN)(_.9、角 小于 而大于 ，它的 7 倍角的终边又与自身终边重合，求角 。08018 10、已知 与 角的终边相同，分别判断 是第几象限角。62,【课堂小结】- 5 -【布置作业】（编者：吴 笋）1.1.2 弧度
9、制【学习目标】3 理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数4 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题5 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系【学习重点、难点】弧度的概念，弧度与角度换算【自主学习】一、复习引入请同学们回忆一下初中所学的 的角是如何定义的？01二、建构数学1弧度制角还可以用_为单位进行度量，_叫做 1 弧度的角，用符号_表示，读作_。2弧度数：正角的弧度数为_，负角的弧度数为_，零角的弧度数为_如果半径为 r 的圆心角所对的弧的长为 1，那么，角 的弧度数的绝对值是_。 这里， 的正负由_决定。3角度制与弧
10、度制相互换算360_rad 180_rad1_rad 1 rad_ _4角的概念推广后,在弧度制下, _与_之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即_)与它对应;反过来,每一个实数也都有_(即_)与它对应。5弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：角 的弧度数的绝对值 _ （ 为弧长， 为半径）|lr弧长公式：_扇形面积公式：_【典型例题】- 6 -例 1把下列各角从弧度化为度。（1） （2） （3） （4） （5） 531652.3例 2把下列各角从度化为弧度。（1） （2） （3） （4） （5）0750140670210例 3 （1）已知扇形的周长为 ，圆心角为 ，求该扇形的面积
11、。cm8rad2（2）已知扇形周长为 ，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。4例 4已知一扇形周长为 （ ） ，当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最C0大面积。- 7 -【巩固练习】1、特殊角的度数与弧度数的对应。度数弧度数2、若角 ，则角 的终边在第 _象限；若 ，则角 的终边在第_象限。363、将下列各角化成 ， 的形式，并指出第几象限角。)20(,2kZk（1） （2） （3） （4）915234、圆的半径为 ，则 的圆心角所对的弧长为_；扇形的面积为_。1025、用弧度制表示下列角终边的集合。（1）轴线角 （2）角平分线上的角 （3）直线 上的角xy36、若一圆弧长等于
12、其所在圆的内接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_。【课堂小结】【布置作业】- 8 -（编者：吴 笋）2.2.2 任意角的三角函数（1）【学习目标】6 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义7 会用三角函数线表示任意角三角函数的值8 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】任意角的正弦、余弦、正切的定义【自主学习】一、复习旧知，导入新课在初中，我们已经学过锐角三角函数：角的范围已经推广，那么对任意角 是否也能定义其三角函数呢？二、建构数学1在平面直角坐标系中，设点 是角 终边上任意一点，坐标为 ,它与原点的距P()Pxy离
13、，一般地，我们规定：2|OPxyr比值_叫做 的正弦,记作_,即_=_；比值_叫做 的余弦,记作_,即_=_；比值_叫做 的正切,记作_,即_=_.2.当 =_时, 的终边在 轴上,这时点 的横坐标等于yP_,所以_无意义.除此之外,对于确定的角 ,上面三个值都是_.所以, 正弦、余弦、正切都是以_为自变量,以_为函数 值的函数,我们将它们统称为_.3.由于_与_之间可以建立一一对应关- 9 -系,三角函数可以看成是自变量为_的函数.4.其中， 和 的定义域分别是_；sinyxcosx而 的定义域是_.ta5根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。 sin cosyyt
14、any【典型例题】例 1已知角 的终边经过点 ，求 的正弦、余弦、正切的值。4,3P变题 1 已知角 的终边经过点 ，求 的正弦、余弦、正切的值。4,30Pa- 10 -变题 2 已知角 的终边经过点 ，且 ，求 的值6,xP135cosx例 2已知角 的终边在直线 上，求 的正弦、余弦、正切的值xy3例 3确定下列三角函数值的符号：（1） （2） （3） （4）7cos465sin1tan5tan4cos3i例 4若 两内角 、 满足 ，判断三角的形状。ABCsinco0AB- 11 -【巩固练习】1、已知角 的终边过点 P（1,2）,cos 的值为 2、 是第四象限角，则下列数值中一定是正
15、值的是 Asin Bcos Ctan D tan13、填表： 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360弧度sincota4、已知角 的终边过点 P（ 4a,3a） （a0）,则 2sin cos 的值是 5、若点 P(3，)是角 终边上一点，且 ，则的值是 32sin6、 是第二象限角，P （x, ） 为其终边上一点，且 cos = x，则 sin 的值为5 42_【课堂小结】【布置作业】- 12 -（编者：吴 笋）121 任意角的三角函数（2）【学习目标】1、掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义2、会用三角函数线表示任意角三角函数
16、的值3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】会用三角函数线表示任意角三角函数的值【自主学习】一、复习回顾1单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以_为圆心，以_为半径的圆。2有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为_；规定了_（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。3有向线段的数量：若有向线段 在有向直线 上或与有向直线 _，根据ABll有向线段 与有向直线 的方向_或_，分别把它的长度添ABl上_或_，这样所得的_叫做有向线段的数量。4三角函数线的定义：设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 ，Ox (,)Pxy- 1
17、3 -过点 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，设它与 的终边PxM(1,0)A（当 为第_象限角时）或其反向延长线（当 为第_象限角时）相交于点 。根据三角函数的定义： _； _；Tsinycosx_。tanyx【典型例题】例 1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：36523264例 2利用三角函数线比较大小_ : _ :30sin1150sin25sin150sin_ ; _co4co3ta32ta例 3解下列三角方程2sin1x21cosx1tan3x- 14 -变题 1解下列三角不等式 23sin1x21cosx1tan3x变题 2求函数 的定义域.xxycos21sin2
18、lg【巩固练习】1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线6322利用余弦线比较 的大小；cos64,853若 ，则比较 、 、 的大小；42incostan4分别根据下列条件，写出角 的取值范围：（1） ； （2） ； （3）3costan13sin25当角 ， 满足什么条件时，有sii6若 ， ，写出角 的取值范围。3cos23sin2【课堂小结】- 15 -【布置作业】（编者：吴 笋）1.2.2 同角三角函数的关系（1）【学习目标】1、 掌握同角三角函数的两个基本关系式2、 能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值3、 对于同角三角函数来说，认清什么叫“同角” ，学会运用整体观点看待角4、
19、结合三角函数值的符号问题，求三角函数值【重点难点】同角三角函数的两个基本关系式和应用【自主学习】一、数学建构：同角三角函数的两个基本关系式：_;_.二、课前预习：1、 ，则 的值等于 ),0(,54costan2、化简： ta【典型例题】例 1、 已知 ，并且 是第二象限角，求 的值21sintan,cos变：已知 ，求 的值21sintan,cos- 16 -例 2、已知 ，求 的值512tancos,in解题回顾与反思：通过以上两个例题，你能简单归纳一下对于 和 的“知cos,intan一求二”问题的解题方法吗？例 2、化简（1） （2） 2sin40 1sin40co（3） （ 是第二象
20、限角） （4）1sinta2 sin1si【课堂练习】1、已知 ，求 和 的值4cos5sinta2、化简 sin2 sin 2sin 2 sin2cos 2 cos2= - 17 -3、若 为二象限角，且 ，那么 是第几象限角。 2cosin12sinco【课堂小结】（编者：许琳）1.2.2 同角三角函数的关系（2）【学习目标】1、 能用同角三角函数关系解决简单的计算、化简与证明2、 掌握“知一求二”的问题【重点难点】奇次式的处理方法和“知一求二”的问题【自主学习】一、复习回顾：1、 同角三角函数的两个基本关系式：2、 有何关系？（用等式表示）cosin,sin,cosin二、课前练习1、已
21、知 则 _,31cosincosin2、若 ，则 ； 5tasin【典型例题】例 1、 已知 求下列各式的值,3tn（1） （2） （3）cos9si4222cos9sin422cos3sin- 18 -例 2、求证：（1） （2）sinco1si sintasinta例 3、已知 ,求 的值,051cosintan例 4、若 ),3(1cos,31sinkk（1）求 k 的值； （2）求 的值tan【课堂练习】1、已知 sincos = ,则 cossin 的值等于 ,02512、已知 是第三象限角，且 ，则 9cossin44cosin3、如果角 满足 ,那么 的值是 2csi 1ta-
22、19 -4、若 是方程 的两根，则 的值为 cos,in024mx5、 求证： 1tanssi212【课堂小结】（编者：许琳）1.2.3 三角函数的诱导公式（1）【学习目标】1、 巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式2、 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值3、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程4、 准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值口诀：函数名不变，符号看象限【重点难点】诱导公式的推导与运用【自主学习】1、 利用单位圆表示任意角 的正弦值和余弦值： 为角 的终边与单位圆的交点，),(yxP则 _cos_,sin2、 诱导公式由三角函数定义可
23、以知道：（1） 终边相同的角的同一三角函数值相等。公式一（ ）：_;k2_;_.(2)当角 的终边与角 的终边关于 x 轴对称时， 与 的关系为：_- 20 -公式二（ ）：_;_;_.(3)当角 的终边与角 的终边关于 y 轴对称时， 与 的关系为：_公式三（ ）：_;_;_.(4)当角 的终边与角 的终边关于原点对称时， 与 的关系为：_公式四（ ）：_;_;_.思考：这四组公式可以用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？【典型例题】例 1、求下列三角函数值：（1） ； （2） ； （3） 240sin41cos1560tan例 2、化简： 180cossin36in18
24、0c例 3、判断下列函数的奇偶性：（1） ； （2） xfcosxgsin（3） tani)( 1cos1)(4xf- 21 -例 4、求证 1tan5sin211coi 【课堂练习】1、 求下列各式的的值（1） （2） （3）)43sin()61cos()945tan(02、 判断下列函数的奇偶性：（1） （2）)xfsin)(xxfcosin)(3、化简： )34cos()32sin(n- 22 -【课堂小结】（编者：许琳）1.2.3 三角函数的诱导公式（2）【学习目标】1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值2、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程3、 进一步
25、准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值。口诀：奇变偶不变，符号看象限【重点难点】诱导公式的推导和应用【自主学习】1、复习四组诱导公式：函数名不变，符号看象限2、已知： 求 的值,3tan)2sin()co(4323、 若角 的终边与角 的终边关于直线 y=x 对称（如图） ，（1） 角 与角 的正弦函数与余弦函数值之间有何关系？（2） 角 与角 有何关系？- 23 -（3） 由（1） ， （2）你能发现什么结论？yxP的的的的的的的的MMPy=x当角 的终边与角 的终边关于 y=x 对称时， 与 的关系为：_公式五（ ）：_;_;_.思考：若角 的终边与角 的终边关于直线 对称，你能得到
26、什么结论？xy当角 的终边与角 的终边关于 对称时， 与 的关系为：_公式六（ ）：_;_;_.思考：这六组公式可以用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？【典型例题】例 1、 求证： ， cos23sinsin23例 2、 化简：（1） 008cos26sin41- 24 -（2） )2cos()3sin(7)23sin()si(ta 例 3、已知 ，且 ，求 3175cos 90815cos【课堂练习】1、 求证： ， sin23cos cos23i2、 化简：（2）020sin17cos6coi)1( )tan(23cos2si1)(tan12- 25 -3、已知 ，
27、是第三象限角，求 的值31)75cos(0 )105sin()105cos(4、判断函数 的奇偶性)23cos()sin(1)44xxxf 5、求值： 90sin8si3sin2i1sin 2222 【课堂小结】（编者：许琳）1.2.3 三角函数的诱导公式（3）【学习目标】1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值2、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程3、 进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值。【重点难点】诱导公式的综合应用【自主学习】1、 _1)cos(s()(sin2 2、若 则,54)50i()270(3、化简： _ _)(cos)sin()4s
28、i( 3ico224、化简： =_ _790cos25sin61- 26 -【典型例题】例 1、 已知 ，求 的值416sinx xx3sin65sin2例 2、 已知 A，B，C 为 的三个内角，求证：.2cossinACB例 3、 若 求满足 时的 x 的值,3cos)(xf1)(sinf例 4、已知 ，求证：1)sin(.0tan)2tan(【课堂练习】1、若 求 的值),2cos()sin( )sin()cos(325in2、在 中，若 试判断 的形状。ABC).sin()sin(CBABAB3、已知 是关于 x 的方程 的两实根，且 求cot,tan 0322kx ,273的值)si
29、()cos(- 27 -4、已知 是第三象限角，且 )sin()ta(ta2cosin)( f（1） 化简 （2）若 求 的值)(f ,513f（2） 若 求 的值,1860)(f【课堂小结】（编者：许琳）1.3.1 三角函数的周期性【学习目标】1、 理解三角函数的周期性的概念；2、 理解三角函数的周期性与函数的奇偶性之间的关系；3、 会求三角函数的最小正周期，提高观察、抽象的能力。【重点难点】函数周期性的概念；三角函数的周期公式一、预习指导1、 对于函数 ，如果存在一个_ ，使得定义域内_ 的值，()fxTx都满足_，那么函数 叫做_， 叫做这个函数的()fx_。思考：一个周期函数的周期有多
30、少个？周期函数的图象具有什么特征？2、 对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最()fx小的正数就叫做 的_。 （注：今后研究函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期）- 28 -思考：是否所有的周期函数都有最小正周期？3、 及 （ ）型的三角函数的周期sin()yAxbcos()yAxb0,A公式为_。二、典型例题例 1、若摆钟的高度 h（mm）与时间 t (s) 之间的函数关系如图所示。（1）求该函数的周期；（2）求 t =10s 时摆钟的高度。例 2、求下列函数的周期：（1） （2） （3）cosyx1sinyx12sin()36yx例 3、
31、若函数 ， （其中 ）的最小正周期是 ，()2sin()fxxR0,|2且 ，求 的值。(0)f,例 4、已知函数 ，满足 对一切 都成立，求证：4(),yfxR(2)(fxfxR是 的一个周期。()fx- 29 -三、课堂练习1、 求下列函数的周期：（1） （2）2cos3yx sin3xy2、 若函数 的最小正周期为 ，求正数 的值。()sin)5fxk23k3、若弹簧振子对平衡位置的位移 与x()cm时间 之间的函数关系如图所示：()ts(1)求该函数的周期；(2)求 10.5 时弹簧振子对平衡位置的位移。t四、拓展延伸1、 已知函数 ，其中 ，当自变量 在任何两整数间（包括整数本()sin)103kxf0kx身）变化时，至少含有一个周期，则最小的正整数 为_ 。k
