1、- 1 -第二章 平面向量2.1 向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；【自主学习】1.向量的定义：_;2.向量的表示：（1）图形表示： （2）字母表示：3.向量的相关概念：（1）向量的长度（向量的模）
2、：_记作：_（2）零向量：_，记作：_（3）单位向量：_（4）平行向量：_（5）共线向量：_（6）相等向量与相反向量：_思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？_（2）平行向量与共线向量的关系：_（3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：_【典型例题】例 1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；（4）向量 和 是共线向量， ，则 和 是方向相同的向量；ab/ca- 2 -（5）相等向量一定是共线向量；例 2.已知 是正六边形
3、的中心，在图中标出的向量中：OABCDEF（1）试找出与 共线的向量；（2）确定与 相等的向量；（3） 与 相等吗？【课堂练习】1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：（1）向量 和 是共线向量，则 四点必在一直线上；ABCDABCD、 、 、（2）单位向量都相等；（3）任意一向量与它的相反向量都不想等；（4）四边形 是平行四边形当且仅当 ；（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；2.平面直角坐标系 中，已知 ，则 点构成的图形是_xOy|2A3. 四边形 中，ABCD则四边形 的形状是 _ABCD4.设 ，则与 方向相同的单位向量是_0a5.若 分别是四边形 的边 的中点。EFMN、
4、、 、 A、 、 、求证： /6.已知飞机从甲地北偏东 的方向飞行 到达乙地，再从乙地按南偏东 的方3020km30向飞行 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行 到达丁地，问：丁地20km12k在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？【课堂小结】ODCBAFE- 3 -2.2.1 向量的加法【学习目标】1.掌握向量加法的定义；2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算【学习重难点】重点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；难点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；【自主学习】1.向量的和、向量的加法：已
5、知向量 和 ，_ab则向量 叫做 与 的和，记作：_OB_叫做向量的加法注意：两个向量的和向量还是一个向量；2.向量加法的几何作法：（1）三角形法则的步骤：就是所做的OAab（2）平行四边形法则的步骤：就是所做的OCab注意：向量加法的平行四边形法则，只适用于对两个不共线的向量相加，而向量加法的三abABOba- 4 -角形法则对于任何两个向量都适用。3.向量加法的运算律：（1）向量加法的交换律：_（2）向量加法的结合律：_思考：如果平面内有 个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这 条向量的和是什n n么？_【例题讲解】例 1.如图，已知 为正六边形 的中心，作出下列向量：OABCDEF（
6、1） （2） （3）AO例 2.化简下列各式（1） （2）ABCDAEABMO（3） （4）F()CDBC例 3.在长江南岸某处，江水以 的速度向东流，渡船的速度为 ，渡12.5/kmh25/kmh船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？- 5 -【课堂练习】1.已知 ，求作：,ab（1）（2）2.已知 是平行四边形 的交点，下列结论正确的有 _OABCD（1） （2）ABDC（3） （4） 0O3.设点 是 内一点，若 ，则点 为 的_心；0AB4.对于任意的 ，不等式 成立吗？请说明理由。,ab|bab【课堂小结】bba- 6 -2.2.2 向量的减法【学习目标】1.理解向量减法的概念；2.
7、会做两个向量的差；3.会进行向量加、减得混合运算4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力【学习重难点】重点：三角形法则难点：三角形法则，向量加、减混合运算【自主学习】1.向量的减法： 与 的差：若_，则向量 叫做 与 的差，记为_abxab向量 与 的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；注意：向量的减法是向量加法的逆运算。2.向量 的减法的作图方法：ab作法：_则 BAab3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量()4.关于向量减法需要注意一下几点：在用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可.以向量 为邻边作平行四边形 ，则两条对角线的向量为,ABaDb
8、ABCD， 这一结论在以后应用还是非常广泛，应加强Cab理解；对于任意一点 ， ，简记“终减起” ，在解题中经常用到，必须记住.O- 7 -【例题讲解】例 1.已知向量 ，求作向量： ；,abcd,abcd思考：如果 ，怎么做出 ？/abab例 2.已知 是平行四边形 的对角线的交点，若 试证OABCD,ABaDbOCc明： bca本题还可以考虑如下方法：1.（1） OACBCD（2） caOA2.任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和。例 3.化简下列各式（1） ()ABCDA（2） （3） ()B【课堂练习】1.在 中， ， ，下列等式成立的有_ABC90ACcdbaacbB- 8
9、 -（1） |CAB（2） C（3） |（4） 222|AB2.已知四边形 的对角线 与 相交与 点，且 ，BDO,ACBOD求证：四边形 是平行四边形。C3.如图， 是一个梯形， ， 分别是 的中ABCD/,2ABCD,MN,DCAB点，已知 试用 表示 和,aba【课堂小结】NBA- 9 -2.2.3 向量的数乘（1）【学习目标】1.掌握向量数乘的定义，会确定向量数乘后的方向和模；2.掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算；3.通过本课的学习，渗透类比思想和化归思想【学习重难点】重点：向量的数乘及运算律；难点：向量的数乘及运算律；【自主学习】1.向量的数乘的定义：一般地，实数 与向量 的积
10、是一个向量，记作：_；它的长度和方向规定如下：a（1） |（2）当 时，_；0当 时，_；当 时，_；_叫做向量的数乘2.向量的线性运算定义：_统称为向量的线性运算；3.向量的数乘的作图：已知 作,ab当 时，把 按原来的方向变为原来的 倍；0当 时，把 按原来的相反方向变为原来的 倍；a4.向量的数乘满足的运算律：设 为任意实数， 为任意向量，则,b（1）结合律_（2）分配律_注意：（1）向量本身具有“形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积得运算过程中，既要考虑模的大小，又要考虑方向，因此它是数形结合的具体应用，这一点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义；（2）向量的数乘及运算性质可类比
11、整式的乘法来理解和记忆。- 10 -【典型例题】例 1.已知向量 ，求作：,ab（1）向量 2.5（2） 3例 2.计算（1） (5)4aA（2） ()3ba（3） 642)cbc注意：（1）向量的数乘与实数的数乘的区别：相同点：这两种运算都满足结合律和分配律。不同点：实数的数乘的结果（积）是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量。（2）向量的线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似。例 3.已知 是不共线的向量， ，试用 表示,OAB,()APtBR,OABPbaBPO- 11 -例 4.已知： 中， 为 的中点， 为 的中点， 相ABCD,EF,ACB,DECF交于 点，求证：O
12、（1） ()2（2） 0EF（3） ABC【课堂练习】1.计算：（1） 3(5)2(6)ab（2） 438)cabc2.已知向量 且 求,ab3()2()4()0,xaxbxOFEDCB- 12 -3.在平行四边形 中， 为 的中点，用ABCD,3,aAbNCMB来表示,abMN4.如图，在 中， 为边 的中线， 为 的重心，ABC,abADBCGABC求向量 G【课堂小结】baGDCB- 13 -2.2.3 向量的数乘（2）【学习目标】1.理解并掌握向量的共线定理；2.能运用向量共线定理证明简单的几何问题；3.培养学生的逻辑思维能力【学习重难点】重点：向量的共线定理；难点：向量的共线定理；【
13、自主学习】1.向量的线性表示：若果 ，则称向量 可以用非零向量 线性表示；,(0)baba2.向量共线定理：思考：向量共线定理中有 这个限制条件，若无此条件，会有什么结果？【典型例题】例 1.如图， 分别是 的边 的中点，,DEABC,（1）将 用 线性表示；（2）求证： 与 共线；例 2.设 是两个不共线的向量，已知12,e，若 三点共线，求 的值。1212,3,ABkCeDe,ABDkEDCBA- 14 -变式：设 是两个不共线的向量 ,已知12,e,求证： 三点共线。121283ABCeDe,ABD例 3.如图， 中， 为直线 上一点，OABC,(1),ACB求证： 1思考：（1）当 时
14、，你能得到什么结论？（2）上面所证的结论： 表明：起点为 ，终点为直线 上一点1OABCOAB的向量 可以用 表示，那么两个不共线的向量 可以表示平面上任C, ,意一个向量吗？例 4.已知向量 其中 不共线，向量 ，12123,aebe12,e129ce是否存在实数 ，使得 与 共线,dac- 15 -例 5.平面直角坐标系中，已知 若点 满足 其中(3,1),ABC,OAB三点共线，求 的值；,R,BC【课堂练习】1.已知向量 求证： 为共线向量；1221,3(),aebe,ab2.设 是两个不共线的向量， 若 是共线向量，求12,e1212,aebkeab的值。k3.求证：起点相同的三个非
15、零向量 的终点在同一直线上。,32ab【课堂小结】- 16 -2 31 平面向量基本原理【学习目标】1 了解平面向量的基本定理及其意义；2 掌握三点（或三点以上）的共线的证明方法：3 提高学生分析问题、解决问题的能力。【预习指导】1、平面向量的基本定理如果 ， 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且1e2 a只有一对实数 ， 使 = +a1e22.、基底：平面向量的基本定理中的不共线的向量 , ，称为这一平面内所有向量的一组基底。1e2思考：（1） 向量作为基底必须具备什么条件？（2） 一个平面的基底唯一吗？答：（1）_（2）_3、向量的分解、向量的正交分解：一个平
16、面向量用一组基底 , 表示成 = + 的形式，我们称它为向量的分解，1e2a1e2当 , 互相垂直时，就称为向量的正交分解。1e24、 点共线的证明方法：_ 【典例选讲】例 1：如图：平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于一点 M ， = , = 试用 ABaDb, ，表示 , , 和 。abMCABDD CM bA B a- 17 -例 2： 设 ， 是平面的一组基底，如果 =3 2 ， =4 + 1e2 AB1eBC1e， =8 9 ，求证：A、B 、D 三点共线。CD例 3： 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M 在 AB 的延长线上，且 BM= AB，点 N 21在
17、BC 上，且 BN= BC ，用向量法证明： M、N、D 三点共线。31D CNA B M【课堂练习】1、若 ， 是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的（ e2）A、 2 和 +2112eB 、 与 3eC、2 +3 和 - 4 6121e2D、 + 与e- 18 -2、若 ， 是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是（ ）1e2A、若实数 ， 使 + =0，则 = =01e212B、空间任意向量都可以表示为 = + ， ， Rae12C、 + ， ， R 不一定表示平面内一个向量1e212D、对于这一平面内的任一向量 ，使 = + 的实数对 ， 有无数对1e
18、2123、三角形 ABC 中，若 D，E，F 依次是 四等分点，则以 = ， = 为ABCBeA2基底时，用 ， 表示1e2CBF E D A C4、若 = - +3 , = 4 +2 , = - 3 +12 , 写出用 + 的形式表示a1e2b1e2c1e21b2c【课堂小结】- 19 -232 向量的坐标表示(1)【学习目标】1、 能正确的用坐标来表示向量；2、 能区分向量的坐标与点的坐标的不同；3、 掌握平面向量的直角坐标运算；4、 提高分析问题的能力。【预习指导】1、一般地，对于向量 ，当它的起点移至_时，其终点的坐标 称为向量 a ),(yxa的（直角）坐标，记作_。2、有向线段 A
19、B 的端点坐标为 ，则向量 的坐标为),(,)(21yxByxAAB_。3、若 = ， a),(1yx)2,(b+ =_。b_。a【典型例题选讲】例 1：如图，已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限， ，求向06,34xOA量 的坐标 。A例 2：已知 A（-1，3） ，B（1，-3） ，C (4 ,1) , D (3 ,4), 求向量 的坐CDAOB,标。- 20 -例 3：平面上三点 A（-2,1） ， B（-1,3） ，C（3，4）,求 D 点坐标，使 A,B,C,D 这四个点构成平行四边形的四个顶点。例 4：已知 P1（ ） ，P 2（ ） ，P 是直线 P1P2 上一点，且1,yx
20、2,yx，求 P 的坐标。)(21【课堂练习】1、与向量 平行的单位向量为_)5,12(a2、若 O（0,0）,B(-1,3) 且 =3 ，则 坐标是：_/OB/3、已知 O 是坐标原点，点 A 在第二象限， =2 , 求向量 的坐标。A015xOOA4、已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x 轴上，点 C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求 的坐标。BDC,【课堂小结】- 21 -232 向量的坐标表示（2）【学习目标】1、 进一步掌握向量的坐标表示；2、 理解向量平行坐标表示的推导过程；3、 提高运用向量的坐标表示解决问题的能力。【预习指导】1、 向
21、量平行的线性表示是_2、向量平行的坐标表示是：设 ， ，如果 ，那么),(1yxa)0(,2ayxbab_，反之也成立。3、已知 A ，B ，C ，O 四点满足条件： ，当 ，则能得OCBA1到_【典型例题选讲】例 1：已知 （ ， , ,并且 ,求证： A)0,1)13(B2(CBFAE31,31EF。B例 2：已知 ，当实数 为何值时，向量 与 平行？并确定)1,2(,)0(bakbak3此时它们是同向还是反向。例 3：已知点 O , A , B , C , 的坐标分别为（0，0） ， （3，4） ， （1，2） ， （1，1） ，是否存在常数 ， 成立？解释你所得结论的几何意义。tt-
22、22 -【课堂练习】1. 已知 且 ，求实数 的值。),6(),32(ybaaby2. 已知，平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A (2, 1)， B (1,3) ， C (3,4)，求第四个顶点的 D 坐标。3. 已知 A (0, 2)，B (2, 2)，C (3, 4)，求证：A ，B ，C 三点共线。 4. 已知向量 ，求与向量 同方向的单位向量。)4,3(aa5. 若两个向量 方向相同，求 。)4,(,)1(xbaba2【课堂小结】- 23 -241 向量的数量积（1）【学习目标】1. 理解平面向量数量积的概念及其几何意义2. 掌握数量积的运算法则3. 了解平面向量数量积与
23、投影的关系【预习指导】1. 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则把数量_叫做向量ab与 的数量积（或内积） 。ab规定：零向量与任何一向量的数量积为_2. 已知两个非零向量 与 ，作 ， ，则_叫做向abaOAbB量 与 的夹角。ab当 时， 与 _，当 时， 与 _；当 时，0018a09则称 与 _。3. 对于 ，其中_叫做 在 方向上的投影。cosbab4. 平面向量数量积的性质若 与 是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则：ea ；cosaea ；bb0 ；a若 与 同向，则 ；若 与 反向，则 ；abba或2a设 是 与 的夹角，则 。bbacos- 24
24、 -5. 数量积的运算律交换律：_数乘结合律：_分配律：_注：、要区分两向量数量积的运算性质与数乘向量，实数与实数之积之间的差异。、数量积得运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律。即 不一定等于 ，也不适合消去律 。cba)( )(cba【典型例题选讲】例 1： 已知向量 与向量 的夹角为 ， = 2 ， = 3 ，分别在下列条件下求aba：（1） = 135 ； （2） ； （3） b0b例 2：已知 = 4 ， = 8 ，且 与 的夹角为 120 。abab0计算：（1） ；)2()(（2） 。例 3：已知 = 4 ， = 6 ， 与 的夹角为 60 ，aba0求：（
25、1） 、 （2） 、 （3） 、 )(b)3()2(ba- 25 -例 4：已知向量 ， =1 ，对任意 t R ,恒有 ，则（ ）aeetaA、 B、 （ a)C、 （ D、 （ea)e(e【课堂练习】1、 已知 = 10 ， = 12 ，且 ，则 与 的夹角为_ab36)51(3baab2、 已知 、 、 是三个非零向量，试判断下列结论是否正确：c（1） 、若 ，则 （ ）ba（2） 、若 ，则 （ ）c（3） 、若 ，则 （ ）3、已知 ，则 _0)()23(,2,0 babab4、四边形 ABCD 满足 A = D ,则四边形 ABCD 是（ ）BCA、平行四边形 B、矩形C、菱形 D
26、、正方形5、正 边长为 a ，则 _AB ABCBA【课堂小结】- 26 -241 向量的数量积（2）【学习目标】1、 能够理解和熟练运用模长公式，两点距离公式及夹角公式；2、 理解并掌握两个向量垂直的条件。【预习指导】1、若 则 _),(),(21yxbyaba2、向量的模长公式：设 则 = cos = _),(yx22yxa3、 两点间距离公式设 A（ B 则 _),1yx),(2yxBAyxA,),(12124、 向量的夹角公式：设 = （ ， ， 与 的夹角为 ，则有a),1yx),(2yxbab_bcos5、 两个向量垂直：设 = （ ， ，a),1yx),(2yx0,ba_b注意：
27、对零向量只定义了平行，而不定义垂直。【典例选讲】例 1：已知 = （2 ， ， ，求 。a)1)2,3(b)2()(ba- 27 -例 2：在 中，设 且 为直角三角形，求 的值 。ABC),1(),32(kCAABCk例 3：设向量 ，其中 = （1，0） ， =（0，1）212134,ebea2e（1） 、试计算 及 的值。（2） 、求向量 与 的夹角大小。ab【课堂练习】1、已知 ，求：)2,1(),2(ba ).23()ba2、已知向量 ，若 与 垂直，则实数 =_)3,(),kk3、已知 若 与 平行，则 _)1,(),2(xbaba2x4、已知 A、B、C 是平面上的三个点，其坐标
28、分别为 .那么)1,0(,4)2,1(CBA=_ ， _ ， 的形状为_AB5、已知 ，且 与 的夹角为钝角，求实数 的)2,1(),3,2( mbma abm取值范围。- 28 -【课堂小结】第一章 三角恒等变换3.1.1 两角和与差的余弦公式【学习目标】1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式,并能初步运用解决具体问题；2、应用公 C 式，求三角函数值.)(3、培养探索和创新的能力和意见.【学习重点难点】向量法推导两角和与差的余弦公式【学习过程】（一）预习指导探究 cos(+)cos+cos反例：cos =cos( + )cos + cos 问题：cos(+),cos,cos 的关系（二）基
29、本概念1.解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2.探究：在坐标系中 、 角构造 + 角3.探究：作单位圆，构造全等三角形23636- 29 -探究：写出 4 个点的坐标P1(1,0),P(cos,sin)P3(cos(+),sin(+),P4(cos(-),sin(-),5.计算 ，31p42= 1= 426.探究：由 = 导出公式31pP42cos(+)-1 2+sin2(+)=cos(-)-cos 2+sin(-)-sin 2展开并整理得 所以 可记为 C )(7.探究：特征熟悉公式的结构和特点；此公式对任意 、 都适用公式记号 C )(8.
30、探究：cos(+)的公式以- 代 得： 公式记号 C )(（三）典型例题选讲：例 1 不查表，求下列各式的值.(1)cos105 （2）cos15(3)cos (4)cos80cos20+sin80sin20(5)cos215-sin215 (6)cos80cos35+cos10cos55例 2 已知 sin= ， ，cos= - , 是第三象限角，求 cos（-）的值.103sin5103cos554,135- 30 -例 3：已知 cos(2-)=- ,sin(-2)= ,且 ，求 cos(+)的值.例 4：cos(- )=- ,sin( -)= ,且 ，0 ，求 cos 的值.【课堂练习】1.求 cos75的值2.计算：cos65cos115-cos25sin1151473440,22912322
