1、第一章 三角形的证明,等腰三角形的两个底角相等(等边对等角），反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?（也就是等角对等边吗？）,议一议,已知：如图，在ABC中，B=C， 求证：AB=AC,如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。,条件,条件,条件,条件,结论,有两个角相等的三角形是等腰三角形 （等角对等边）,已知：在ABC中，B=C， 求证：AB=AC,证法1：作BAC的平分线，交BC于点D AD平分BAC BAD=CAD 在ABD和ACD中 BC，BAD=CAD，AD=AD ABDACD（AAS） AB=AC（全等三角形的对应边相等）,D,已知：在ABC中，B=C， 求证
2、：AB=AC,证法2：如图2，过点A作ADBC ，垂足为D. ADB=ADC=90 在ABD和ACD中， BC，ADB=ADC，AD=AD， ABDACD（AAS） AB=AC（全等三角形的对应边相等）,D,定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. (等角对等边.),等腰三角形的判定定理：,在ABC中 BC（已知）， AB=AC（等角对等边）.,几何语言：,例2 已知：如图，AB=DC，BD=CA. 求证：AED是等腰三角形,证明：在ABD和DCA中 ABDC，BD=CA，ADDA， ABDDCA（SSS） ADB=DAC（全等三角形的对应角相等） AED是等腰三角形,想一想,小明说，在一个三
3、角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?,证明： 假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得C=B，这与已知条件“BC”相矛盾，因此 ABAC,图1-9,已知：如图，在ABC中，BC， 求证：ABAC,在上面的证法中，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或定义或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立我们把它叫做反证法,例3用反证法证明ABC中不可能有两个直角,已知： ABC 求证：A，B，C中不能有两个角是直角。证明：假设 A，B，C中有两个角是直角，不妨设A=90，B=90，可得在ABC中A+B+C=9
4、0+90+C180这与三角形内角和定理相矛盾，因此“A=90，B=90”的假设不成立。因此ABC中不可能有两个直角,随堂练习1.如图，在ABC中，BD平分ABC，交AC于点D，过点D作DEBC，交AB于点E，请判断BDE的形状，并说明理由。,解：BDE是等腰三角形。理由如下： BD平分ABC EBD=DBC DEBC EDB=DC EBDEDB BDE是等腰三角形,随堂练习2.已知:a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,求证：这五个数中至少有一个大于或等于1/5.,用反证法来证:证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就
5、小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至少有一个大于或等于1/5.,1已知：如图，CAE是ABC的外角，ADBC且1=2 求证：AB=AC,习题1.3,证明ADBC 1=B,2=C 又1=2 B=C AB=AC（等角对等边）,2.已知：如图，在ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EPBC，垂足为，EP交AB于点F，求证：AEF是等腰三角形。,证法一：在ABC中，AB=AC B=C EPBC，FPB=FPC=90 在BFP中，BFP=180-B-FPB， 在EPC中，PEC=180-C-ECP， BFP=PEC BF
6、P=AFE PEC=AFE AEF是等腰三角形。,2.已知：如图，在ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EPBC，垂足为，EP交AB于点F，求证：AEF是等腰三角形。,证法二：作ABC底边BC上的高线AD，EPBC， ADEP E=CAD，EFA=BAD， 又ABC中，AB=AC， BAD=CAD（三线合一） EFA=E AEF是等腰三角形,D,3.（1）已知：如图（甲），等腰三角形的一个内角为锐角，求作这个等腰三角形；,（2）在（1）中，把锐角变成钝角，其他条件不变，求作这个等腰三角形,提示：有两个结果。,提示：有一种结果。,4.如图，一艘船从A处出发，以18kn的速度向正北航行，经过10h到达B处，分别从A，B望灯塔C，测得NAC=42，NBC=84，求从B处到灯塔C的距离。,解：NBC是ABC的一个外角，NAC=42，NBC=84 C=NBC-NAC=42 AB=BC,AB=18kn10h=180 nmile BC=180 n mile,（1）等腰三角形的判定方法有哪几种？ （2）举例谈谈用反证法说理的基本思路,课堂小结,
