1、1 / 5利用导数求函数的极值例 求下列函数的极值：1 ；2 ；3xf1)(3xef2)( .21)(xf分析：按照求极值的基本方法，首先从方程 求出在函数 定义域内所有0 )(xf可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值解：1函数定义域为 R ).2(312)( xxf令 ，得 0)(xf2当 或 时， ，20)(xf函数在 和 上是增函数；,当 时， ，x)(xf函数在（2，2）上是减函数当 时，函数有极大值 ，16)2(f当 时，函数有极小值x.2函数定义域为 R xxxeef )2()(2令 ，得 或 0)(xf 当 或 时， ，20)(xf函数 在 和 上是减函
2、数；)(xf,当 时， ，0)(f函数 在（0，2）上是增函数)(xf当 时，函数取得极小值 ，0)(f当 时，函数取得极大值 x 24e3函数的定义域为 R .)()1(22)( 2 xxf2 / 5令 ，得 0)(xf1当 或 时， ，10)(xf函数 在 和 上是减函数；)(xf,当 时， ，)(f函数 在（1，1）上是增函数)(xf当 时，函数取得极小值 ，3)1(f当 时，函数取得极大值x.说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性解答本题时应注意 只是函数0)(xf在 处有极值的必要条件，如果再加之 附近导
3、数的符号相反，才能断定函数在)(xf0 0x处取得极值反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误0复杂函数的极值例 求下列函数的极值：1 ；2)5()(32xf .6)(2xf分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定在函数 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点” ，除了确定其导数为零的点外，还必须)(xf确定函数定义域内所有不可导的点这两类点就是函数 在定义内可能取到极值的全部)(xf“可疑点” 解：1 .3)2(5)(2)5(32)( 33 xxxxf 令 ，解得 ，但 也可能是极值点0xf 0当 或 时， ，2)(xf函数 在 和 上是增函数；
4、)(xf,当 时， ，00)(f3 / 5函数 在（0，2）上是减函数)(xf当 时，函数取得极大值 ，0)(f当 时，函数取得极小值 x3422 ),(,6)(2xf 或 ).32(,1)(xxf或不 存 在 或令 ，得 0)(f当 或 时， ，2x1x0)(xf函数 在 和 上是减函数；)(f2,3,1当 或 时， ，3xx0)(xf函数 在 和 上是增函数)(f,21,当 和 时，函数 有极小值 0，2x3)(xf当 时，函数有极大值 145说明：在确定极值时，只讨论满足 的点附近的导数的符号变化情况，确定)(0xf极值是不全面的在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值本题 1 中 处，
5、2 中0x及 处函数都不可导，但 在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，2x3)(f函数 在这些点处仍取得极值从定义分析，极值与可导无关)(f根据函数的极值确定参数的值例 已知 在 时取得极值，且 )0()(23acxbaxf 11)(f1试求常数 a、 b、 c 的值；2试判断 是函数的极小值还是极大值，并说明理由1分析：考察函数 是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过)(xf4 / 5极值点与导数的关系，即极值点必为 的根建立起由极值点 所确定的相关0)(xf 1x等式，运用待定系数法求出参数 a、 b、 c 的值解：1解法一： xf23)(是函数 的极值点，x 是方
6、程 ，即 的两根，0)(xf 02cbxa由根与系数的关系，得）（ ）（ 2 ,13 ,0acb又 ， ， （3）)(f 1cba由（1） 、 （2） 、 （3）解得 2,02c解法二：由 得)(ff， （1）0cba（2）23又 ， ， （3）)1(f cba解（1） 、 （2） 、 （3）得 2,02 ，xxf)( ).1()( xxf当 或 时， ，当 时，110f函数 在 和 上是增函数，在（1，1）上是减函数)(xf,当 时，函数取得极大值 ，)(f当 时，函数取得极小值 1x说明：解题的成功要靠正确思路的选择本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向可见出路在于“思想认识” 在求导之后，不会应用的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍0)1(f5 / 5
