1、1、已知函数 Rbamxaxmxf ,)1(3)(22（1）求函数 的导函数 ；ff（2）当 时，若函数 是 R 上的增函数，求 的最小值；)(xbaz（3）当 时，函数 在（2，+）上存在单调递增区间，求 的取值范2,baf m围.2、已知 （ ）32()69fxaxaR（）求函数 的单调递减区间；（）当 时，若对 有 恒成立，求实数 的取值范围00,3()4fa3、已知函数 且321(),fxaxb(1)0f（I）试用含 的代数式表示 ；（）求 的单调区间； f（）令 ，设函数 在 处取得极值，记点a()f12,()x，12(,),MxNx证明：线段 与曲线 存在异于 、 的公共点；fMN
2、4、已知函数 321()(sin)fxaxc的图象过点 37(1,)6，且在 2,1)内单调递减，在 1,上单调递增。 （1）求 (f的解析式；（2）若对于任意的 2,30)xm，不等式 1245|()|fxf恒成立，试问这样的 是否存在.若存在，请求出 的范围，若不存在，说明理由；5、已知函数 在点 处的切线斜率为 ，且)R,(213)( cbaxaxf )1(,f 2a.2bca()证明： ； ()证明：函数 在区间 内至少有一个极值点.1a)(xf)2,0(6、已知函数 在区间1，1上最大值为 1，),(23)( abaxxf 且为 实 数最小值为2。（1）求 的解析式；)(f（2）若函
3、数 在区间2，2上为减函数，求实数 m 的取值范围。mxfxg)(7、已知函数 （ ，实数 ， 为常数）2()lnfxmx0mn（1）若 （ ），且函数 在 上的最小值为 0，求 的值；30n()fx1,)m（2）若对于任意的实数 ， ，函数 在区间 上总是减函数，对1,2aba(f(,)ab每个给定的 n，求 的最大值 h(n)m8、设函数 sin()2coxf（）求 的单调区间；（）如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围0x ()fxa9、已知 是函数 的一个极值点。3x2ln10fxax（）求 ； （）求函数 的单调区间；af（）若直线 与函数 的图象有 3 个交点，求 的取值范围。yby
4、xb10、已知函数 （ 且 ， ）恰有一个极大值点和一个极小值点，21()kxfc01ckR其中一个是 （）求函数 的另一个极值点；()f（）求函数 的极大值 和极小值 ，并求 时 的取值范围xMm1k11、设函数 曲线 y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1 ，f （-2()(),fxabc1）处的切线垂直于 y 轴.（）用 a 分别表示 b 和 c；（）当 bc 取得最小值时，求函数 g(x)=-f(x)e-x 的单调区间.12、已知函数 .321()fx（）设a n是正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，其中 a1=3.若点 (nN*)21(,)nna在函数 y=f(x)的图象
5、上，求证：点（n,S n）也在 y=f(x)的图象上；（）求函数 f(x)在区间（a-1,a）内的极值.13、已知 是实数，函数 。a)()(axf（）求函数 的单调区间；)(xf（）设 为 在区间 上的最小值。g2,0（i）写出 的表达式；（ii）求 的取值范围，使得 。)(aa2)(6ag14、某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO,BO,OP ，设排污管道的总长为 k
6、my（）按下列要求写出函数关系式：设BAO= (rad)，将 表示成 的函数关系式；设 OP (km) ，将 表示成 的函数关系式xyx（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短课后练习：1、设函数 fn(x)=n2x2(1x )n(n 为正整数) ，则 fn(x)在0,1上的最大值为( )A.0 B.1C. D.) 1)24n2、函数 f(x)=loga(3x2+5x2)(a0 且 a1)的单调区间_.3、在半径为 R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大.4、设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其
7、单调区间.CBPOAD5、设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx2+x 的两个极值点.(1)试确定常数 a 和 b 的值；(2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.6、已知 a、b 为实数，且 bae,其中 e 为自然对数的底，求证： .ab7、设关于 x 的方程 2x2ax 2=0 的两根为 、( ), 函数 f(x)= .142a(1)求 f()f()的值；(2)证明 f(x)是 ，上的增函数；(3)当 a 为何值时，f (x)在区间，上的最大值与最小值之差最小？8、已知函数 ， 32()fxmxR（）若函数 在 处取得极值，试求 的值
8、，并求 在点 处1m()fxM(1, )f的切线方程；（）设 ，若函数 在 上存在单调递增区间，求 的取值范围0()fx2, )m9、已知函数 ，其中()1)xafxe0（1）求函数 的零点；（2）讨论 在区间 上的单调性；()yfx(,)（3）在区间 上， 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存,2afx在，请说明理由10、已知 是实数，函数 如果函数 在区间 上有a2()3fxaxa()yfx1,零点，求 的取值范围4、（1） 2)(sin3)(2xaxf，由题设可知： 0)(1f即 0isin1 sin=1. 从而 a= ，f(x)= x3+ x22x+ c,而又由 f(1)= 得
9、c= .f(x)= x3+ x22x+ 即为所求. 13 13 12 376 223 13 12 223(2)由 )=（ x+2）（x1），易知 f(x)在(,2) 及(1,+ ) 上均为增函数，在(2,1)上为减函数. 当 m1 时，f(x)在 m,m+3上递增,故 f(x)max=f(m+3), f(x)min=f(m)由f(m+3)f( m)= (m+3)3+ (m+3)22(m+3) m313 12 13m2+2m=3m2+12m+ ，12 152 452得5m1.这与条件矛盾，故 当 0m 1 时，f (x)在m ,1上递减, 在1,m+3上递增f(x) min=f(1), f(x)
10、max=max f(m),f(m+3) ,又 f(m+3)f (m)= 3m2+12m+ =3(m+2)1522 0(0m1)f( x)max= f(m+3)| f(x1)f (x2)|f(x) maxf(x )min= f(m+3)f(1)f(4)f(1)= 92恒成立. 故当 0m1 时，原不等式恒成立 .综上，存在 m 且 m0,1合题意.4525、解：() 2(),()afabcf 又3cba,2baac62323结合得 。由得 ， ， ，0a3bb211()由得 ,3cab ,24)(,)0( cabfcf 1当 时， 且0ca02)1(af 0)(caf在区间 内至少有一个极值点.
11、)(xf2,(2当 0 ， 且 在区间 内至少 有一c)fc 2)1(f)(xf)1,(个极值点。综合 1和 2得，函数 在区间 内至少有一个极值点 . x,06、（1） （a1）所以 上单调递增，axxf3)(2 )( ),()axf在在 上单调递减，所以 上的最大值为 ，最小值为,0a,1在f 1b。因为 ，所以 ，即)1(,minf fa23)(23)(2。所以 的解析式为 。34xxf（2）由题意得 。即 解得实数 m上 恒 成 立在 ,043)(2 mg 0)2(g的取值范围为： 。7、解：（1）当 时， 20n22()3lnfxx则 3()() mfxm令 ，得 （舍）， 02x当
12、 1 时，x1 (1,)m (,)m()f- 0 + 23lnm当 时, 令 ，得 xm23ln()inxf23ln23e当 时， 0 在 上恒成立， 在 上为增函数，01 ()f1,)x()fx1,)当 时, 令 ，得 （舍）xmin()fx综上所述，所求 为 23e(2) 对于任意的实数 ， ， 在区间 上总是减函数，1,a1ba()fx(,)ab则对于 x(1,3)， 0， 2()2nmnfxx 在区间1,3上恒成立 设 g(x)= ，()0fx 2mn ，g(x) 在区间1,3上恒成立由 g(x)二次项系数为正，得即 即 1(3) 0, 218mn 0,23nm -, .6 = ，(6
13、)4() 当 n6 时，m ，当 n6 时，m ， 3- 2n 当 n6 时，h(n)= ，当 n6 时，h( n)= ， 即 6.,()328、（） 2 分2 2(cos)sin()cos1)()()xxxfx 当 （ ）时， ，即 ；2233kkZ1co0f当 （ ）时， ，即 4xs2x()x因此 在每一个区间 （ ）是增函数，()f 23k， kZ在每一个区间 （ ）是减函数()fx4， （）令 ，则()()gaxf2cos1()()xgxa23cos(cs)axx故当 时， 21132cos3x3 0g又 ，所以当 时， ，即 当 时，令(0)g0 ()gx ()fxa 103，则
14、故当 时， sinhxaxcosha0rcos3， ()hx因此 在 上单调增加故当 时， ，()rcs3， ()x， 即 于是，当 时， six(0arcs3)x， sini2co3xf ax当 时，有 因此， 的取值范围是 0a 1022fa a13，9、（1） ，因为 是一个极值点，所以)( xaxf 3x。16,0)3( f代 入 得（2）令 ，在上 单 调 递 增在 ),3)1,(,0.3,) xfxf上单调递减。（3）若直线 与函数 的图象有 3 个交点，则,1 yby，解得 的取值范围为： 。)()(fbf 92ln62ln3b10、解析：（）2221kxckxxckf由题意知
15、0f 0， ,0由 2fxkxc，由韦达定理得另一个极值点为 1x（或2ck）（）由 得21c，即2k。当 时， 0k；当 1c时， 2k1c）当 0k时， fx在 ,和 ,内是减函数，在 ,内是增函数，102kMfc， 220kckmfmk及 k得 ）当 2时， fx在 ,c和 1,内是增函数，在 ,1c内是减函数，2210kckMf，02kmf21mkk恒成立综上所述，所求 的取值范围为 ,。11、解：()因为 2(),()2.fxabcfxab所 以又因为曲线 通过点（0，2 a+3）, 故()yfx(0)23,(0),23.fafca而 从 而又曲线 在（-1， f(-1)）处的切线垂
16、直于 y 轴，故 即-2 a+b=0,因此1b=2a.()由()得 故当 时， 取得最小值- .2392()4(),bcaa34abc94此时有 从而3,.(),2fxxfx所以2()(),4x xgxfee 23()().xgfee令 ，解得012,.当 (,2)(0(),2)xgxx时 故 在 上 为 减 函 数 ；当 , .时 ， 故 在 上 为 减 函 数当 (,)()()(,)xxgx时 ， ， 故 在 上 为 减 函 数 .由此可见，函数 的单调递减区间为（-，-2）和（2，+）单调递增区间为（-g2，2）.12、()证明：因为 所以 =x2+2x, 321(),fx)(f由点 在
17、函数 y=f( x)的图象上,又 所以21(,Nnna0(N),na)0,所以 ,又因为 ( n)=n2+2n,所以 ,2(3nSnf ()nSf故点 也在函数 y=f (x)的图象上.(,)()解: ,由 得 .22fx()0,f2x或当 x 变化时, 的变化情况如下表:()fx注意到 ,从而1a当 ,此时 无极小值；22,1,()()3afxf即 时 的 极 大 值 为 ()fxx (-,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+)f( x) + 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 当 的极小值为 ,此时 无极大值；10,1,()aafx即 时 (0)2f()fx当 既无极大值又无极小值
18、.2或 或 时13、（）解：函数的定义域为 ， （ ）0)， 3(2xaf0x若 ，则 ， 有单调递增区间 0a ()fx(f0)，若 ，令 ，得 ，当 时， ，当 时，03a3ax(fx3a()fx有单调递减区间 ，单调递增区间 f03a， 3a，（）解：（i）若 ， 在 上单调递增，所以 ()fx2， ()0gaf若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，06a()fx03a， 3a，所以 若 ， 在 上单调递减，2()gf6 ()fx02，所以 ()afa综上所述， 002()63()ga， ， ， ， （ii）令 若 ，无解若 ，解得 若 ，6) 0 6a36a 解得 故 的取值范围为
19、23a 32 14、（I）由条件可知 PQ 垂直平分 AB， ，则()BAOrd10AQOCSBOS故 ，又 ，所以tanP。10tayC201sin0()co4 ，则 ，所以 ，()OPxkm10Qx2()20AOBxx所以所求的函数关系式为 。20(10)yxxx（I） 选择函数模型。22 210cos(10sin)(i1(sin)coy令 得 ，又 ，所以 。in46当 时， ， 是 的减函数； 时， ， 是 的增函数。060y40y所以当 时 。当 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边min13处。103k课后练习 1.解析：f n(x)=2xn2(1x) nn 3x2(1x
20、) n-1 =n2x(1x) n-12(1x )nx,令f n(x)=0,得 x1=0,x2=1,x3= ,易知 fn(x)在 x= 时取得最大值，最大值 fn( )=n2()2(1 )n=4( )n+1 答案：D2、解析：函数的定义域是 x 或 x2,f (x)= .(3x2+5x2)= ,3153log2ea )2(13log56xea若 a 1,则当 x 时，log ae0,6x+50,(3 x1)( x+2)0,f(x)0, 函数 f(x)在( ,+)上是增函数，x 2 时，f(x)0.函数 f(x)在( ,2)上是减函数.若 0 a1, 则当 x 时，f(x )0,f(x)在( ,+
21、)上是减函数，当 x2 时，f(x)31310, f(x)在(,2)上是增函数。 答案：(,2)3.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为 2x,高为 h，那么h=AO+BO=R+ ,解得2xx2=h(2Rh),于是内接三角形的面积为S=xh= ,)()( 432hRh从而 )()(1432143 323243 )()6()2( hRhRh令 S=0,解得 h= R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下：h (0, R)23R ( ,2R)23S + 0 S 增函数 最大值 减函数由此表可知，当 x= R 时，等腰三角形面积最大. 答案： R23 234、解：f(x)=3ax 2
22、+1，若 a0,f(x)0 对 x(,+) 恒成立，此时 f(x)只有一个单调区间，矛盾. 若 a=0,f(x)=10, x(,+), f(x)也只有一个单调区间，矛盾.若 a0,f(x)=3a(x + )(x ),此时 f(x)恰有三个单调区间. a0 且单调减区间|31|31为(, )和( ,+)，单调增区间为( , ).| |31a|5.解：f(x)= +2bx+1 ，(1)由极值点的必要条件可知： f(1)=f(2)=0,即 a+2b+1=0,且a+4b+1=0,解方程组可得 a= ,b= ,f(x)= lnx x2+x23261361(2)f(x)= x-1 x+1,当 x(0,1)
23、时，f(x)0,当 x(1,2)时，f (x)0,当 x(2,+)时，f (x)0,故31在 x=1 处函数 f(x)取得极小值 ,在 x=2 处函数取得极大值 ln2.653426.证法一：bae,要证 abb a,只要证 blnaaln b,设 f(b)=blnaalnb(be), 则f(b)=lna .bae,ln a1,且 1,f (b)0.函数 f(b)=blnaaln b 在( e,+)上是增函数， f(b)f(a)=alnaalna=0,即 blnaaln b0,blnaalnb,a bb a.证法二：要证 abb a,只要证 blnaaln b(eab ,即证 ,设 f(x)=
24、 (xe) ，则 f(x)=)ln0,函数 f(x)在(e ,+)上是减函数，又eab,2ln1xf(a)f(b), 即 ,abb a.ln7.解：(1)f( )= ,f()= ,f()=f()=41682 a1682(2)设 (x)=2x2ax 2,则当 x 时，(x)0, 222 )1(44)1(4)4) xaaaf函数 f(x)在( ， )上是增函数0)()1(222xx(3)函数 f(x)在 ，上最大值 f()0,最小值 f()0,|f()f()|=4,当且仅当 f()=f()=2 时，f( )f()=|f( )|+|f()|取最小值 4，此时 a=0,f()=2。9、解：（1）函数
25、的零点即方程 0 的解。由 得()fx()1)xafxe(1)0xae函数 的零点为 。（2）函数 在区间 上有意义，xa)f,，令 得 2()xfe()0f221244,aaxx0a 。当 在定义域上变化时， 的变化情况如下：120,x()fx1,x1(,0)x()f x 在区间 上 是增函数。在区间 上 是24(,)a(fx24(,0)a(fx减函数。（3）在区间 上 存在最小值 。由（1）知 是函数(,)f)f a的零点， ()fx1ax22440aa10x由 知当 时， 。又函数在 上是减函数，且)fe()0fx1(,)x，函数 在区间 上的最小值为 ，且12xa0f1,2a2af()f0函数 在区间 上的最小值为 .()f(,2a()f2ae10、解：当 a0 时，函数为 ，其零点 x 不在区间1，1 上3fx3当 a0 时，函数 在区间1，1 分为两种情况：f方程 在区间 上有重根此时 ，解fx, 4830a得 372a当 时， 的重根 0fx371,2x函数在区间1，1上只有一个零点，但不是 的重根0fx此时 ，即 ，解得 10f510a5a函数在区间1，1上有两个零点，此时 解得 或 ,1,20.f3725a综上所述，如果函数在区间1，1 上有零点，那么实数 a 的取值范围为37,1,2
