1、第 1 页 共 7 页初中数学竞赛试题一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分.每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）1设非零实数 a，b，c，满足Error!则 的值为（ ）ab+bc+caa2+b2+c2（A） （ B）0 （C） （D）112 122已知 a，b，c 是实常数，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个非零实根 x1，x 2，则下列关于 x 的一元二次方程中，以 ， 为两个实根的是（ ）1x12 1x22（A）c 2x2+(b22ac)
2、x+a2=0 （B）c 2x2(b22ac)x +a2=0（C）c 2x2+(b22ac)xa 2=0 （D ）c 2x2(b22ac) xa2=03如图，在 RtABC 中，已知 O 是斜边 AB 的中点，CD AB，垂足为 D，DEOC，垂足为 E，若AD，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段 OD，OE，DE，AC 的长度中，不一定是有理数的为（ ）（A）OD （B）OE （C）DE （D）AC4如图，已知ABC 的面积为 24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且BC=4CF，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）（A）3 （B）4 （C）6
3、（D）85对于任意实数 x，y ，z，定义运算“*”为： = ，xy3x3y+3x2y2+xy3+45(x+1)3+(y+1)360且 ，则 的值为（ ）x=（20132（A） （B） （C） （D）607967 1821967 5463967 16389967二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6设 a= ，b 是 a2的小数部分，则( b+2)3 的值为_37如图，点 D，E 分别是 ABC 的边 AC，AB 上的点，直线 BD 与 CE 交于点 F，已知CDF，BFE， BCF 的面积分别为 3，4，5，则四边形 AEFD 的面积是_8已知正整数 a，b，c 满足 a
4、+b22c2=0，3a 28b+c=0，则 abc 的最大值为_9实数 a，b，c，d 满足：一元二次方程 x2+cx+d=0 的两根为 a，b，一元二次方程 x2+ax+b=0 的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为_第 2 页 共 7 页10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售 4 元，圆珠笔每支售 7 元开始时他有铅笔和圆珠笔共 350 支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是 2013 元，则他至少卖出了_支圆珠笔三、解答题（共 4 题，每题 20 分，共 80 分）11如图，抛物线 y=ax2+bx3，顶点为 E，该抛物线与 轴交于 A，B 两点，与 轴交
5、于点 C，且xyOB=OC=3OA，直线 y= x2+1 与 轴交于点 D，求DBCCBE13 y12设ABC 的外心，垂心分别为 O，H ，若 B，C，H ，O 共圆，对于所有的ABC ，求BAC 所有可能的度数13设 a，b，c 是素数，记 x=b+ca，y =c+ab，z=a+bc，当 z2=y， =2 时， ， ， 能否构x y abc成三角形的三边长？证明你的结论14如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称 M 为 m 的“魔术数” （例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数 86415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数） 求
6、正整数 n 的最小值，使得存在互不相同的正整数 a1，a 2，a n，满足对任意一个正整数 m，在 a1，a 2，a n中ADBCOyxEAB C FD E（第 4 题)AB CE D（第 7 题)A BCODE（第 3 题)第 3 页 共 7 页都至少有一个为 的魔术数m2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1 【答案】A【解答】由已知得 ，故 于是(234)(23)0abcbcabc2()0abc，所以 2()abc212 【答案】B【解答】由于 是关于 的一元二次方程，则 因为 ，20axbcx0a12bxa，且 ，所以 ，且 ， ，12cx120221121()xbc221
7、c于是根据方程根与系数的关系，以 ， 为两个实根的一元二次方程是 ，21x220axx即 22()0cxbacx3 【答案】D【解答】因 AD，DB，CD 的长度都是有理数，所以，OAOBOC 是有理数于是，ODOA AD 是有理2AB数由 Rt DOERtCOD，知 ， 都是有2ODECO理数，而 AC 不一定是有理数ADB4 【答案】C【解答】因为 DCFE 是平行四边形，所以 DE/CF，且 EF/DC连接 CE，因为 DE/CF，即 DE/BF，所以 SDEB = SDEC ，因此原来阴影部分的面积等于ACE 的面积连接 AF，因为 EF/CD，即 EF/AC，所以 SACE = SA
8、CF 因为 ，所以 SABC = 4SACF 故阴影部分的面积为 64BF5 【答案】C【解答】设 ，则2013m（第 3 题答题）（第 4 题答题）（第 3 题）（第 4 题）第 4 页 共 7 页，3297459160m于是 032 3233945610697二、填空题6 【答案】 9【解答】由于 ，故 ，因此 213a329ba33(2)(9b7 【答案】 2043【解答】如图，连接 AF，则有：，5=3AEFAEFBBCFDDDSSS，34AFAFCBFEEE解得 ， 108AFS961AFDS所以，四边形 AEFD 的面积是 20438 【答案】 2013【解答】由已知 ， 消去 c
9、，并整理得2abc280ab由 a 为正整数及 66，可得 1a326b6若 ，则 ，无正整数解；1a2859若 ，则 ，无正整数解；40若 ，则 ，于是可解得 ， 32b1b5（i）若 ，则 ，从而可得 ；16c362013ac（ii）若 ，则 ，从而可得 539综上知 的最大值为 a019 【答案】 ， （ 为任意实数）(2)， ， ，(0)， ， ，tt【解答】由韦达定理得， ，abcd （第 7 题答题）第 5 页 共 7 页由上式，可知 bacd若 ，则 ， ，进而 0d1b2dac若 ，则 ，有 （ 为任意实数） ()(0)， ， ， ， ， ，ctt经检验，数组 与 （ 为任意实
10、数）满足条件(2)， ， ， ， ， ，t10 【答案】207【解答】设 x，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则 4720135，xy所以 ，201371(502)44y于是 是整数又 ，y3503xy所以 ，故 y 的最小值为 207，此时 201三、解答题11如图，抛物线 ，顶点为 E，该抛物线与 轴交于 A，B 两点，与 轴交于点y23axbxyC，且 OBOC3OA直线 与 轴交于点 D1y求DBCCBE【解答】将 分别代入 ， 知，0xy3x23axbD(0，1)，C (0， )，3所以 B(3，0) ， A( ，0)直线 过点 B11将点 C(0， )的坐标代入 ，得 y
11、()3ax1a抛物线 的顶点为 (1， )于是由勾股定理得23yxE4BC ，CE ，BE 225因为 BC2CE 2BE 2，所以，BCE 为直角三角形， 90BCE因此 tan = = 又 tanDBO= ，则CBE1313ODDBO 所以， 45DBC12设 的外心，垂心分别为 ，若 共圆，对于所有的 ，求ABCOH， BCO， ， ， ABC所有可能的度数【解答】分三种情况讨论（第 11 题答题）（第 11 题）第 6 页 共 7 页（i）若 为锐角三角形ABC因为 ，1802HBOCA，所以由 ，可得 ，于是 18060A（ii）若 为钝角三角形ABC当 时，因为 ，90 18021
12、80HABOCA，所以由 ，可得 ，于是 。O3120当 时，不妨假设 ，因为 ，90A90BH，所以由 ，可得 ，于是 18BC180A6A（iii ）若 为直角三角形当 时，因为 为边 的中点， 不可能共圆，OCO， ， ，所以 不可能等于 ；90当 时，不妨假设 ，此时点 B 与 H 重合，于是总有 共圆，因此AB BCHO， ， ，可以是满足 的所有角综上可得， 所有可能取到的度数为所有锐角及 12013设 ， ， 是素数，记 ，当abcxbcaybzac， ，时， ， ， 能否构成三角形的三边长？证明你的结论2,2zyxa【解答】不能依题意，得 111()()()22yzbxzcxy
13、， ，因为 ，所以 2yzza又由于 为整数， 为素数，所以 或 ， z3a当 时， 进而， ， ，与 ， 是素数矛盾；2z224()16yzxy， 9b10cbc当 时， ，所以 ， ， 不能构成三角形的三边长30abcabc（第 12 题答题（i） ） （第 12 题答题（ii） ）第 7 页 共 7 页14如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称 M 为 m 的“魔术数”（例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数 86415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数） 求正整数 n的最小值，使得存在互不相同的正整数 ，满足对任意一个正整数
14、 m，在12naa， ， ，中都至少有一个为 m 的魔术数12naa， ， ，【解答】若 n6，取 1，2，7，根据抽屉原理知，必有 中的一个正整12naa， ， ，数 M 是 7 的公共的魔术数，即 7|( )，7|( )则有 7|( )，但 0(ij， ij)10Mi0jji6，矛盾j故 n7又当 为 1，2，7 时，对任意一个正整数 m，设其为 位数（ 为正整数） 则12naa， ， ， k（ ，7）被 7 除的余数两两不同若不然，存在正整数 ， 7 ，满足0kimi， ， i(1jij)7|( ，即 ，从而 7| ，矛盾)(0)kji|0()kji()ji故必存在一个正整数 7 ，使得 7|( ，即 为 m 的魔术数(1i1k所以，n 的最小值为 7
