1、 一：产生分类讨论的原因：（ 1）由于数学概念、定理、公式的限制条件引起的讨论；（ 2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（ 3）由于图形的不确定性引起的讨论；（ 4）由于题目含有字母而引起的讨论。二：分类时必须遵守下列两个原则：（ 1）是要有分类意识，善于从问题的情景中抓住分类对象；（ 2）是要找出科学合理的分类标准，应答满足互斥无漏最简原则。 三：分类讨论问题解答步骤：(1)：确定分类对象与标准；(2)：合理分类（不重不漏）；(3)：分类讨论；(4)：归纳汇总。中考数学分类讨论专题1：分式方程无解的分 类讨论问题 例 题 1：（ 2011武 汉 ）解：去分母，得：猜想：把 “无解
2、 ”改 为 “有增根 ”如何解？ 例 题 2： （ 2011郴州） 2： “一元二次 ”方程系数的分 类讨论问题例 题 3：（ 2010上海）已知方程有 实 数根，求 m的取 值 范 围 。时 ，即 m=0时 ，方程 为 一元一次方程 x+1=0，有 实 数根 x=时 ，方程 为 一元二次方程，根据有 实 数根的条件得：，且综 （ 1）（ 2）得， 例 题 4： （ 2011益阳）当 m是什么整数 时 ，关于 x的一元二次方程与的根都是整数。 解：因 为 是一元二次方程，所以二次 项 系数不 为 0，即 ， ，同理， 且又因 为 m为 整数（ 1）当 m= 1时 ，第一个方程的根 为不是整数，
3、所以 m= 1舍去。（ 2）当 m=1时 ，方程 1、 2的根均 为 整数，所以 m=1.例 题 5： 已知关于的一元二次方程 有 实 数根， 则 的取 值 范 围 是：常 见 病症：（很多同学会从（ 2）直接开始而且会忽略总结 ：字母系数的取 值 范 围 是否要 讨论 ，要看清 题 目的条件。一般 设 置 问题 的方式有两种 :（ 1）前置式，即 “二次方程 ”；（ 2）后置式，即 “两 实 数根 ”。这 都是表明是二次方程，不需要 讨论 ，但切不可忽 视 二次 项 系数不 为 零的要求，本 题 是根据二次 项 系数是否 为 零 进 行 讨论 的。 的条件 ）A BC3：三角形、 圆 等几何
4、 图 形相关量求解的分 类讨论问题 例 题 6： （ 2011青海）方程例 题 9：（ 2011四校 联 考）一条 绳 子 对 折后成右 图 A、 B, A.B上一点 C，且有BC=2AC,将其从 C点剪断，得到的 线 段中最 长 的一段 为 40cm,请问这 条 绳 子的长 度 为 ： 60cm或 120cm 的两个根是等腰三角形的底和腰， 则这 个三角形的周 长为 （ ） 12 12或 15 15 不能确定例 题 7： （ 2011武 汉 ）三角形一 边长 AB为 13cm，另一 边 AC为 15cm， BC上的高 为 12cm,求此三角形的面 积 。（ 54或 84）例 题 8： （ 2
5、011湘西）若两 圆 相切， 圆 心距是 7，其中一 圆 的半径 为 4， 则 另一圆 的半径 为 ： 3或 11.4：动点问题的分类分类讨论问题4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；例题 10： （ 2011永州）正方形 ABCD的边长为 10cm，一动点 P从点 A出发，以 2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到 A点停止，求点 P运动 t秒时， P， D两点间的距离。解：点 P从 A点出 发 ，分 别 走到 B， C， D， A所用 时间 是 秒， 秒， 秒， 秒，即 5秒， 10秒， 15秒， 20秒。 （ 3）当 10t15时 ，点 P在 线 段 CD上， |PD
6、|=|P3D|=30-2t（ 4）当 15t20时 ，点 P在 线 段 DA上， |PD|=|P4D|=2t-30综 上得： （ 1）当 0t5时，点 P在线段 AB上， |PD|=|P1D|= （ 2）当 5t10时 ，点 P在 线 段 BC上，|PD|=|P2D|= |PD|= A BCD4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。例 题 10： （ 2010福建）已知一次函数与 x轴 、y轴 的交点分 别为 A、 B， 试 在 x轴 上找一点 P，使 PAB为 等腰三角形。分析： 本 题 中 PAB由于 P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没
7、有确定。 PAB是等腰三角形有几种可能？我 们 可以按腰的可能情况加以分 类 ：（ 1） PA=PB；（ 2） PA=AB；（ 3） PB=AB。先可以求出 B点坐 标 ， A点坐标（ 9， 0）。设 P点坐标为 利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出 P点坐标有四解，分别为 （不适合条件的解已舍去）总结 ： 解答本 题 极易漏解。解答此 类问题 要分析清楚符合条件的 图 形的各种可能位置， 紧 扣条件，分 类 画出各种符合条件的 图 形。另外，由点的运 动变 化也会引起分 类讨论 。由于运 动 引起的符合条件的点有不同位置，从而需 对 不同位置分 别 求其 结 果，否 则 漏解
8、。 例 11： (2010湖北 )如 图 ，正方形 ABCD的 边长 是 2， BE=CE， MN=1， 线 段 MN的两端在CD、 AD上滑 动 当 DM= 时 ， ABE与以 D、 M、 N为项 点的三角形相似 .MEAB CDN当 ABE与以 D、 M、 N为项 点的三角形相似 时 ， DM可以与 BE是 对应边 ，也可以与 AB是 对应边 ，所以本 题 分两种情况： 分析与解答 勾股定理可得 AE=2. 当 DM与 AB是 对应边时 ，1.当 DM与 BE是 对应边时 ， ,即，即故 DM的 长 是 . ABCOQ例题 12： （ 2011湘潭）如图，直线 y=3x+3 交 x轴于 A
9、点，交 y轴于 B点，过A,B两点 的抛物线交 x轴于另一点 C（ 3,0） .(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使三角形 ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q点坐标；若不存在，请说明理由。 解析：（ 1）抛物 线 解析式的求法： 1，三点式； 2， 顶 点式（ h,k）； 3，交点式。易得： （ 2）依 题 意得 ， 抛物 线 的 对 称 轴为 x=1,设 Q(1， y) 1）以 AQ为 底， 则 有 AB=QB,及解得， y=0或 y=6,又因 为 点（ 1,6）在直 线 AB上 (舍去 )，所以此 时 存在一点 Q(1,0) 2）以 BQ为底，同理
10、则有 AB=AQ,解的 Q(1, ) Q(1, )3）以 AB为底，同理则有 QA=QB,存在点 Q(1,1).综上，共存在四个点分别为： (1,0)、 (1,1)、 (1, ) 、 (1, ) 【 作 业训练 】 1已知等腰 ABC的周 长为 18 ， BC=8 若 ABCABC ， 则 ABC中一定有一定有条 边 等于（ ）A 7 B 2 或 7 C 5 D 2 或 72.（ 2010衡阳）若等腰三角形的两个角度的比是 1:2， 则这 个三角形的 顶 角为 （ ）度。 30 60 30或 90 603 A、 B两地相距 450千米，甲、乙两 车 分 别 从 A、 B两地同 时 出 发 ，相
11、向而行已知甲 车 速度 为 120千米 /时 ，乙 车 速度 为 80千米 /时 ，以 过 小时两车相距50千米，则的值是（ ）A 2或 2 5 B 2或 10 C 10或 12 5 D 2或 12 5 4已知 O的半径为 2，点 P是 O外一点， OP的长为 3，那么以 P这圆心，且与 O相切的圆的半径一定是（ ）A 1或 5 B 1 C 5 D不能确定5.（ 2011株洲市）两圆的圆心距 d=5,他们的半径分别是一元二次方程的两根，判断这两圆的位置关系： . 6已知点是半径为 2的 外一点， PA是 O的切线，切点为 A，且PA=2，在 O内作了长为的弦 AB，连续 PB，则 PB的长为： . 7.（ 2010四校联考）在等腰三角形 ABC中， AB=AC,一边上的中线 BD将这个三角形的周长分为 15和 12两部分，则这个三角形的底边长为： . 1 D 2 .C 3. A 4 A 5外切 6. 7. 7或 11
