1、课 题： 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课 课时安排：1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程： 一、复习引入：差向量的意义： = , = , 则 = OAaBbAab即 可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量ab二、讲解新课：1示例：已知非零向量 ，作出 + + 和( )+( )+( )aaa= =
2、 + + =3OCAB= =( )+( )+( )=3PNQMN（1 ） 3 与 方向相同且|3 |=3| |；（2 ）3 与 方向相反且|3 |=3| |aaaa2实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作： （1 ） | |=| |（2 ） 0 时 与 方向相同； 时 两边向量的方向都与 同向；当 0 且 1 时在平面内任取一点 O，作 OABb1Aa1Bb则 + +ab由作法知 ， 有OAB= OA1B1 | |=| |1 A1 OABOA 1B1 1|OAB AOB= A1OB1 1|因此，O，B， B1 在同一直线上，| |=| | 与 方向也相同1OB1BO( + )= +
3、 ab当 0 时 可类似证明： ( + )= + ab 式成立4向量共线的充要条件若有向量 ( )、 ，实数 ，使 = ，则 与 为共线向量a0bbab若 与 共线( )且| |：| |=，则当 与 同向时 = ； a当 与 反向时 = 从而得aba向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个实数 ，使 =ba b三、讲解范例：例 1若 3 2 ， 3 ，其中 ， 是已知向量，求 ， .mnanbamn分析：此题可把已知条件看作向量 、 的方程，通过方程组的求解获得 、 .mn解：记 3 2 3得 nb得 11 . an1a3b将代入有： m32例 2凸四边形 ABCD的边
4、AD、 BC的中点分别为 E、 F，求证 ( + ).21ABDC解法一：构造三角形，使 EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点 C在平面内作 ，则四边形GABABGC是平行四边形，故 F为 AG中点. EF是 ADG的中位线， EF = , .D21EF21而 ，DG （ ）.EF21ABC解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连 EB， EC，则有 ，EAB ，ECD又 E是 AD之中点，有 .D0即有 ；BAC以 与 为邻边作平行四边形 EBGC，则由 F是 BC之中点，可得 F也是 EG之中点. （ ） （ ）EF21GEB21ABDC例 3 如图,已知任意两个非零向量 a,b,试作 2,3OABOCa+b,ab你能判断 A、B、C 三点之间的位置关系吗?为什么?解： 2Oab3 2ACB所以,A、B、C 三点共线.四、课堂练习：五、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用. 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：
