1、第五章 时间序列预测 1 灰色预测模型灰色预测模型的提出 灰色系统理论：著名学者邓聚龙教授于1982年提出 诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文 “The Control Problems of Grey Systems ”，发表于 北荷兰期刊System ( 2 )对原始白色信息进 行典型曲线建模; ( 3 )对原始白色信息和 典型曲线拟合信息进 行 精度检验 和 关联分 析 ; (4)选定典型拟合曲线; (5)确定上下界灰模块; (6)预测. 白色模块 预测时点 时间 数据 max max ()( ) xntx n t min min ()( ) x ntxn t ()( ) xntxn t
2、 12 灰色预测模型 一 灰色系统生成方式 累加生成 累减生成 均值生成 (0) (0) (0) (0) (0) (1), (2), (3), , ( ) X XXXXn (1) (1) (1) (1) (1) (1), (2), (3), , ( ) XXXXXn n t t X t X i X t X t i , , 2 , 1 ), ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( 1 ) 0 ( ) 1 ( n t i X t X t i m m , , 2 , 1 , ) ( ) ( 1 ) 1 ( ) ( (1) (0) (0) (0) () () ( 1 ) , 1 ,2
3、, , (0) 0 X tXtXtt n X 其中 . , , 3 , 2 ), 1 ( ) ( 2 1 ) ( ) 0 ( ) 0 ( n t t X t X t Z 13 灰色预测模型 二 GM（1，1）模型定义 (1) (1) dX aX b dt 设 (0) X 为非负序列， (1) X 为 (0) X 的 1AGO 序列， (1) Z 为 (1) X 的邻均值生成序列 GM（1，1） (0) (1) () () Xta Ztb 14 灰色预测模型 二 GM（1，1）模型定义 (0) (0) (0) (2), (3), , ( ) T X XX n Y 1 ) ( ) 1 ( 2 1
4、1 ) 3 ( ) 2 ( 2 1 1 ) 2 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( n X n X X X X X X b X a dt dX ) 1 ( ) 1 ( a b e a b X t X t a ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( t X t X t X YX B 15 灰色预测模型 三 模型检验 检验方法1 ：相对误差检验法 (0) (0) (0) 1 () () () 1( ) 100%, 1,2, , () n k ek x k x k
5、ek kn nxk 16 灰色预测模型 三 模型检验 检验方法2 ：后验差检验法 2( 0 )2 1 1 22 2 1 1 () 1 () n k n k Sx k x n Se k e n 21 / CSS 1 ( ) 0.6745 pPeke S 17 灰色预测模型 三 模型检验 模型精度等级 均方差比值C 小误差概率p 1级（好） C=0.35 0.95=p 2级（合格） 0.35C=0.5 0.80=p0.95 3级（勉强） 0.5C=0.65 0.70=p0.80 4级（不合格）0.65C P0.70 精度检验等级参照表 , Max p C 模型的精度级别 的级别 的级别18 灰色预
6、测模型 三 模型检验 检验方法3 ：关联度检验 000 0 0 (1), (2), , ( ) , (1), (2), , ( ) , 1,2, , ,: iii i i XXX Xn XXX Xni m XX 设 为参考序列 为 其它序列 则 与 的关联系数为 00 00 m i nm i n () () m a xm a x () () () () m a xm a x () () ii ij ij ij ii ij Xj X j X j X j XjXj XjXj ,1 , 2 , j n 其中 1 1 n ii j j n 19 灰色预测模型 三 模型检验 例：计算关联度 9 . 41
7、 , 3 . 42 , 4 . 43 , 8 . 45 1 X ) 9 . 44 , 9 . 43 , 6 . 41 , 1 . 39 ( 2 X 5 . 3 , 5 . 3 , 3 . 3 , 4 . 3 3 X 9138 . 0 , 9235 . 0 , 9475 . 0 , 1 1 X 1483 . 1 , 1227 . 1 , 063 . 1 , 1 2 X 0294 . 1 , 0294 . 1 , 097 ,. 1 3 X 解： 第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：20 灰色预测模型 三 模型检验 第二步：求序列差 2335 . 0 , 1992 . 0
8、, 1155 . 0 , 0 2 1146 . 0 , 1059 . 0 , 0225 . 0 , 0 3 第三步：求两极差 2335 . 0 max max k M i 0 min min k m i21 灰色预测模型 第四步：计算关联系数 取=0.5 ，有： 1 0.11675 ,2 , 3 0.11675 i i ki k 从而： 1 1 12 503 . 0 2 12 3695 . 0 3 12 3333 . 0 4 12 1 1 13 8384 . 0 2 13 5244 . 0 3 13 504 . 0 4 13 三 模型检验 第五步：求关联度 551 . 0 4 1 4 1 12
9、 12 k k 717 . 0 4 1 4 1 13 13 k k 22 灰色预测模型 四 GM(1,1)预测基本步骤 累加原数据列x (0) 得到生成序列x (1) 均值生成x (1) 得到z (1) 写出灰微分模型 回带数据利用最小二乘法求得参数a,b的估计值 代入 a,b的估计值解出相应的白微分方程可得： 还原 模型检验 预测 (0) (1) () () X ta Ztb a b e a b X t X t a ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( t X t X t X 23 灰色预测模型 五 GM(1,1)
10、预测模型举例 序号t 1 2 3 4 5 6 产量X (0) (t) 26.7 31.5 32.8 34.1 35.8 37.5 预测第8期产量？ 解： 第一步：构造累加生成序列: X (1) =26.7,58.2,91,125.1,160.9,198.4 例:24 灰色预测模型 五 GM(1,1)预测模型举例 5 . 37 8 . 35 1 . 34 8 . 32 5 . 31 ) 6 ( ) 5 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( X X X X X Y 1 65 . 179 1 00 . 143 1 05 . 108 1 6
11、0 . 74 1 45 . 42 1 ) 6 ( ) 5 ( 2 1 1 ) 3 ( ) 2 ( 2 1 1 ) 2 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( X X X X X X X 第二步：构造数据矩阵X和Y:25 灰色预测模型 五 GM(1,1)预测模型举例 第三步：估计参数向量B: 1 1 71765.09 547.75 19324.8 547.75 5 171.7 0.04305 29.54547 TT a b BX X X Y 第四步：得出预测模型： 54547 . 29 04305 . 0 ) 1 ( ) 1 ( X dt
12、dX 3059 . 686 0059 . 713 04305 . 0 54547 . 29 04305 . 0 54547 . 29 7 . 26 ) 1 ( ) 1 ( 0431 . 0 0431 . 0 ) 0 ( ) 1 ( t t t a e e a b e a b X t Xt值123456 26.7 58.1024 90.8879 125.1173 160.8542 198.1651 26 灰色预测模型 五 GM(1,1)预测模型举例 第五步：残差检验： 由预测模型 3059 . 686 0059 . 713 ) 1 ( ) 1 ( 0431 . 0 ) 0 ( ) 1 ( t t
13、 a e a b e a b X t X 算得： ) ( ) 1 ( t X 算得累减生成序列： t值123456 26.7 31.4024 32.2855 34.2294 35.7369 37.3109 ) ( ) 0 ( t X27 灰色预测模型 五 GM(1,1)预测模型举例 算得绝对误差序列： (0)0, 0.0976, 0.0145, 0.1294, 0.0631, 0.1891 相对误差序列: 0, 0.310,0 . 0 4 4 ,0 . 3 7 9 ,0 . 1 7 6 , 0.504 绝对误差均小于0.20；相对误差均小于0.6，说明模 型精度较高。28 灰色预测模型 五 GM(1,1)预测模型举例 第六步：用检验合格的模型进行预测： 具体预测公式可归并为： (0) (1) (1) 0.0431 0.0431( 1) 0.0431 (1 ) (1 ) ( ) 713.0059 30.0777 tt t Xt Xt Xt ee e 由此可得第8期产量预测值： (0) 0.0431 7 (8) 30.0777 40.67 Xe Thank you! 29
