1、大学生数学竞赛试题(数学专业组)1.求平面 与椭球221xyzabc之间的最短距离（令 221hABC，10AxByCz22mabc） ，试用代数式表示并讨论平面在椭球外面的条件。 （10 分）2.利用定积分求极限 21link.（10 分）3.证明：若函数 ()fx在 ,ab连续，在 (,)ab内存在二阶导数，且 ()0fab， ()fc,其中acb，则在 内至少存在一点 ，使 (0f。 （10 分）4.证明：函数 1nxe在 (0,)内连续. （10 分）5.求积分 31()d)(x; 13(2)dxxe.（ 10 分）6.设 ,Lyz为从原点到球面 2yzR上的点 (,)Pyz的切平面的
2、距离，求积分()dxS，其中 为球面 2x.（10 分）7.证明下列命题：(1). 如果多项式 (),fxg不全为零，证明： (),fxg与 (),xfg互素。(2). 证明： 0是 f的 k重根的充分必要条件是 1000()()kff 而 0()kfx.（10 分）8.设数域 上的 级矩阵 的 元为KnA),(jijiba（1 ） .求 ;(2).当 时， .求齐次线性方程组 的解空间的维数和一个基。 （10 分）22121,a0AX9.设 是数域 上 维线性空间 上的一个线性变换，用 表示 上的恒等变换，证明：ARnVIV.（nrankrank)()(23 AIIA10分）10.设矩阵 11,2aA，已知线性方程组 AX有解但不唯一，试求：(1)a的值；(2)正交矩阵 Q，使 TA为对角矩阵，其中 TQ表示的转置（求Q和 TA）.（10分）
