1、第三章 空间向量与立体几何1、了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及坐标表示2、掌握空间向量的数量积及其坐标运算，会判断向量的共线（平行）与垂直3、能用向量方法证明线面位置关系的一些定理，能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题。课标要求4、体会向量方法在研究几何问题中的作用。3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。学习目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题师：在必修四第二章平面向量中，我们学习了平
2、面向量的一些知识，现在我们一起来复习。 （不要翻书）（在黑板或背投上呈现或边说边写）1、在平面中，我们把具有_的量叫做平面向量；1、经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。 层次：2.1 2、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。层次：1.1 1.11.33、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 层次：1.3 课标要求4、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。层次：1.3 1.21、类比平面向量掌握空间向量的线性运算及坐标运算层次：1.2 1.3学习目标2、掌握空间向量的数量积及坐标形式，并能运用它判断向量的
3、共线与垂直层次：1.3 1.2重点空间向量的线性运算及坐标运算难点空间向量的数量积，并用其判断向量的共线与垂直课时5 课时 教具 背投、电脑2、平面向量的表示方法： 几何表示法：_ 字母表示法：_（注意：向量手写体一定要带箭头）3、平面向量的模表示_，记作_4、一些特殊的平面向量： 零向量：_，记作_（零向量的方向具有任意性） 单位向量：_（强调：都只限制了大小，不确定方向） 相等向量：_ 相反向量：_5、平面向量的加法：6、平面向量的减法：7、平面向量的数乘：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，其长度和方向规定如下：(1)|a|a|(2)当 0 时， a 与 a 同向；当 0 时，
4、a 与 a 反向；当 0 时， a0.8、向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：abba加法结合律：(ab)ca（bc ）数乘分配律：(ab) ab数乘结合律：（ ）=)(师：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书 P84-P86.（5 分钟）师：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。 （在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间）师：空间向量与平面向量有什么联系？生：向量在空间中是可以平移的空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示因此我们说空间任意两个向量是共面的所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用
5、于它们。师空间向量加法的运算律要注意以下几点：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即： nnAAA14321 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即： 0114321 AAAnn两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则师：请同学们试着完成 P85 的探究。在平行六面体 ABCD-ABCD中，AB+AD+ AA=ACAB+ AA+ AD= AC所以 （AB+AD ）+AA=（AB+AA ）+AD所以 三个不共面向量的和等于
6、以该三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。完成书 P86 的练习 3师：下面来练习打开同步 P95 做 1、2、3、5师：今天的作业：1、同步 P95 练习二十五 做完2、书 P97 习题 3.1 A 组 1、2 做书上反思：3.1.2 空间向量的数乘运算（可分两课时）师：上节课我们学习了空间向量的相关概念，这节课我们来学习共线向量与共面向量定理，请看学习目标。 （展示学习目标）学习目标：1理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式师：请看自学指导请同学们认真阅读书 P86-87 的内容，怎样的向量叫做共线向量？两个向量共
7、线的充要条件是什么？空间中点在直线上的充要条件是什么？什么叫做空间直线的向量表示式？怎样的向量叫做共面向量？向量 p 与不共线向量 a、 b 共面的充要条件是什么？空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是什么？（结合自学指导，略作解答）1、共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作： a平行于 b，记作： /ab注意：零向量与任意向量都是共线向量。2、共线向量定理：对空间任意两个向量 ,(0),/b的充要条件是存在实数 ，使ab（ 唯一） 推论：如果 l为经过已知点 A，且平行于已知向量 a的直线，那么对任一点O，点 P在直
8、线 上的充要条件是存在实数 t，满足等式 OPAtB，其中向量 a叫做直线 l的方向向量。在 l上取 B，则 式可化为AtB或 (1)tOA（要知道这个推论的条件）师：如何证明这两个推论呢？因为 la，满足 AP=ta,又因 AP=OP-OA,所以 OP=OA+ta,若在 l 上取 AB=a，则有 OP=OA+tAB，进一步，因为 AB=OB-OA,所以 OP=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB师：若当 12t时，点 P 是什么？向量 OP 会怎样？生：点 是线段 AB的中点，此时 1()2OAB师：所以把 和都叫空间直线的向量表示式，也叫做空间直线的向量参数方程，是线段 的中点公
9、式师：结合推论的条件，请同学们思考，空间中的任意直线是由哪些因素确定的？生：空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定。师：共线向量定理及其推论有何应用？生：与平面向量一样，可以判断空间任意三点共线。3、共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量师：根据定义，说明空间任意的两向量都是共面的，为什么？生：因为总可以找到一个平面，使得这两个向量和平面平行师：空间中任意三个向量是不是一定共面呢？什么情况下三个向量共面？生：不一定，比如（自举例） 。4共面向量定理：如果两个向量 ,ab不共线， p与向量 ,ab共面的充要条件是存在实数 ,xy使pxayal PB AO推论：空间一点 P
10、位于平面 MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,xy，使 MxAy或对空间任一点 O，有 PMxAyB上面式叫做平面 的 向量表达式师：这与平面向量基本定理类似，a，b 叫做基底，请同学们完成 P87 的探究前者与平面向量基本定理吻合，后者可结合图 3.1-9 讲解（因为 xa，yb 与 a，b 共线，所以 xa，yb 都在 a，b 确定的平面内。又因为 xa+yb 是以|xa|，|yb|为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在 a，b 确定的平面内，所以 p=xa+yb 在 a，b 确定的平面内，即 p 与 a，b 共面。 ）师：共面向量定理和推论有何应用？生：可以判
11、断四点共面。师生共同完成例 1补充：证明平面 AC平面 EG。 （选讲） ()EFOkBOkA，又 EGkAC， /,/EFBGAC所以，平面 /C平面 EG例 2已知 ,三点不共线，对平面外任一点，满足条件1255PA，试判断：点 P与 ,B是否一定共面？解：由题意： 2OBOC， ()()()， 2AP，即 2PAB，所以，点 与 ,BC共面推广：对空间任一点 O和不共线的三点 ,C，问满足向量式PxAyz（其中 1xyz）的四点 ,PABC是否共面？（仿照例 2 独立完成，写在练习本上或 P88 思考处，请一位同学上黑板板书）解： (1)OzyOBzC， ()PAA， yz，点 P与点
12、,共面 注意：可作为结论来判断四点共面。师：剩下时间请同学们完成 P89 练习 1、2、3师：我们一起来小结本节课的内容：（师生共同完成）1、共线向量、共线向量定理及其推论，以此来判断三点共线（与平面向量类似）2、共面向量、共面向量定理及其推论，可判断空间四点共面。布置作业：同步 P96 练习二十六 反思：3.1.3 空间向量的数量积运算（一）师：这节课我们来学习空间向量的数量积运算（板书）请看本节课的学习目标。展示学习目标。学习目标：1掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。师：目标明确的同学请举手。 （老
13、师根据情况进行下一步） 。请看自学指导。（展示自学指导）认真阅读书 P90 的内容，完成下列问题。 （时间 5 分钟）1、空间两个向量的夹角：已知两个_a，b，在空间中任取一点 O，作_，则_叫做向量 a 与 b 的夹角，记作_,且规定夹角范围为_.若夹角为 90，则称 a 与 b_，记作_；当非零向量同向时夹角为_,反向时夹角为_.零向量与其他向量之间不定义夹角，所以约定：零向量与任何向量都共线，即_，在研究垂直时，也认为 0a.（空间向量的夹角特点：_2、两个向量的数量积：ab=_规定：零向量与任何向量的数量积为_3、空间向量数量积的运算律：_ba)(交换律：_ 分配律：_师：通过看书，同
14、学们已经掌握了空间向量数量积的基本概念，请思考下面的问题。问题 1：类比平面向量，你能说出 ab 的几何意义吗？问题 2：你能证明这些运算定律吗？（简要解释）问题 3：完成 P90 的思考。（2）向量没有除法；（3）向量的数量积不满足结合律师：请阅读 P91 的例 1、例 2（5 分钟）这两题都用向量法证明了三垂线定理和线面垂直的判断定理，主要用到了空间向量ab ab=0 这个结论。（在讲例 1 时，请同学们仿照例 1 证明三垂线的逆定理）师：下面进行当堂训练。同步 P100.11、12 注意：在用向量方法解决几何问题时，可按下面的程序思考：（1）如何把已知的几何条件转化为向量表示？（2）未知
15、的向量能否用基向量或其他已知向量表示？（3）如何对已经表示出来的向量进行运算？获得需要的结论？师：布置作业书 P98.4 B 组 1同步练习二十九 P101 10、11、12反思：3.1.3 空间向量的数量积运算（二）师：上节课我们学习了空间向量的数量积的概念，今天我们来运用数量积求向量的模和夹角问题。类比平面向量，空间向量数量积的性质应用：（带领学生边回忆边写） （用于判定垂直问题）0ba （用于求模运算问题）2| （用于求角运算问题， ）注意夹角范围|cosba投影：b 在 a 方向上的投影是_a 在 b 方向上的投影是_师：下面我们来练习（例题讲练）1、已知 2， 3，且 a与 b的夹角
16、为 2， 3cab， dmab，求当 m 为何值时 cd2、已知 1a， b， 23，则 。3、已知 和 是非零向量，且 a= b= ，求 a与 b的夹角师：请同学们完成书 P92 练习 1、2、3（练习 1 求夹角，2、3 求模长）总结方法：1、先确定求什么？2、用已知向量表示未知向量，代入计算师：作业1、书 P98 3、52、同步 P99 练习二十八反思：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示师：请同学们回忆平面向量如何坐标化？生：利用正交分解，把平面中的任意一个向量分解成相互垂直的两个向量，放到直角坐标系中，可用平面向量基本定理表示成 a=xi+yj=（x，y）就把向量坐标化了。师：
17、那对于空间向量是不是也一样呢？请看本节课的学习目标（出示目标）学习目标：1、理解空间向量的基本定理，并了解基向量的概念；2、了解空间向量形式与坐标形式的转化。认真阅读书 P92-94 例 1 以上的内容，回答下列问题。 （时间 7 分钟）（带领学生简单的把空间向量的正交分解过程和空间向量基本定理过一下）问题 1：请用空间向量基本定理来正交分解得到向量的坐标形式。问题 2：空间向量的基底有什么要求？基底和基向量有什么区别？问题 3：单位正交基底有何要求？如何建立和画直角坐标系？师生共同解决：问题 1 结合书 P93 图 3.1-15 说明问题 2 应明确以下几点：空间中任意三个不共面的向量都可以
18、作为空间向量的一个基底，任意向量都有无数组基底；基底中的三个向量都是非零向量；一个基底是由不共面的三个向量构成，一个基向量是指基底中的某一个向量。 （完成练习1）若把定理中的 p、a、b、c 分别用该向量的有向线段表示，就可以得到推论“设O、A、B、C 是不共面的四点，则空间人一点 P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使 OP=xOA+yOB+zOC”当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C 四点共线。 （完成练习 2）问题 3 要知道单位正交基底是三个基向量相互垂直，且长都为 1，常用表示。所以单位正交基间的数量积： ， 21e（ 0321ee13以 的公共起点 O 为原点，分别以 的
19、方向为 x 轴、y 轴、z 轴21e（ 321e（的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz。画图时一般使用xOy=135,yOz=90。讲解例 4，先让学生试着做，在略讲，详看书。师：下面我们当堂训练。书 P94 练习 3师：作业同步练习二十七、练习二十九选择题反思：3.1.5 空间向量运算的坐标表示师：今天我们来学习空间向量的坐标运算，与平面向量类似，只不过由二维变三维而已。请同学们快速阅读书 P95 的内容，然后我们来测试看谁记得又快又准。, 则)(321aa（321bba+b=_ ；a-b=_；ab=_ab _ _ab _ _|a|=_=_cos=_=_若 ，)(11cA（)(22cbaB（
20、则 AB=_特别地，A 与原点 O 的向量 OA=_空间中两点间距离公式 =|AB|=_ABd快速完成 P97 练习 1、2师：将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决一些夹角和距离的计算问题，而且可以在立体几何中运用并使问题变得简单，例如例 4、例 5。请同学们认真分析这两道例题，思考：在运用空间向量解决几何问题时应注意什么？生：注意选择垂直关系建立恰当的空间直角坐标系，然后将向量正确坐标化，最后根据题意转化为向量间的夹角、模、垂直、平行问题。完成练习 3师：布置作业书 P98 7、8、9、10、11同步练习三十反思：习题课师：今天这节课我们上习题课，主要熟练空间向量的运算，请
21、同学们拿出同步，我们分题型来对应练习。题型一、平行与垂直问题（复习相关概念或请同学回答）例、已知 A（1,0,0） ，B（0,1,0） ，C（0,0,2）求满足下列条件的点 D 的坐标。（1）DBAC，DCAB；（2）DBAC，DCAB，且 AD=BC。做同步练习三十一的 2、3、7、9、11练习三十二的 1、2、3、6、7题型二、夹角、距离问题例、直三棱柱 ABC-ABC，AC=BC=1，BCA=90，AA=2,分别取 AB、AA 的中点 P、Q.（1）求 BQ 的模；（2）求 cos,cos，并比较大小；（3）求证：AB CP做同步练习三十一的 1、5、6、8练习三十二的 4、5、8、9、10、11上课时间较紧，所以做不完的留做做业。练习三十一和三十二做完。反思：
