1、2016-2017 学年山东省聊城市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 ，则 z=（ ）A B C D2已知集合 A=x|x|2，B=x|x 23x0，则 AB=（ ）A （ ，2 ） （0，+ ） B （ ，0）（2， +） C （2，3）D （2， 3）3某市教育局随机调查了 300 名高中学生周末的学习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是0，30，样本数据分组为，0，5） ，5，10） ，10，15）
2、 ，15 ，20） ， 20，25） ，25，30 ，根据直方图，这 300 名高中生周末的学习时间是5，15）小时的人数是（ ）A15 B27 C135 D1654设变量 x，y 满足约束条件 ，则 x2+y2 的最小值为（ ）A0 B C1 D5已知a n是公差为 2 的等差数列，前 5 项和 S5=25，若 a2m=15，则 m=（ ）A4 B6 C7 D86一个由圆柱和正四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A4+4 B C2 +4 D7已知平面 平面 =m，直线 l，则“l m”是“l”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条
3、件8已知函数 的最小正周期为 ，f （x）的图象向左平移 个单位后关于直线 x=0 对称，则 的单调递增区间为（ ）Ak ，k + （kZ） BC D9已知点 P 是锐角ABC 所在平面内的动点，且满足 ，给出下列四个命题：点 P 的轨迹是一条直线； 恒成立； ；存在点 P 使得 则其中真命题的序号为（ ）A B C D10已知偶函数 f（x ）的定义域为（ 1，0）（0，1） ，且 当0x 1 时， （1x 2）ln（1 x2）f（x ）2xf （x ） ，则满足 f（x）0 的 x 的取值范围是（ ）A B CD二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）11执行如图所示
4、的程序框图，若 S0=2，则程序运行后输出的 n 的值为 12 的展开式中的常数项为 13已知水池的长为 30m，宽为 20m，一海豚在水池中自由游戏，则海豚嘴尖离池边超过 4m 的概率为 14已知双曲线 的离心率为 2，且两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 ，则抛物线的方程为 15已知函数 ，若方程 f（x）+f（2x）=t 恰有 4 个不同的实数根，则实数 t 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC 中，内角 A，B ，C 所对应的边分别为 a，b ，c，且 （1）求
5、 B；（2）若 a=6，ABC 的面积为 9，求 b 的长，并判断 ABC 的形状18在如图所示的几何体中，正方形 ABEF 所在的平面与正三角形 ABC 所在的平面互相垂直，CDBE，且 BE=2CD，M 是 ED 的中点（1）求证：AD 平面 BFM；（2）求二面角 EBMF 的余弦值19已知等差数列a n的公差不等于零，前 n 项和为 Sn，a 5=9 且 S1，S 2，S 4 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）令 ，求数列b n的前 n 项和 Tn20现在人们都注重锻炼身体，骑车或步行上下班的人越来越多，某公司甲、乙两人每天可采用步行，骑车，开车三种方式上下班步行到公司所用
6、时间为1 小时，骑车到公司所用时间为 0.5 小时，开车到公司所用时间为 0.1 小时甲、乙两人上下班方式互不影响设甲、乙步行的概率分别为 ；骑车概率分别为 （1）求甲、乙两人到公司所用时间相同的概率；（2）设甲、乙两人到公司所用时间和为随机变量 ，求 的分布列及数学期望E（ ） 21已知函数 f（x ）= 1（k 为常数，kR） （1）讨论函数 f（x）的单调区间；（2）当 k= 时，若函数 f（x）在（，e n（nZ，e 是自然对数的底数）上有两个零点，求 n 的最小值22如图，已知椭圆 的离心率为 ，P 为椭圆 E 上的动点，P 到点 M（0，2）的距离的最大值为 ，直线 l 交椭圆于A
7、（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）两点（1）求椭圆 E 的方程；（2）若以 P 为圆心的圆的半径为 ，且圆 P 与 OA、OB 相切（i）是否存在常数 ，使 x1x2+y1y2=0 恒成立？若存在，求出常数 ；若不存在，说明理由；（ii）求OAB 的面积2016-2017 学年山东省聊城市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 ，则 z=（ ）A B C D【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】设 z=a+bi， （a，b
8、R） ，则 ，求出 ，利用复数代数形式的乘除运算化简 ，再由复数相等的充要条件即可求出 a，b 的值，则答案可求【解答】解：设 z=a+bi， （a，bR） ，则 ， ，= ，4a+2bi=2+2i，解得：a= ，b=1 故选：B2已知集合 A=x|x|2，B=x|x 23x0，则 AB=（ ）A （ ，2 ） （0，+ ） B （ ，0）（2， +） C （2，3）D （2， 3）【考点】并集及其运算【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB【解答】解：集合 A=x|x|2=x|x 2 或 x 2，B=x|x23x0=x|0x3，AB=x |x 2 或 x0 =（ ，2）（0，+）
9、 故选：A3某市教育局随机调查了 300 名高中学生周末的学习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是0，30，样本数据分组为，0，5） ，5，10） ，10，15） ，15 ，20） ， 20，25） ，25，30 ，根据直方图，这 300 名高中生周末的学习时间是5，15）小时的人数是（ ）A15 B27 C135 D165【考点】频率分布直方图【分析】先由频率分布直方图计算出周末的学习时间是5，15）小时的频率，进而可得周末的学习时间是5，15）小时的人数【解答】解：周末的学习时间是5，15）小时的频率为1（ 0.02+0.045+0.03+0.015）
10、5=0.45，故这 300 名高中生周末的学习时间是5，15）小时的人数是 3000.45=135，故选：C4设变量 x，y 满足约束条件 ，则 x2+y2 的最小值为（ ）A0 B C1 D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组 ，对应的平面区域如图，z 的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，由图象知：OA 的距离最小，原点到直线 2x+y2=0 的距离最小由 = ，则 x2+y2 的最小值为： ，故选：B5已知a n是公差为 2 的等差数列，前 5 项和 S5=25，若 a2m=15，则 m=（ ）A4 B6 C
11、7 D8【考点】等差数列的前 n 项和【分析】利用等差数列通项公式求出首项，从而求出通项公式，由此利用a2m=15，能求出 m 的值【解答】解：a n是公差为 2 的等差数列，前 5 项和 S5=25， = =25，解得 a1=1，a n=1+（n1 ）2=2n1 ，a 2m=15，a 2m=2（2m）1=15，解得 m=4故选：A6一个由圆柱和正四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A4+4 B C2 +4 D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和圆柱的组合体，代入锥体和柱体体积公式，可得答案【解答】解：由已知可得：该几何
12、体是以俯视图为底面的四棱锥和圆柱的组合体，四棱锥的底面面积为：22=4，高为 1，故体积为： ，圆柱的底面半径为 1，高为 2，故体积为：2，故组合体的体积 V= ，故选：D7已知平面 平面 =m，直线 l，则“l m”是“l”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】平面 平面 =m，直线 l，则“l ”“lm” ，反之不成立【解答】解：平面 平面 =m，直线 l，则“l” “lm” ，反之不成立因此“lm” 是“l ” 的必要不充分条件故选：B8已知函数 的最小正周期为 ，f （x）的图象向左平移 个单位后
13、关于直线 x=0 对称，则 的单调递增区间为（ ）Ak ，k + （kZ） BC D【考点】正弦函数的图象【分析】利用函数 y=Asin（x+ ）的图象和性质，函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，求得 的单调递增区间【解答】解：函数 的最小正周期为=，=2f（x）的图象向左平移 个单位后，得到 y=sin2（x+ ）+=sin（2x+ +）的图象，根据所得图象关于直线 x=0 对称，可得函数 y=sin（ 2x+ +）为偶函数，+=k+ ，k Z，故 = ，所得函数的解析式为 y=sin（2x+ ）=cos2x则 =cos2（x + ）+cos2 （x ）=cos （2x+ ）+cos（
14、2x ） =cos（2x + ）+sin（2x ）+ =cos（2x + ）+sin （2x+ ）= sin（2x + ）= sin（2x + ） 令 2k 2x+ 2k+ ，求得 k x k + ，故函数的单调递增区间为k ，k + ，故选：A9已知点 P 是锐角ABC 所在平面内的动点，且满足 ，给出下列四个命题：点 P 的轨迹是一条直线； 恒成立； ；存在点 P 使得 则其中真命题的序号为（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】由 ，得 ，点 P 的轨迹是 CB 边的高线所在的直线；由 = ，得| |cos ， =| |cos ， ，不一定成立；由 cos ， 1，| |
15、cos ， =| |cos ， ，得； 时，以 PC、PB 为邻边所作的平行四边形是矩形，得| + |=| |正确【解答】解：对于，由 ，得 （ ）=0， =0， ，点 P 的轨迹是 CB 边的高线所在的直线，正确；对于，由 = ，得| | |cos ， =| | |cos ， ，即| |cos ， =| |cos ， ， 不一定成立，错误；对于，由 cos ， 1，| |cos ， = | |cos ， ，得 ，正确；对于，当 时，以 PC、PB 为邻边所作的平行四边形是矩形，因此存在点 P 使| + |=| |，正确综上，其中真命题的序号为故选：D10已知偶函数 f（x ）的定义域为（ 1
16、，0）（0，1） ，且 当0x 1 时， （1x 2）ln（1 x2）f（x ）2xf （x ） ，则满足 f（x）0 的 x 的取值范围是（ ）A B CD【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】令 g（x）= ，根据已知可判断 g（x）= 在（0，1）上为增函数，进而可得 f（x ）在（0，1）上为减函数，结合函数 f（x）为偶函数，且 可得答案【解答】解：令 g（x）= ，则 g（x ）= ，当 0x1 时， （1x 2）ln（1x 2）f（x ）2xf （x） ， 0，即 g（ x）= 在（ 0，1 ）上为增函数，则 f（x）在（0，1）上为减函数，又由函数 f（x）为偶函数，且 故当
17、 x 时，f（x）0，故选：C二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）11执行如图所示的程序框图，若 S0=2，则程序运行后输出的 n 的值为 4 【考点】程序框图【分析】S 0=2，S n3Sn1+1，S n202 时，输出 n【解答】解：n=1 时，S3 2+1；n=2 时，S3 7+1；n=3 时，S322+1；n=4 时，S3 67+1=202，因此输出 n=4故答案为：412 的展开式中的常数项为 252 【考点】二项式系数的性质【分析】 = 展开式中的通项公式：Tr+1= ， 的通项公式：T k+1= = xr2k令r2k=0，r=0， 1，2，3，4，5；k
18、N ，kr即可得出【解答】解： = 展开式中的通项公式：T r+1=，的通项公式：T k+1= = xr2k令 r2k=0，r=0 ，1 ，2，3，4，5；kN ，kr则 r=0，k=0；r=2，k=1；r=4，k=2 的展开式中的常数项= + =252故答案为：25213已知水池的长为 30m，宽为 20m，一海豚在水池中自由游戏，则海豚嘴尖离池边超过 4m 的概率为 【考点】几何概型【分析】测度为面积，找出点离岸边不超过 4m 的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解【解答】解：如图所示：长方形面积为 2030，小长方形面积为 2212阴影部分的面积为 20
19、302212，海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率为 P=1 = 故答案为 14已知双曲线 的离心率为 2，且两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 ，则抛物线的方程为 y 2=4x 【考点】双曲线的简单性质【分析】求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，运用代入法，求得AB，再由三角形的面积公式，结合离心率公式和 a，b，c 的关系，化简整理，解方程可得 p，进而得到双曲线方程【解答】解：抛物线 y2=2px（p0）的准线为 x= ，双曲线 的渐近线方程为 y= x，把 x= 代入 y= x，解得 y= |AB|= ，AOB 的面积为 ， = ，由
20、 e= = =2，解得 = =1，解得 p=2该抛物线的标准方程是 y2=4x故答案为：y 2=4x15已知函数 ，若方程 f（x）+f（2x）=t 恰有 4 个不同的实数根，则实数 t 的取值范围是 （ ，2） 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】方程 f（x）+f（2 x）=t 恰有 4 个不同的实数根g（x）=f（x）+f（ 2x）= 与 y=t 的交点，画出图象，根据图象即可求解【解答】解：由 ，得 f（2x）= ，g（ x）=f（x）+f（2x）=画出函数 g（ x）的图象（如图） ，f（ ）=f（ ）= 方程 f（ x）+f（2 x）=t 恰有 4 个不同的实数根，则实数 t
21、的取值范围是：（）故答案为：（ ）三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC 中，内角 A，B ，C 所对应的边分别为 a，b ，c，且 （1）求 B；（2）若 a=6，ABC 的面积为 9，求 b 的长，并判断 ABC 的形状【考点】余弦定理；正弦定理【分析】 （1）由已知及正弦定理可得 sinB= ，结合范围 0B ，可得 B 的值（2）利用三角形面积公式可求 c，进而利用余弦定理可求 b 的值，分类讨论，即可判定三角形的形状【解答】解：（1）由 ，可得 根据正弦定理可得：sinB= ，由于 0B ，可得：B= 或 ，（2）因为AB
22、C 的面积为 9= acsinB，a=6，sinB= ，所以 解得 由余弦定理可知 ，由 得 b2=18 或 b2=90，所以 或 当 时，此时 ，ABC 为等腰直角三角形；当 时，此时 ，ABC 为钝角三角形18在如图所示的几何体中，正方形 ABEF 所在的平面与正三角形 ABC 所在的平面互相垂直，CDBE，且 BE=2CD，M 是 ED 的中点（1）求证：AD 平面 BFM；（2）求二面角 EBMF 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】 （1）连接 AE 交 BF 于点 N，连接 MN，MNAD ，由此能证明 AD平面 BFM（2）推导出 BEAB，从而 B
23、E平面 ABC，取 BC 的中点 O，连接 OM，以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 EBMF 的余弦值【解答】证明：（1）连接 AE 交 BF 于点 N，连接 MN因为 ABEF 是正方形，所以 N 是 AE 的中点，又 M 是 ED 的中点，所以 MNAD因为 AD平面 BFM，MN平面 BFM，所以 AD平面 BFM解：（2）因为 ABEF 是正方形，所以 BEAB，因为平面 ABEF平面 ABC，平面 ABEF平面 ABC=AB，所以 BE平面 ABC，因为 CDBE，所以取 BC 的中点 O，连接 OM，则 OM平面 ABC，因为ABC 是正三角形，所以 O
24、ABC ，所以以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：设 CD=1，则 B（0，1，0 ） ，E（0，1，2） ，D（0， 1，1） ，设平面 BMF 的一个法向量为 ，则 ，所以 ，令 ，则 z=6，y= 9，所以 又因为 是平面 BME 的法向量，所以 所以二面角 EBMF 的余弦值为 19已知等差数列a n的公差不等于零，前 n 项和为 Sn，a 5=9 且 S1，S 2，S 4 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）令 ，求数列b n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出（2）利用“错位相减法” 与等比
25、数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）由已知得：a 5=a1+4d=9， ，即（=a1 d0，d=2a 1，a 1=1，d=2，数列a n的通项公式 an=1+2（n 1）=2n1（2） ，20现在人们都注重锻炼身体，骑车或步行上下班的人越来越多，某公司甲、乙两人每天可采用步行，骑车，开车三种方式上下班步行到公司所用时间为1 小时，骑车到公司所用时间为 0.5 小时，开车到公司所用时间为 0.1 小时甲、乙两人上下班方式互不影响设甲、乙步行的概率分别为 ；骑车概率分别为 （1）求甲、乙两人到公司所用时间相同的概率；（2）设甲、乙两人到公司所用时间和为随机变量 ，求 的分布列及数学期望E（ ）
26、 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】 （1）由题意，得甲、乙开车的概率分别为 ，记甲、乙两人到公司所用时间相同为事件 A，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出（2）可能取的值由 0.2，0.6 ，1.0，1.1 ，1.5，2利用相互独立与互斥事件的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出【解答】解：（1）由题意，得甲、乙开车的概率分别为 ，记甲、乙两人到公司所用时间相同为事件 A，则 甲、乙两人到公司所用时间相同的概率为 （2）可能取的值由 0.2，0.6 ，1.0，1.1 ，1.5，2. ； ； ；甲、乙两人到公司所用时间之和 X 的分布列为 X 0
27、.2 0.6 1.0 1.1 1.5 2P （小时） 21已知函数 f（x ）= 1（k 为常数，kR） （1）讨论函数 f（x）的单调区间；（2）当 k= 时，若函数 f（x）在（，e n（nZ，e 是自然对数的底数）上有两个零点，求 n 的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 k 的范围，即可求出函数的单调区间；（2）把 k= 代入函数解析式，结合（1 ）中函数的单调性，可得 f（x）的极大值为 f（ 0）=0，极小值为 f（3ln2 ）0，要使函数 f（x）在（，e n（n Z）上有两个零点，转化为 ，由此不等式组可得 n
28、 的最小值为 2【解答】解：（1）函数 f（x ）的定义域为 R，由 ，得 当 k0 时，对 xR 都有 kex10，当 x 变化时， f（x ） ，f（x）的变化如下表：x （，0）0 （0 ，+）f（x） + 0 f（x ） 递增 极大值 递减此时，f（x ）的增区间是（ ，0） ；减区间是（0，+） 当 0k 1 时， 由 f（x）=0，得 x=0 或 x=lnk0当 x 变化时，f （x） ，f （x ）的变化如下表：x （，0）0 （0，lnk）lnk （ lnk，+）f（x） + 0 0 +f（x ） 递增 极大值 递减 极小值 递增此时，f（x ）的增区间是（ ，0） ， （ln
29、k，+） ；减区间是（0，lnk ） 当 k=1 时， ，此时，f （x）的增区间是（，+） ，没有减区间当 1k 时， 由 f（x ）=0，得 x=0 或 x=lnk0当 x 变化时，f （x） ，f （x ）的变化如下表：x （，lnk）lnk （ lnk，0）0 （0 ，+）f（x） + 0 0 +f（x ） 递增 极大值 递减 极小值 递增此时，f（x ）的增区间是（ ，lnk） ， （0，+） ；减区间是（lnk ，0） （2）k= 时， ，由（1）得：lnk=ln =3ln2，f（x）的增区间是（，0） ， （3ln2 ，+） ；减区间是（ 0，3ln2） f（ x）的极大值为 f
30、（0）=0，极小值为 f（3ln2）= =0，要使函数 f（x）在（，e n（n Z）上有两个零点， ，满足 en3ln2 的最小整数 n 为 2，当 n=2 时， ，n 的最小值为 222如图，已知椭圆 的离心率为 ，P 为椭圆 E 上的动点，P 到点 M（0，2）的距离的最大值为 ，直线 l 交椭圆于A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）两点（1）求椭圆 E 的方程；（2）若以 P 为圆心的圆的半径为 ，且圆 P 与 OA、OB 相切（i）是否存在常数 ，使 x1x2+y1y2=0 恒成立？若存在，求出常数 ；若不存在，说明理由；（ii）求OAB 的面积【考点】椭圆的简单性质【分析】
31、 （1） ，a 2=b2+c2，可得 a=2b， 可得椭圆的标准方程为：+y2=b2设 P（x，y ） ， （ byb） P 到点 M（0，2）的距离 d= 当 0b 时，y=b 时，d 取得最大值，舍去当 b 时，y= 时，d 取得最大值，可得 = ，解得 b 即可得出（2） （i ）设 P（m，n） ，则 =1P 的方程为：（ xm） 2+（y n） 2= ，设经过原点 O 的P 的切线方程为：y=kx，不妨设 OA 的方程为：y=k 1x，OB 的方程为：y=k 2x则 = ，化为：（5m 24）k 210mnk+5n24=0，联立，解得 x1，y 1同理可得：x 2，y 2假设存在常数
32、 ，使 x1x2+y1y2=0恒成立，代入即可得出（ii）由（i）可得：OAOB，|OA| 2= =4，|OA|=2，同理可得：|OB|=2即可得出 SOAB = 【解答】解：（1） ，a 2=b2+c2，可得 a=2b， 椭圆的标准方程为： +y2=b2，设 P（ x，y） ， （byb） P 到点 M（0，2）的距离 d= = =，当 0b 时，y=b 时，d 取得最大值，b+2= ，解得 b= 2 ，舍去当 b 时，y= 时，d 取得最大值， = ，解得 b=1，满足条件椭圆 E 的方程为： +y2=1（2） （i ）设 P（m，n） ，则 =1P 的方程为：（x m） 2+（yn ） 2= ，设经过原点 O 的P 的切线方程为：y=kx，不妨设 OA 的方程为：y=k 1x，OB 的方程为：y=k 2x则 = ，化为：（ 5m24）k 210mnk+5n24=0，k 1+k2= ，k 1k2= ，联立 ，解得 x1= ，y 1= 同理可得： ，y 2= 假设存在常数 ，使 x1x2+y1y2=0 恒成立，则 +=0，解得 =k1k2= = = 为常数（ii）由（i）可得：OAOB，|OA| 2= = =4，|OA|=2，同理可得：|OB|=2S OAB = =22017 年 5 月 10 日
