1、第31卷第3期 江西理工大学学报 V0131，No32 0 1 0年6月 JOURNAL OF JIANGXI UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Jun2 O 1 O文章编号：1007一1229(2010)03一006905一类单调有界光滑函数的导函数极限存在性范丽君，郭挺(江西理工大学理学院，江西赣州34l000)摘要：凭直觉，似乎函数以菇)在单调、有界、连续可微的条件下，能有lim(菇)=o的结论，然而，这是一个错觉，本研究为此构造了一个反例但是函数若添加条件叫7(菇)一致连续，或添加条件厂(z)在尺上有界，则可以得出lim(石)=o的结论，关键词：
2、导函数；极限存在；单调；有界；连续可导；一致连续中图分类号：01721 文献标识码：AThe Limit Existence of Derivative of Some Functions withMonotone Bounded and Continuously DifferentialFAN Li_jun，GUo Ting(Faculty ofscience，Ji肌鲥uni、ren时0fScience粕dhnolo科，G锄zh341000，Chi眦)Abstract： By intuition，it seems tlat under the condition that，(石)is mon
3、otone，bounded锄d continuouslydifbrential，it may follow that lim(省)=OHoweVer，this is a misconceptionA concrete exampk is presented toprove it in the anicleWhen(筇)is un怕加：lly continuous，or厂(石)is bounded in尺，it follows nlat Iim厂(石)=o#-Key words：derivative；limit exist；monotone；bounded；continuously diEere
4、ntial；un怕ldy continuous0引 言试问：一个单调有界函数，如果在尺上连续可微，是否一定有lim厂(菇)=0呢?直观上看，单调有界的函数)，砜菇)，戈E尺的图像(茗，)1)，砜菇)，石R)被两条平行于并轴的直线所夹，且图像是渐升(或渐降)的如果在尺上其连续可微，则其图像是光滑的凭直觉好像有7(戈)一0(菇-)例如人名)=arctan名，菇月，满足：单调、有界，且有厂7(戈)2T孑连续，并且!哆(菇)。!觋T苦20收稿日期：2009一0710作者简介：范丽君(19“一)，女教授还有很多这样的函数，单调有界，连续可微，有lim，(并)=O1-+直觉看上去确实有这样的结论成立然而由
5、于并没有把所有的满足单调有界、连续可微的函数都列举出来，所以现在下结论还为时过早在下面的篇幅里面，通过构造一个反例，将会看到直觉虽然有时候确实有助于看到问题的本质，然而上面提到的直觉，却是一个错觉；同时在原条件的基础上也会给出使得结论lim(戈)=O万方数据70 江西理工大学学报 2010年6月成立的冗分条件1反例现在来构造一个上述问题的反例反例设，。=铲佤舻o，手h 6l】，儿(戈)=讥丽一口】+(2一订)口，茹【手，口】-刁，i。(石)=f寺一口(一孚悒曩争一寺专)菇旧_蓦争号如川_曩争号】-【口缸J，6扣J】，f(石)=口(，一孚忆蓑争一斟菇m_曩争一参如一曩外胡，这里肛1，h，6d为记
6、号，|+，现在令：y2lI一1(石)， 戈(一l，b2IIl】正(菇)=坛(菇)， 戈(口h，b抽】 ，n1口(2一订)导， ，=0二石【(玷一1乏争，气乏争一号】 J 2 u o U- -谷易看出：口I=0，6l_舻争，62=。，劬=2口|6拓一=蛴(肛1t乏争一号，6h=(n一1)叶，乏争， j=0 r ，：0二，-，乏争一参，这样就知道了五(并)是定义在【0，+)上的函数再令州=骠蒜由于(o)=o，所以函数“龙)为尺上的奇函数，且(o)=o，所以函数火石)在原点处可微当茁E【(n一1一乏多，哆乏多一争)时“石) ，=0 f ，=0 r 7为常函数，当然单调，连续可微在(，6孙。)(凡1)
7、内，导函数，(髫)=一。(石)=菇一卜，口+J乏争一寺)可以看出，此时厂(菇)0，且厂(名)连续同理，在(，6知)(n1)内，导函数(茗)=(石)=一 生二!篮量!也可以看出，此时厂(石)0，且(算)连续结合起来，得到：八茹)在区间(吼，6。)，|+内是单调的，且厂(菇)连续现在来解决砚，以，(矗+)点处的连续，连续可微情况如果证出函数在这些点都是连续的，可微的，连续可微的，则函数火石)在0，+)上就是单调，连续可微的了因为厂c-+。，邵(一孚)(“，曩争一专一参)=()可(广0)，所以“石)在菇=处连续又因为人6扣广o)刁k1(6扣I)=口(t一)(2I曩寺一专)欹+o)轵6扣-+o)，且6
8、扣l=，所以火菇)在菇=6雏l=处连续同理，因为人6矿o)铂(6h)：口f 1一掣)件万方数据第31卷第3期 范丽君，等：一类单调有界光滑函数的导函数极限存在性 71(2l曩争一专)欹6h)砜6一。)，所以灭戈)在髫=6五处连续单调有界，连续可微的由于前面已证综合起来得到：函数在这些点都是连续的故得出：函数正(石)在【o，+)上是单调的连续 所以()2了事，石+，而!觋婿+函数 墼(善)o又由函数表达式可得f“啄I)=。矾，(1)，()2去2()=，。(6扯t)，一(6知)矾(6h)=0，(6h右端的一个邻域为常数，故其右导数也为0)石(，6h】(，l1)可以看出，当自变量趋于诹，6。时，导函
9、数也趋于这些点处的导数值故得出：函数五(石)在【0，+)上导函数连续又容易验证，厂(戈)在原点处连续综上所述：函数“石)在o，+)上单调，连续可微由于函数八戈)是奇函数，所以函数在整个实数域上都是单调，连续可微的最后，再来判别爪石)的有界性由于lim，(茗)=lim)，知(6 2，I)=lim口(1一-=芝)h曩争专)4。(一孚)又以菇)是R上的奇函数，结合以菇)的单调性，可以得出：状戈)l4口f1一L)，即函数在R上有界，即函数在整个实数域上都是这样就构造出了定义在尺上的函数，它满足单调有界，连续可微，然而却没有lim(茗)=o这一性i质这个例子甚至连lim，(舅)都不存在原因是，_(6知)
10、：o，(尼+)厂7()2了事，(疗肌)2讨论单调有界光滑函数的导函数极限存在性通过上面知道函数厂(菇)在R上单调有界，且连续可微，并不一定有lim，7(石)=0成立然而若是加强条件，是不是可以使得结论成立呢?回答是肯定的定理l若火石)在尺上单调有界，且，(戈)在尺上一致连续，则必有lim厂(菇)=0证明：(反证法)：假设lim(菇)0，故jpO，且有单调递增点列麓R，lim雹=+，使得，7(知)岛，且可做到：当i巧时，有(菇广1，笔+1)n(而一1，鲈1)=西结合，7(石)一致连续性，可知：对于伽=孚，|6o(60，使得扩”(戈)I肘，根据拉格朗日中值定理，所以就有：对V茹1，戈2R，jf(石
11、l，石2)或j手(菇2，石1)，5丘厂(茗)彳(z：)=(x-叫：矿”(孝)，即 扩7(髫。)了7(z：)J=I(髫。峭：扩”(手)I肘I茄，叫：l，所以对V占o，j占=音，V石1，石2R，当I茗一叫zI爿手)，(仃)=厂(孚)，所以厂(茹)在R上不是单调的，这表明单调性不是必要的f 1nI龙I，I石I1例2设几。1犁，l髫lo，了+，使当I石l时，有I，(戈)I勖成立而，(菇)在卜，研上连续，利用闭区间上连续函数的性质，得出扩(菇)f|，石【，】，令强ma)【(后，占。)，所以I厂(石)IF，茗R，故函数厂(石)在R上有界5小结首先通过构造一个反例来否定文章开篇的假设：单调有界，连续可微的函
12、数，必有lim厂(石)=Oi然后在原假设的基础上给出了lim厂(龙)=O p成立的两个充分条件，分别得到两个定理，并对定理1的各个充分条件分别进行了分析，说明它们都不是必要条件最后，作为应用，给出了一个和定理l等价的例子本研究的主要思想是：“函数的导函数之极限为零”为函数的整体性质，其之所以具备这样的性质，关键在于导函数的一致连续性，这样便可保证有函数的平缓性把函数整体性状抓住了，控制了函数的整体平缓性，即没有弯曲程度很大的部分(片段)像前面的反例，就不具有这样的特性，其实前面的反例中函数就是由半径趋于零的部分圆弧与水平直线段光滑衔接而成的参考文献：【l】华东师范大学数学系数学分析(第3版)【
13、M】北京：高等教育出版社，2001【2】刘玉琏，傅沛仁数学分析讲义(第4版)【M】北京：高等教育出版社，2003【3】孙本旺。汪浩数学分析中的典型例题和解题方法【M】长沙：湖南科学技术出版社。1981【41刘三阳，于力，李广民数学分析选讲M】北京：科学出版社，2007【5】陆毅导函数极限的存在性与函数可导性关系初探田锦州师范学院学报(自然科学版)，200l，(4)：18一19。6】孙德荣导函数连续性的条俘分析导函数极限定理的随想叨昌吉学院学报，2004，(2)：114115【7】许智勇，赵曾云关于导函数极限的研究m武汉科技学院学报，2006。(9)：3537【8】李玉霞，常首杰关于导函数的极限
14、的研究m绥化学院学报，2007，(3)：172173万方数据一类单调有界光滑函数的导函数极限存在性作者： 范丽君， 郭挺， FAN Li-jun， GUO Ting作者单位： 江西理工大学理学院,江西,赣州,341000刊名： 江西理工大学学报英文刊名： JOURNAL OF JIANGXI UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY年，卷(期)： 2010，31(3)被引用次数： 0次参考文献(8条)1.华东师范大学数学系 数学分析 20012.刘玉琏.傅沛仁 数学分析讲义 20033.孙本旺.汪浩 数学分析中的典型例题和解题方法 19814.刘三阳.于力.李广
15、民 数学分析选讲 20075.陆毅 导函数极限的存在性与函数可导性关系初探 2001(4)6.孙德荣 导函数连续性的条件分析-导函数极限定理的随想 2004(2)7.许智勇.赵曾云 关于导函数极限的研究 2006(9)8.李玉霞.常首杰 关于导函数的极限的研究 2007(3)相似文献(2条)1.期刊论文 JIANG Hai-qin.曹瑞成.JIANG Hai-qin.CAO Rui-cheng 分段函数分段点可导性的一个定理及应用 -扬州职业大学学报2008,12(2)给出分段函数分段点导数存在的一个充要条件:函数在该点连续,导函数在该点左、右极限存在且相等.并由此得到在分段点导数不存在的一个
16、充分条件以及三种特例分段函数分段点导数存在的充分条件.举例说明该定理的应用,并指出利用该定理求分段函数分段点导数时的几点注意:函数在该点连续是可导的必要条件,导函数在该点左、右极限存在且相等是充分条件.2.会议论文 鲁亚男.刘欣 浅析函数的单侧导数与导函数的单侧极限 2006常见的分段函数由于它在除分段点外的小区间内的每段函数都是初等函数，所以，它们在这些小区间内都是连续，可导的。而要研究整个分段函数在其定义域内是否连续，可导，关键要看它在分段点处的连续性与可导性。其中，连续性的判别相对较简单，而分段点处可导性的判别就要用到单测导数的定义，通常情况下，这类问题相对复杂。在学生中易出现的错误是直接将分段点代入导函数求分段导数，从而判断在该点处是否可导。对于这种做法，有时结果上是正确的，但缺少必要的理论基础。本文通过对函数的单侧导数与其导函数的单侧极限之间的关系的研究，得到结论：对于在分段点处的单测邻域内连续，可导的函数，如果其导函数的单测极限存在的话，则其单测导数就等于导函数的单测极限。从而给出了一个在满足上述情况下的求分段函数在分段点处单测极限的方法直接讲分段点代入导函数印可。但必须要注意的是，上述条件是充分非必要条件，当导函数的单测极限不存在时，不能用此方法来运算。反例见本文中例3。本文链接：http:/
