三角函数解三角形专题.doc

1、第 1 页（共 23 页）三角函数解三角形专题一解答题（共 33 小题）1设函数 f（x）= cos2x+sin2（x + ） （）求 f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当 x ， ）时，求 f（x ）的取值范围2已知函数 f（x）=4sinxsin（x + ） 1，（1）求 f（x）的最小正周期；（2）求 f（x）在区间 ， 上的最大值和最小值3已知函数 f（x）=2 sin（ax ）cos（ax ）+2cos 2（ax ） （a0） ，且函数的最小正周期为 （）求 a 的值；（）求 f（x）在0， 上的最大值和最小值4已知函数 f（x）=4cosxsin（x+ ） （ 0）的最小正周

2、期为 （1）求 的值；（）讨论 f（x）在区间 0， 上的单调性5已知函数 f（x）=sin 2x+2 sinxcosx+sin（x+ ）sin （x ） ，x R（）求 f（x）的最小正周期和值域；（）若 x=x0（x 00， ）为 f（x ）的一个零点，求 sin2x0 的值6已知函数 f（x）=sin（x ）+cosx（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若 是第一象限角，且 f（+ ）= ，求 tan（ ）的值7已知函数 （I）求函数 f（x ）的最小正周期；第 2 页（共 23 页）（II）求函数 f（x）在区间 上的最值及相应的 x 值8已知函数（）求函数 f（x）的最小正周期

3、；（）求函数 f（x）在 上的值域9已知函数 f（x）= cos2x2sinxcosx sin2x（I）求函数 f（x ）的最小正周期及单调递增区间；（II）求函数 f（x）在区间0， 的最大值及所对应的 x 值10已知函数 f（x ）=（sinx+cosx） 2+cos2x1（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）求函数 f（x）在区间 ， 上的最大值和最小值11已知函数 （）求 f（x）的最小正周期、零点；（）求 f（x）在区间 上的最大值和最小值12已知向量 =（ ， =（cosx，cosx ） ，xR ，设 f（x）= （1）求函数 f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在ABC 中

4、，a，b，c 分别为内角 A，B ，C 的对边，且a=1，b+c=2 f（A）=1，求ABC 的面积13已知函数 f（x ）=sin（2x ）+2cos 2x2（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）设ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且 c= （C ）= 1，若 2sinA=sinB，求ABC 的面积14在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B ，C 所对的边，且 2bcosC=2a+c（）求角 B 的大小；（）若 sin（ ）cos （ ）sin 2（ ）= ，求 cosC 的值15在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b ，c，且 bc=1，cosA

5、= ，第 3 页（共 23 页）ABC 的面积为 2 （）求 a 的值；（）求 cos（2A ）的值16在ABC 中，a，b，c 分别为 A，B ，C 的对边，且 sinA=2sinB，（1）若 C= ，ABC 的面积为 ，求 a 的值；（2）求 的值17在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，且满足（1）求角 C 的大小；（2）若 bsin（A ）=acosB，且 ，求ABC 的面积18在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c，且（2ab）cosC=ccosB（1）求角 C 的大小；（2）若 c=2，ABC 的面积为 ，求该三角形的周长19设ABC 的

6、内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c， （a+b+c） （a b+c）=ac（）求 B；（）若 ，求 C20在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，且 2csinC=（2ba）sinB+（2ab）sinA（）求角 C 的大小；（）若 c=2，且 sinC+sin（B A）=2sin2A，求ABC 的面积21在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知= （1）求角 B 的大小；（2）若 a+c=2，求 b 的数值范围第 4 页（共 23 页）22在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b 、c，已知cos2A= ，c= ，sin

7、A= sinC，角 A 为锐角（1）求 sinA 与 a 的值；（2）求 b 的值及三角形面积23在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知 A= ，b 2a2=（）求 tanC 的值；（）求 tan（2C ）的值24在ABC 中，角 A，B ，C 为三个内角，已知 A=45，cos B= （）求 sin C 的值；（）若 BC=10，D 为 AB 的中点，求 CD 的长及ABC 的面积25已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B ，C 的对边， = （）求角 A 的大小；（）若ABC 的面积 S= ，求ABC 周长的最小值26ABC 的内角 A，B， C

8、的对边分别为 a，b，c ，面积为 S，已知3a2 =3b2+3c2（1）求 A；（2）若 a=3，求ABC 周长的取值范围27已知圆 O 的半径为 2，它的内接三角形 ABC 满足 c2a2=4（ cb）sinB，其中 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边（）求角 A；（）求三角形 ABC 面积 S 的最大值第 5 页（共 23 页）三角函数解三角形专题参考答案与试题解析一解答题（共 33 小题）1设函数 f（x）= cos2x+sin2（x + ） （）求 f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当 x ， ）时，求 f（x ）的取值范围【解答】解：f（x）= cos2x+sin2（x

9、 + ） f（x）= cos2x+f（x）= cos2x+ sin2x+f（x）=sin （2x+ ）+ ，（1）最小正周期 ，sinx 单调递增区间为 2k ，2k+ ， （kZ）2x 2k ，2k+ ， （k Z）解得：x ， ， （kZ）f（ x）的最小正周期为 ；单调递增区间为 ， ， （k Z）（2）由（1）得：f （x ） =sin（2x+ ）+x ， ） ，2x ， ，由三角函数的图象和性质：可知：当 2x = 时，f（x）取得最小值，即 =0当 2x = 时，f（x）取得最大值，即 x ， ）时，f（x ）的取值范围在 第 6 页（共 23 页）2已知函数 f（x）=4sinx

10、sin（x + ） 1，（1）求 f（x）的最小正周期；（2）求 f（x）在区间 ， 上的最大值和最小值【解答】解：（1）f（x ）=4sinxsin（x + ） 1，=4sinx（ sinx+ cosx）1，=2sin2x+ sin2x1= sin2xcos2x=2sin（2x ） ，函数 f（x ）的最小正周期 T= （2）x ， ，2x ， ，sin （2x ） 1， ，f（ x）=2sin（2x ）在区间 ， 上的最大值为 ，最小值为23已知函数 f（x）=2 sin（ax ）cos（ax ）+2cos 2（ax ） （a0） ，且函数的最小正周期为 （）求 a 的值；（）求 f（x）

11、在0， 上的最大值和最小值【解答】解：（）函数 f（x ）=2 sin（ax ）cos（ax ）+2cos 2（ax ）（a 0 ） ，化简可得：f（x）= sin（2ax ）+cos（2ax ）+1= cos2ax+sin2ax+1=2sin（2ax ）+1第 7 页（共 23 页）函数的最小正周期为 即 T=由 T= ，可得 a=2a 的值为 2故 f（x）=2sin（4x ）+1；（）x0， 时，4x ， 当 4x = 时，函数 f（x ）取得最小值为 1 当 4x = 时，函数 f（x ）取得最大值为 21+1=3f（ x）在0， 上的最大值为 3，最小值为 1 4已知函数 f（x）=

12、4cosxsin（x+ ） （ 0）的最小正周期为 （1）求 的值；（）讨论 f（x）在区间 0， 上的单调性【解答】解：（1）函数 f（x ）=4cosxsin（x+ ） ，= ，由于函数的最小正周期为 ，故 = =1，（）所以：f（x）= ，令： （kZ ） ，解得： （kZ ） ，由于 x 在区间0， 上，所以：函数的单调递增区间为： 函数的单调递减区间为： 第 8 页（共 23 页）5已知函数 f（x）=sin 2x+2 sinxcosx+sin（x+ ）sin （x ） ，x R（）求 f（x）的最小正周期和值域；（）若 x=x0（x 00， ）为 f（x ）的一个零点，求 sin2

13、x0 的值【解答】解：函数 f（x） =sin2x+2 sinxcosx+sin（ x+ ）sin （x ） ，x R化简可得：f（x）= cos2x+ sin2x+sin（x ） cos（x ） ，= cos2x+ sin2x+sin cos2x= sin2xcos2x+=2sin（2x ） （）f（x）的最小正周期 T=值域为： ， （）令 f（x 0）=0，可得 sin（2x 0 ）= 0x 00， ，2x 0 ，0，cos（2x 0 ）=那么：sin2x 0=sin（2x 0 ） =sin（2x 0 ）cos（ ） cos（2x 0 ）sin = 6已知函数 f（x）=sin（x ）+

14、cosx（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若 是第一象限角，且 f（+ ）= ，求 tan（ ）的值【解答】解：（1）f（x） =sin（x ）+cosx=第 9 页（共 23 页）=所以：函数 f（x）的最小正周期为：（2）由于 f（x）=则：f（ ）=sin （ ）=cos=由于 是第一象限角所以：sin=则：则：tan（ ）=7已知函数 （I）求函数 f（x ）的最小正周期；（II）求函数 f（x）在区间 上的最值及相应的 x 值【解答】解：（） = =，f（ x）的最小正周期是 ；（） ，02x， ，当 时，f（x） max=2当 时，f（x） min=18已知函数（）求函数

15、f（x）的最小正周期；第 10 页（共 23 页）（）求函数 f（x）在 上的值域【解答】解：（） ，= +1，=2sin（2x+ ）+1，所以函数的最小正周期 T= （）由于 ，则： ，所以 ，即 ，所以函数的值域为 f（x） 9已知函数 f（x）= cos2x2sinxcosx sin2x（I）求函数 f（x ）的最小正周期及单调递增区间；（II）求函数 f（x）在区间0， 的最大值及所对应的 x 值【解答】解：（ I）由已知得 = 所以函数 f（x）的最小正周期 T=由 ，得 ，所以函数 f（x）的单调增区间为 （ II）当 ，则 ， 故函数 f（x ）的最大值为 ，由 2x = 得 x

16、=0，故函数 f（x）在区间0， 的最大值及所对应的 x 值是0第 11 页（共 23 页）10已知函数 f（x ）=（sinx+cosx） 2+cos2x1（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）求函数 f（x）在区间 ， 上的最大值和最小值【解答】解：（1）由函数 f（x ）=（sinx+cosx） 2+cos2x1化简可得：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x= sin（2x+ ） ，函数 f（x ）的最小正周期 T= ，（2）由（1）可知，f （x）= sin（2x+ ） ，x ， 上，2x+ ，sin （2x+ ） 1， 故得函数 f（x）在区间 ， 上

17、的最大值和最小值分别为 1， 11已知函数 （）求 f（x）的最小正周期、零点；（）求 f（x）在区间 上的最大值和最小值【解答】解：函数 化简可得：f（x）=4sinx （ cosx+ sinx）=2sinxcosx+2 sin2x=sin2x+=sin2x cos2x第 12 页（共 23 页）=2sin（2x ）（）函数 f（x）的最小正周期 T= =，令 ，即函数 f（x ）的零点是 （） ， 当 ，即 时，函数 f（x ）的最小值为 ；当 ，即 时，函数 f（x ）的最大值为 2f（ x）在区间 上的最大值为 2，最小值 12已知向量 =（ ， =（cosx，cosx ） ，xR ，

18、设 f（x）= （1）求函数 f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B ，C 的对边，且a=1，b+c=2 f（A）=1，求ABC 的面积【解答】解：（1）向量 =（ ， =（cosx，cosx） ，xR ，f（x）= = ，= ，= ，令： （kZ ） ，解得： （kZ ） ，故函数的单调递增区间为： （k Z） （2）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B ，C 的对边， f（A）=1，第 13 页（共 23 页）则： （0A ） ，解得：A= ，利用余弦定理：，a 2=b2+c22bccosA，且 a=1，b+c=2解得：bc=1所以ABC

19、 的面积为： 13已知函数 f（x ）=sin（2x ）+2cos 2x2（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）设ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且 c= （C ）= 1，若 2sinA=sinB，求ABC 的面积【解答】解：（1）f（x） = sin2x cos2x+cos2x1= sin2x+ cos2x1=sin（2x+）1，令 +2k2x+ +2k，kZ，得 +kx +k，函数 f（x ）的单调递增区间为 +k， +k，kZ （2）由 2f（ C）=1，得 sin（2C + ）= ，0C， 2C+ ，2C+ = ，即 C= 又 2sinA=sinB，即 b=2

20、a；由余弦定理得 c2=a2+b22abcosC=3a2=3，a=1，b=2S ABC = = 14在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B ，C 所对的边，且 2bcosC=2a+c第 14 页（共 23 页）（）求角 B 的大小；（）若 sin（ ）cos （ ）sin 2（ ）= ，求 cosC 的值【解答】解：（）由正弦定理，得 2sinBcosC=2sinA+sinC，在ABC 中，sinA=sin（B +C）=sinBcosC+cosBsinC，2cosBsinC=sinC，又C 是三角形的内角，可得 sinC0，2cosB= 1，可得 cosB= ，B 是三角形的内角，B（0，

21、） ，B= ；（） sin（ ）cos （ ）sin 2（ ）= ， ， ，即 ， B= ，cosC= = = = 15在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b ，c，且 bc=1，cosA= ，ABC 的面积为 2 （）求 a 的值；（）求 cos（2A ）的值【解答】解：（）由 cosA= ，0A，得 sinA= ，S= ，即 bc=6又 ，解得 a=3；（）由（）得，cos2A= ，第 15 页（共 23 页）sin2A=2sinAcosA= ，故 cos（2A ）=cos2Acos +sin2Asin= 16在ABC 中，a，b，c 分别为 A，B ，C 的对边，且 si

22、nA=2sinB，（1）若 C= ，ABC 的面积为 ，求 a 的值；（2）求 的值【解答】解：（1）ABC 中，a，b，c 分别为 A，B，C 的对边，且sinA=2sinB，则：利用正弦定理得：a=2b ，所以： ，解得： （2） ，= 4（1 cosC） ，= 17在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，且满足（1）求角 C 的大小；（2）若 bsin（A ）=acosB，且 ，求ABC 的面积【解答】解：（1）在ABC 中，由 ，由余弦定理：a 2+b2c2=2abcosC，可得：2 acsinB=2abcosC第 16 页（共 23 页）由正弦定理：2 sinC

23、sinB=2sinBcosC0B， sinB0 ，2 sinC=2cosC，即 tanC= ，0C，C= （2）由 bsin（A ）=acosB，sinBsinA=sinAcosB，0A， sinA0，sinB=cosB， ，根据正弦定理 ，可得 ，解得 c=1，18在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c，且（2ab）cosC=ccosB（1）求角 C 的大小；（2）若 c=2，ABC 的面积为 ，求该三角形的周长【解答】解：（1）在ABC 中，由正弦定理知 = = =2R，又因为（2a b）cosC=ccosB，所以 2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC

24、，第 17 页（共 23 页）即 2sinAcosC=sinA； （4 分）0A， sinA0；cosC= ； （6 分）又 0C，C= ； （8 分）（2）S ABC = absinC= ab= ，ab=4 （10 分）又 c2=a2+b22abcosC=（a+b） 23ab=4，（a +b） 2=16，a +b=4；周长为 6（14 分）19设ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c， （a+b+c） （a b+c）=ac（）求 B；（）若 ，求 C【解答】解：（）因为（a+b+c） （ab +c）=ac，所以 a2+c2b2=ac（2 分）由余弦定理得， ， （4 分）因

25、此，B=120（6 分）（）由（）知 A+C=60，所以：cos（AC ）=cosAcosC+sinAsinC （7 分）=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC （8 分）=cos（A+C） +2sinAsinC （9 分）= = ， （10 分）故 AC=30或 AC=300，第 18 页（共 23 页）因此，C=15 或 C=45（12 分）20在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，且 2csinC=（2ba）sinB+（2ab）sinA（）求角 C 的大小；（）若 c=2，且 sinC+sin（B A）=2sin2A，求ABC 的面积【解答】解：（

26、）ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，且 2csinC=（ 2ba）sinB+（2ab ）sinA整理得：2c 2=（2b a）b+（2ab ）a，即：b 2+a2c2=ab，则： ，由于：0C ，则：C= （）由于：sinC+sin（BA ）=2sin2A，则：sinC+sin（BA）=sin （ A+B）+sin（B A） ，整理得：sinBcosA=2sinAcosA，所以：cosA=0，或 sinB=2sinA（1）当 cosA=0 时，A= ，c=2则：b= ，所以： （2）sinB=2sinA ，即：b=2a，利用余弦定理得： ，解得： ，第 19 页（共

27、23 页）所以： 所以： 21在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知= （1）求角 B 的大小；（2）若 a+c=2，求 b 的数值范围【解答】解：（1）在ABC 中， = ，由正弦定理可得 = ，即为 c2+a2b2=ac，可得 cosB= = ，0B ，可得 B= ；（2）由余弦定理可得 b2=a2+c22accos=（ a+c） 22ac+ac=4ac=4a（2a）=（a1） 2+3，由 0a2 ，可得 b23，4） ，可得 b 的范围是 ，2） 22在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b 、c，已知cos2A= ，c= ，sinA= sinC

28、，角 A 为锐角（1）求 sinA 与 a 的值；（2）求 b 的值及三角形面积【解答】解：（1）sinA= sinC，a= c=3 cos2A=12sin 2A= ，sinA= 第 20 页（共 23 页）（2）A 是锐角，cosA= ，由余弦定理得：cosA= ，即 = ，解得 b=5S ABC = bcsinA= = 23在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知 A= ，b 2a2=（）求 tanC 的值；（）求 tan（2C ）的值【解答】解：（）A= ，由余弦定理可得： a2=b2+c22bccos ，b 2a2= bcc2，又 b2a2= c2 bcc2

29、= c2 b= c可得 b= c，a 2=b2 c2= c2，即 a= ccosC= = C （0，） ，sinC= = tanC= =2（）tan2C= = = ，tan（2C ）= = =7第 21 页（共 23 页）24在ABC 中，角 A，B ，C 为三个内角，已知 A=45，cos B= （）求 sin C 的值；（）若 BC=10，D 为 AB 的中点，求 CD 的长及ABC 的面积【解答】解：（I）cosB= ，B（0，180 ） ，sinB= = sinC=sin（B+45）=sinBcos45+cosBsin45= （II）由正弦定理可得 ，可得 b=6 由（I）可得：cos

30、B= ，B45 ，B+A 90，C 90，cosC= = 由由余弦定理可得：AB 2=（6 ） 2+10226 10cosC=196，解得 AB=14在ACD 中，CD 2=（6 ） 2+722 7cos45=37，CD= ABC 的面积 S=25已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B ，C 的对边， = （）求角 A 的大小；（）若ABC 的面积 S= ，求ABC 周长的最小值【解答】解：（）ABC 中， = ，由正弦定理，得： ，即 2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，故 2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，sinB0，cosA= ，A= 第 2

31、2 页（共 23 页）（）A= ，且 ，bc=4，由余弦定理，得 a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc2bc bc=bc=4，a 2 ，又 b+c =4，当且仅当 b=c=2 时，a 的最小值为 2，b+c 的最小值为 4，则周长 a+b+c 的最小值为 626ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c ，面积为 S，已知3a2 =3b2+3c2（1）求 A；（2）若 a=3，求ABC 周长的取值范围【解答】解：（1）S= ，由已知得：，化简得： = ，tanA= ，A（0，） ，A= （2）在ABC 中，由正弦定理得： b=2 sinB，c=2 sinC=2 ，记ABC

32、 周长为 y，y=a+b+c=2 sinB+2 sin（ B）+3化解得：y=2 sinB+2 （ +3=2 sin（B+ ）+3B ，周长 y ）综上所述：ABC 周长的取值范围（6，3+2 ） 27已知圆 O 的半径为 2，它的内接三角形 ABC 满足 c2a2=4（ cb）sinB，其中 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边（）求角 A；（）求三角形 ABC 面积 S 的最大值【解答】解：（）三角形 ABC 外接圆的半径是 2，第 23 页（共 23 页）由正弦定理得， ，则 sinB= ，代入 c2a2=4（ cb）sinB 得，c2a2=4（ cb） = bcb2，即 ，由余弦定理得，cosA= = ，0A， A= ；（）三角形 ABC 外接圆的半径是 2，由正弦定理得 ，则 a=4 =2，由余弦定理得，a 2=b2+c22bccosA， （2 ）bc ，解得 bc ，当且仅当 b=c 时取等号，三角形 ABC 面积 S= = ，三角形 ABC 面积 S 的最大值是