1、第五课时 函数的奇偶性与周期性(1),第三章 函数,函数的奇偶性,一.函数的奇偶性 1.函数的奇偶性的定义 ：,2.奇偶函数的性质：,(3)f(x)为偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|). (4)若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0. (5)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式 f(x)f(-x)=0，f(x)/f(-x)=1.(f(-x)0) (6)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上 奇+奇=奇，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇奇=偶，奇偶=奇.,2(2009年陕西卷)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x20，)(x1x2)， 有 则
2、( )Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3) Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2),A,基础自测,解析：由于 与(x2x1)(f(x2)f(x1)0等价，则f(x)在 上单调递减又f(x)是偶函数，f(2)f(2)，且3210，得f(3)f(2)f(1)，故选A. 答案：A,3(2009年重庆卷)若 是奇函数，则a_,答案：,4(2010年南京模拟)设函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，则a_.,解析：f(1)f(1)2(1a)0，a1.,(2008年辽宁卷)若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数，则a=( ) A-2 B-1 C1 D2,C,3.(2008
3、年上海卷)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0,+)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_,(-1,0)(1,+),函数奇偶性的判断,判断下列各函数的奇偶性：（具体函数）,【思路分析】确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域 是否关于原点对称，若对称，再验证f(x)= f(x)或其等价形式 f(x) f(x)=0,（1） （2） （3）,变式探究,1(11南海一中摸底)若函数f(x)x3(xR)，则函数yf(x)在其定义域上是( ) A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数,解析：函数yf(x)x3单调递减且为奇函数，故
4、选B.答案：B,变式探究,1下列函数为奇函数的是( ),答案：B,掌握一些常用的基本初等函数的奇偶性,(2010年福州调研),抽象函数的奇偶性的判定,课堂练习,(2009年辽宁卷)已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调增加，则满足f(2x-1)f(1/3)的x取值范围是( ),解析：f(x)为偶函数， f(2x-1)=f(|2x-1|). 又f(x)在0,+)上单调增加，,答案： A,变式探究,2.已知函数y=f(x)是偶函数，当x0时，有f(x)=x+4/x，且当x-3，-1时，f(x)的值域是n，m，则m-n的值是( ) A. 1/3 B. 2/3 C1 D4/3,答案：C,课堂练习,D,
5、D,C,D,设a为实数,函数f(x)x2|xa|1,xR.(1)讨论f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的最小值,解析：(1)当a0时，f(x)(x)2|x|1f(x)， 此时f(x)为偶函数； 当a0时，f(a)a21，f(a)a22|a|1， f(a)f(a)，且f(a)f(a)， 所以，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,变式探究,3(2009年辽宁卷)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，则满足f(2x1) 的x 取值范围是( ),解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)f(|x|)， 得f(|2x1|) 再根据f(x)的单调性， 得|2x1| 解得 答案：A,4(2010年北京海
6、淀区综合检测)已知函数yf(x)是偶函数，当x0时，有 且当x3，1，f(x)的值域是n，m，则mn的值是( ),C,(1)已知f(x)是R上的奇函数，且当x(0，)时， 则f(x)的解析式为f(x)_. (2)已知f(x)是偶函数，xR，当x0时，f(x)为增函数，若x10，且|x1|f(x2) Bf(x1)f(x2) Df(x1)f(x2),(2)x10，且|x1|0时，f(x)为增函数，所以f(x1)f(x2)，又已知f(x)是偶函数，f(x2)f(x2)，f(x1)f(x2)故选B.答案： (2)B,5若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为 则该函数的
7、解析式f(x)_,变式探究,解析：f(x)(xa)(bx2a)bx2(2aab)x2a2是偶函数，则其图象关于y轴对称， 2aab0a0或b2. 当a0时，f(x)bx2，f(x)值域为(，4，而ybx2值域不可能为(，4，a0.当b2时，f(x)2x22a2，且值域为(，4 ， 2a24，f(x)2x24. 答案：2x24,6(2011年广州47中检测)设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式 的解集为( ) A(1,0)(1，) B(，1)(0,1) C(，1)(1，) D(1,0)(0,1),D,已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有
8、f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x1时f(x)0,f(2)=1， （1）求证：f(x)是偶函数； （2）f(x)在(0,+)上是增函数； （3）解不等式f(2x2-1)2.,解析：,（3）f(2)=1，f(4)=f(2)+f(2)=2， f(x)是偶函数， 不等式f(2x2-1)2可化为f(|2x2-1|)f(4)， 又函数在(0,+)上是增函数， |2x2-1|4，解得： 即不等式的解集为,点评：对于抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.,点评：对于抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.,1解答有关函数的奇偶性问题的方法
9、与技巧 (1)具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称 (2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性)： 定义法 利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)f(x)0或,图象法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称 (3)函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 若f(x)为偶函数,则f(x)f(x)f(|x|) 若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)0.故f(0)0是
10、f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件,定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)” 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外” 既奇又偶函数有无穷多个(如f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集),1(2010年广东卷)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则( ) Af(x)与g(x)均为偶函数 Bf(x)为奇函数，g(x)为偶函数 Cf(x)与g(x)均为奇函数 Df(x)为偶函数，g(x)为奇函数,解析：由于f(x)3x3xf(x)，g(x)3x3xg(x)，故f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数，故选D. 答案：D,祝,您,学业有成,
