1、,第二章,函数,2.5 函数的奇偶性、周期性,第二课时,题型4 函数周期性的定义,1. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，则f(x)的周期是( )A. 1 B. 2C. 4 D. 6,解：由已知，f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，显然，f(x)的周期为4，选C.点评：由本题可知，若定义域为R的函数f(x)满足：f(x+a)=-f(x)(a0)，则f(x)是周期为2a的周期函数.相应地还有：若f(x+a)= 或f(x+a)=- ，则f(x)是周期为2a的周期函数.,已知定义在R上的奇函数f(x)满足：对任意实数x都有f(x+2)+f(
2、x)=0，且当x0，1时，f(x)=3x，则f( )的值为( )A. 1 B. -1C. D. 解：由已知f(x+2)=-f(x) f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数.又f(x)为奇函数，所以f( )=f( -16)=f(- )=-f( )=-1，故选B.,2. 定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0.(1)证明:这个函数既是奇函数,又是周期函数；(2)若f(-3)=1，求f(2011)的值.解：(1)证明：因为f(2-x)+f(x-2)=0，令t=x-2代入,有f(-t)+f(t)=0，所以f(x)为奇函数.
3、所以f(4-x)=-f(x-4)，即有f(x)=-f(x-4)，所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，故f(x)是周期为8的周期函数.(2)f(2011)=f(2518+3)=f(3)=-f(-3)=-1.,题型5 抽象函数奇偶性、周期性的判定与证明,点评：处理抽象函数的奇偶性和周期性的关键是对其抽象性质进行变形、配凑，如本题中观察到2-x与x-2是互为相反数，则可判断其奇偶性，然后利用奇偶性将f(4-x)变换为-f(x-4).,已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数y=f(x)的图象关于直线x=a (a0，为常数)对称，证明：f(x)是周期函数.证明：由已知f(-x)=-f(x)，且
4、f(a+x)=f(a-x)，所以f(2a+x)=fa+(a+x)=fa-(a+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4a.,拓展练习,3. 若y=f(2x)的图象关于直线 和 (ba)对称，则f(x)的一个周期为( )A. B. 2(b-a)C. D. 4(b-a)解：因为y=f(2x)关于直线 对称， 所以f(a+2x)=f(a-2x)， 所以f(2a-2x)=fa+(a-2x)=fa-(a-2x)=f(2x).,题型6 函数的对称与周期,同理，f(b+2x)=f(b-2x)，所以f(2b-2x)=f(2x). 所以f(
5、2b-2a+2x)=f2b-(2a-2x)=f(2a-2x)=f(2x). 所以f(2x)的一个周期为2b-2a， 故知f(x)的一个周期为4(b-a).故选D.,点评：本题考查函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可.若函数y=f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称(ab)，则这个函数是周期函数，其周期为2(b-a)；若函数y=f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称(ab)，则这个函数是周期函数，其周期为4(b-a);若函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称(ab)，则这个函数是周期函数，其周期为2(b-a).,已知定义在R上的偶
6、函数f(x)满足:对任意实数x都有f(x+2)=f(x)成立，且当x2，3时，f(x)=x，则当x-1，0时，f(x)的解析式为( )A. x+4 B. x-2C. 3-|x+1| D. 2+|x+1|解：当x-1，0时，2-x2，3.由已知f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-|x+1|，故选C.,1. 证明抽象函数的周期性，关键是找出其周期，一般通过尝试变形或类比三角函数获得.2. 求周期函数在某个区间内的解析式，先要在该区间内选取自变量，再通过周期调节到已知区间，从而将它转化为已知区间内的函数解析式.3. 求周期函数的函数值，要通过周期的调节，将它转化为已知区间内的函数值来解决.,4. 函数的周期性常与函数的奇偶性结合在一起，解题中要充分利用f(-x)与f(x)的关系帮助变形.5. 函数的周期性有时是一个隐含条件，根据解题的需要，可先推断函数的周期性，再解决相应问题.6. 研究周期函数的单调性、值域等性质，只需考虑一个周期就能得出，同时要注意利用数形结合的思想分析问题和解决问题.,
