1、第3课时 函数的奇偶性与周期性,1奇函数、偶函数的概念 图像关于 对称的函数叫做奇函数 图像关于 对称的函数叫做偶函数,原点,y轴,2判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1)考查定义域是否关于 对称； (2)考查表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)： 若f(x) ，则f(x)为奇函数； 若f(x) ，则f(x)为偶函数； 若f(x) 且f(x) ，则f(x)既是奇函数又是偶函数； 若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数,原点,f(x),f(x),f(x),f(x),【思考探究】 奇函数、偶函数的定义域
2、具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？ 提示： 定义域关于原点对称；必要不充分条件,3周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT) ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期,f(x),存在一个最小,1对任意实数x，下列函数中为奇函数的是( ) Ay2x3 By3x3 Cy5x Dy|x|cos x 答案： B,答案： B,3已知f(x)在R上满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则
3、f(2 013)( ) A2 B2 C98 D98 解析： 由f(x4)f(x)，f(x)的周期为4， f(2 013)f(50341)f(1)2. 答案： B,答案： 坐标原点 5设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(2)_. 答案： 1,1用定义判断(或证明)函数的奇偶性的一般步骤 (1)验证定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数 (2)证明f(x)f(x)是否成立若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数 2对于有些复杂的函数，有时需要将函数进行化简或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)0
4、 1(f(x)0) 3对于分段函数的奇偶性的判断应分段逐一判断，然后统一下结论,解析： (1)此函数的定义域为R. f(x)|x|(x)21|x|(x21)f(x)， f(x)f(x)，即f(x)是偶函数 (2)此函数的定义域为x0，由于定义域关于原点不对称， 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (3)函数的定义域为x|x0关于原点对称， 当x0时，x0，f(x)x22x1f(x)， 当x0时，x0，f(x)x22x1f(x)， f(x)f(x)，即函数是奇函数,解析： (1)由于f(1)2，f(1)0，f(1)f(1)，f(1)f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2)f(x
5、)的定义域为1,1，关于原点对称，又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，f(x)既是奇函数又是偶函数,【变式训练】 2.(1)奇函数f(x)的定义域为5,5若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解是_(2)已知函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是_,解析： (1)由奇函数图象对称性质补出其在5,0)上的图象，由图象知解集为(2,0)(2,5 (2)由已知f(x)在0，)上为增函数， 且f(a)f(|a|)， f(a)f(2)f(|a|)f(2)， |a|2得a2或a2. 答案： (1)(2,0)(2,5 (2)a
6、2或a2,设f(x)是定义在上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x2,4时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 011),解析： (1)证明：f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x) f(x)是周期为4的周期函数 (2)当x2,0时，x0,2，由已知得 f(x)2(x)(x)22xx2， 又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2， f(x)x22x. 又当x2,4时，x42,0， f(x4)(x4)22(x4) 又f(x)是周期为4的周期函数,f(x)f(x4)(
7、x4)22(x4)x26x8. 从而求得x2,4时，f(x)x26x8. (3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1. 又f(x)是周期为4的周期函数， f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0. f(0)f(1)f(2)f(2 011)0.,【变式训练】 3.已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 008)f(2 009)的值为( ) A2 B1 C1 D2 解析： f(x)是偶函数，f(2 008)f(2
8、008) f(x)在x0时f(x2)f(x)，f(x)的周期为2. f(2 008)f(2 009)f(2 008)f(2 009) f(0)f(1)log21log22011. 答案： C,1正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题： (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式,2奇偶函数的性质 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性； (2)奇奇奇，偶偶偶； (3)奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
9、 (4)函数yf(x)，当x0时有意义，则f(0)0为yf(x)是奇函数的必要条件 因此判断函数的奇偶性，一般有三种方法： 定义法；图象法；性质法,(1)对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象的特点解决相关问题、利用函数奇偶性求函数值、根据函数奇偶性求参数值等解答此类问题时，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，再研究f(x)与f(x)的关系 (2)对函数周期性的考查，主要涉及判断函数的周期、利用周期性求函数值，以及解决与周期有关的函数综合问题充分利用题目提供的信息，迁移到有定义的范围上进行求值是解答此类问题的关键,(2010全国新课标卷)设偶函数f(x)满足f(x)2
10、x4(x0)，则x|f(x2)0( ) Ax|x2或x4 Bx|x0或x4 Cx|x0或x6 Dx|x2或x2 【全解全析】 f(x)2x4(x0)，令f(x)0，得x2. 又f(x)为偶函数且f(x2)0，f(|x2|)0， |x2|2，解得x4或x0，x|x0或x4 答案： B,【阅后报告】 本题难点是利用偶函数这一条件，即f(x)f(|x|)，本题也可按如下方法求解： f(x2)f(|x2|)2|x2|40， |x2|2，x4或x0.,1(2010广东卷)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则( ) Af(x)与g(x)均为偶函数 Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数
11、 Cf(x)与g(x)均为奇函数 Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数,解析： f(x)3x3x，f(x)3x3x. f(x)f(x)，即f(x)是偶函数 又g(x)3x3x，g(x)3x3x. g(x)g(x)，即函数g(x)是奇函数 答案： B,2(2010山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)( ) A3 B1 C1 D3 解析： 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 因此f(x)f(x)0. 当x0时，可得f(0)0，可得b1，此时f(x)2x2x1， 因此f(1)3.又f(1)f(1)，所以f(1)3. 答案： D,3(2010安徽
12、卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)( ) A1 B1 C2 D2 解析： 函数f(x)的周期为5，f(x5)f(x)， f(3)f(25)f(2) 又f(x)为奇函数，f(3)f(2)f(2)2， 同理f(4)f(1)f(1)1， f(3)f(4)2(1)1. 答案： A,4(2010江苏卷)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_ 解析： 因为f(x)是偶函数，所以恒有f(x)f(x)， 即x(exaex)x(exaex)， 化简得x(exex)(a1)0. 因为上式对任意实数x都成立，所以a1. 答案： 1,练规范、练技能、练速度,
