1、2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1 ）当 时， 与 等价无穷小，则0xsinfxax2ln1gbx. . A1,6abB,6. .CD【答案】 【解析】 为等价无穷小，则2()sin,()ln(1)fxaxgbx222200000sicossinlimlilimlilm()(1)()36xxxxxaaagb b 洛 洛故排除 。230sinl6xab 36b,BC另外 存在，蕴含了 故 排除 。201coslim3xx1cos0ax
2、1.aD所以本题选 A。（2 ）如图，正方形 被其对角线划分为,xy四个区域 ， ，1234kDcoskDIyxd则 14maxkI. . . .A1B2IC3ID4I【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。两区域关于 轴对称，而 ，即被积函数是关于 的24,Dx(,)cos(,)fxyxfyy奇函数，所以 ;240I两区域关于 轴对称，而 ，即被积函数是13,y(,)cs()cs(,)fxyxyfxy-1 -1 11 xy234关于 的偶函数，所以 ；x1(,),012cos0xyxIdy.所以正确答案为 A.3(,),012cosxyxId（3 ）设函数 在区间
3、上的图形为：f1,3则函数 的图形为0xFftdABCD【答案】 D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 的图形可见，其图像与 轴及 轴、()yfxxy所围的图形的代数面积为所求函数 ，从而可得出几个方面的特征：0xF 时， ，且单调递减。,1()Fx 时， 单调递增。2x 时， 为常函数。2,3x()Fx 时， 为线性函数，单调递增。100由于 F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为 。D（4 ）设有两个数列 ，若 ，则,nablim0na当 收敛时， 收敛. 当 发散时， 发散. A1n1nB1nb1nab当 收敛时， 收敛. 当 发散时， 发散.C1nb21nabD1n21n【
4、答案】C【解析】方法一：举反例 A 取 1()nnabB 取 nD 取 1ab故答案为（C）方法二：因为 则由定义可知 使得 时，有lim0,n1,N1n1na又因为 收敛，可得 则由定义可知 使得 时，有1nbli0,nb2,N21nb从而，当 时，有 ，则由正项级数的比较判别法可知 收敛。12N2na21na（5 ）设 是 3 维向量空间 的一组基，则由基 到基12,3R123,的过渡矩阵为1,. . A1023B1203. .C461246D12416【答案】A【解析】因为 ，则 称为基 到1212,nnA 12,n的过渡矩阵。12,n则由基 到 的过渡矩阵 满足3,1231,M1231
5、23,12310,所以此题选 。A（6 ）设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块,B*,AB, 2,3AB矩阵 的伴随矩阵为O. . A*32B*23OA. .C*OBD*【答案】B【解析】根据 ，若E1,CC分块矩阵 的行列式 ，即分块矩阵可逆0AB20136ABB（ ）1110600AA1236002BA故答案为 B。（7 ）设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正X10.3.72xFxx态分布函数，则 E. . . .A0B03CD【答案】 C【解析】因为 ，10.3.72xFx所以 ，2所以 10.3.52xEXxFdxd10.3.52d而 ，0xd 212xuud
6、 所以 。.352.7EX（8 ）设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为YX0,1NY，记 为随机变量 的分布函数，则函数102PZFzZX的间断点个数为ZFz0. 1. 2. 3.ABCD【答案】 B【解析】 ()(0)(1)(1012()()ZFzPXYzzYPXYzPzXz独立,XY1()(0)()2ZFzPzz（1 ）若 ，则12Z（2 ）当 ，则z()()zz为间断点，故选（B）0二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9 ）设函数 具有二阶连续偏导数， ，则 。,fuv,zfxy2zx【答案】 122xfy
7、f【解析】 ，z212212xfyfxfyy（10 ）若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 ，则非0ab12xyCe齐次方程 满足条件 的解为 。yabx02,y【答案】 2xe【解析】由常系数线性齐次微分方程 的通解为 可知yab12xyCe， 为其线性无关解。代入齐次方程，有1xye2x122()0102xxabaeba从而可见 。2,1ab微分方程为 yx设特解 代入，*AB,1yA20,2x特解 *y12()xce把 ， 代入，得 0)y(0y120,c所求 xe（11 ）已知曲线 ，则 。2:LyLxds【答案】 136【解析】由题意可知， ，则2,0xyx，214dsxyd所以
8、222200148Lxxd3201486（12 ）设 ，则 。2,1xyzz2zdxy【答案】 15【解析】方法一： 212 2200sincozdxydd2 1240 0co30s5d方法二：由轮换对称性可知 2zdxy2xdyz2dxyz所以， 21222 40011sin33zdxy r14000sinsin55drd（13 ）若 3 维列向量 满足 ，其中 为 的转置，则矩阵 的非零特征,2TTT值为 。【答案】2【解析】 2T, 的非零特征值为 2.T(14)设 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样本12,mX ,BnpX2S均值和样本方差。若 为 的无偏估计量，则 2
9、kSpk【答案】 【解析】 为 的无偏估计2Xn2()Ekp1()pk三、解答题：1523 小题，共 94 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15 ） （本题满分 9 分）求二元函数 的极值。2(,)lnfxyy【解析】2(,)()0xfyln1yy故 0,xe22(),4xyxyfff则 12(0,)(,)1(0,)xeyeff而x2)0xyxyff二元函数存在极小值1(,)e（16 ） （本题满分 9 分）设 为曲线 与 所围成区域的面积，nanyx1,2.n记，求 与 的值。1221,nnSS2【解析】由题意， 与 在点 和 处相交，yx+
10、=0x1所以 ，1121a()()0 2nnnndn从而 11 1Slimli(-)lim()23+Nnn Na 221 11=)+2+3456na （ ） （由 取 得2(1)nxx l(+)=- x21ln2)l234S（17 ） （本题满分 11 分）椭球面 是椭圆 绕 轴旋转而成，圆锥面 是过点1143xyx2S且与椭圆 相切的直线绕 轴旋转而成。4,0243xy（）求 及 的方程1S2（）求 与 之间的立体体积。【解析】 （I） 的方程为 ，1S22143xyz过点 与 的切线为 ，4,0232x所以 的方程为 。2S21yzx（II）记 ，由 ，记 ，1x243y22314x则 4
11、2 22 211 13Vydxddx4232311x（18 ） （本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在 可导，则存在fx,ab(,)ab，使得,abf（）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，x00,0limxfA则 存在，且 。0ffA【解析】 （）作辅助函数 ，易验证 满足：()() ()fbaxfax ()x； 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且()ab(),b,。faxf根据罗尔定理，可得在 内至少有一点 ，使 ，即,()0()f()0()fbfbafbaa（）任取 ，则函数 满足；0,xx在闭区间 上连续，开区间 内可导，从而有拉格朗日中值定
12、理可得：存在,0,，使得 0,0,x0 0()xfff*又由于 ，对上式（*式）两边取 时的极限可得：0limxfA0x000 00 ()lilim()li()xxxxff ffA 故 存在，且 。()f()fA（19 ） （本题满分 10 分）计算曲面积分 ，其中 是曲面322xdyzxzdyI的外侧。224xyz【解析】 ，其中223/()dxzdyIA224xyz2223/25/(),()xyzxyz2223/25/(),()x2223/25/(),()zxyzy+=223/223/223/()()0()yzxyzxzxy由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧
13、）有221 1:.06yzR1 1223/ 333()4xdyzdxydzyxzdyRRVR AA（20 ） （本题满分 11 分）设 ，1042A1（）求满足 的所有向量 ，131,A23,（）对（）中的任一向量 ，证明： 线性无关。2,1【解析】 （）解方程 11 1, 002042210A故有一个自由变量，令 ，由 解得，()r 3xAx21,x求特解，令 ，得12x故 ，其中 为任意常数 210k1k解方程 231A20421 102012,4A故有两个自由变量，令 ，由 得231,0x2Ax1令 ，由 得 0求特解 故 ，其中 为任意常数210323102k23,k（）证明：由于 1
14、21321212211313()()()kkkkkk02故 线性无关.123,（21 ） （本题满分 11 分）设二次型 2212313123,fxaxxx（）求二次型 的矩阵的所有特征值；f（）若二次型 的规范形为 ，求 的值。21y【解析】 （） 0aA110|0()11aaEa22()()019()()4aaa123,a（） 若规范形为 ，说明有两个特征值为正，一个为 0。则21y1) 若 ，则 ， ，不符题意020312) 若 ，即 ，则 ， ，符合2a13) 若 ，即 ，则 ， ，不符题意3 20综上所述，故（22 ） （本题满分 11 分）袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3
15、个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。,XYZ（）求 ；0P（）求二维随机变量 的概率分布。,XY【解析】 （）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球1234(0)9CPZ（）X，Y 取值范围为 0，1，2，故13 236 611261, ,04,0,2,1090,2,2,0CPXYPCXYYPPX XY0 1 20 1/4 1/6 1/361 1/3 1/9 02 1/9 0 0（23 ） （本题满分 11 分）设总体 的概率密度为 ，其中参数 未知， ， ,X2,()0xefx其 他 (0)1X2是来自总体 的简单随机样本n()求参数 的矩估计量；（）求参数 的最大似然估计量【解析】（1）由 EX而 为总体的矩估计量20 2xEXedX（2）构造似然函数12111L,.;ninnxni iixfxe取对数 11l2llnniii令 111ln200ni nniidLxx故其最大似然估计量为 X
