1、1 / 112007 年数学一一、选择题：( 本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当 时，与 等价的无穷小量是0xx(A) . (B) . (C) . (D) . B 1e1ln1x1cosx【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当 时，有 ； ；0x1(1)xxe12x利用排除法知应选(B).21cos().(2) 曲线 ，渐近线的条数为lnxye(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. D 【分析
2、】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】 因为 ，所以 为垂直渐近线；01liml()xxe0x又 ，所以 y=0 为水平渐近线；lin()xe进一步， = ，21ln()ln(1)liliimxxxxyeeli1xe=lim1lil()xxx li()xx= ，nn10ee于是有斜渐近线：y = x. 故应选 (D).(3) 如图，连续函数 y=f(x)在区间3 ，2，2 ，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间2，0，0，2 的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 则下列结论正确的是0()().xFftd(A) . (B) . 3()(
3、)4F5(3)()4F(C) . (D) . C 22【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意 f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】 根据定积分的几何意义，知 F(2)为半径是 1 的半圆面积： ，1(2)FF(3)是两个半圆面积之差： = ，2213(3)()84030)( dxfdxf )(0xf因此应选(C).2 / 11(4) 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是(A) 若 存在，则 f(0)=0. (B) 若 存在，则 f(0)=0. 0lim0()limxfx(C) 若 存在，则 存在. (D) 若 存在，则 存在()xf(0)
4、(0) D 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为 0，因此分子的极限也必须为 0，均可推导出 f(0)=0.若 存在，则 ，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，0()limxf 0()()(0),()limlixxffff可举反例： 在 x=0 处连续，且f= 存在，但 在 x=0 处不可导。0()lix0lix()f(5) 设函数 f (x)在 上具有二阶导数，且 令 , ,)0.f)2,1)(nfun则下列结论正确的是(A) 若 ，则 必收敛. (B) 若 ，则 必发散. 12un 12
5、un(C) 若 ，则 必收敛. (D) 若 ，则 必发散. D 【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】 设 f(x)= , 则 f (x)在 上具有二阶导数，且 ，但 发散，排20,)12()0,fxu2n除(C)。 设 f(x)= , 则 f(x)在 上具有二阶导数，且 ，但 收敛，排除(B)。 1又若设 ，则 f(x)在 上具有二阶导数，且 ，但 发散，排除)ln,) 12(),fxln(A). 故应选 (D).(6) 设曲线 具有一阶连续偏导数 )，过第 II 象限内的点 M 和第 IV 象限内的点 N，T:(,)1(,)Lfyf为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧
6、，则下列小于零的是(A) . (B) . (,)Tfxd(,)Tfxyd(C) . (D) . B ys(,)xyf【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】 设 M 、N 点的坐标分别为 . 先将曲线方程代入积分表达式，12122(,)(,),MNxy再计算有：。 。21(,)0TTfxydx 21(,)0TTfxyd。 .ss(,)(,)xyTfxdfxy故正确选项为(B).(7) 设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是321,3 / 11(A) . (B) .1321, 1321,(C) . (D) . A 2【详解】用定义进行判定:令，0)()()( 1332
7、21 xxx得 .213 因 线性无关，所以 又 ，321, 312,0.x 01故上述齐次线性方程组有非零解, 即 线性相关.类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线321,性无关的.(8) 设矩阵 , ,则 A 与 B21A0B(A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. B 【详解】 由 得 A 的特征值为 0, 3, 3, 而 B 的特征值为 0, 1, 1,从而 A 与 B 不相似. 0|E又 r(A)=r(B)=2, 且 A、B 有相同的正惯性指数, 因此 A 与 B 合同. 故选(B) .(9) 某人向同一
8、目标独立重复射击 ,每次射击命中目标的概率为 p(0p1),则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为(A) (B) .2)1(3p2)1(6p(C) (D) C 2【详解】 “第 4 次射击恰好第 2 次命中” 表示 4 次射击中第 4 次命中目标, 前 3 次射击中有 1 次命中目标, 由独立重复性知所求概率为： . 故选(C) . 213)(pC(10) 设随机变量( , )服从二维正态分布，且 与 不相关， 分别表示 ， 的概率密度，则在)(yfxYX y 的条件下， 的条件概率密度 为)|(|yxfYX(A) (B) (C ) . (D) A )(xfX(yfYf)(yfxY
9、X【详解】因( , )服从二维正态分布，且 与 不相关，故 与 相互独立，于是 = . )|(|yxfYX(fX因此选(A) .二、填空题：(11 16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上)(11) =123xed12.4 / 11【分析】先作变量代换，再分部积分。【详解】 =12 132321 2()txt tededte 111222.tttdede(12) 设 f(u,v)为二元可微函数， ，则 =,)yxzfz1ln.yxffy【详解】 利用复合函数求偏导公式，有 = 12l.yxf(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程 的通解为 其中43e3212.xxyCe
10、e为任意常数.21,C【详解】 特征方程为 ，解得 可见对应齐次线性微分方程2012,3.的通解为 430y312.xxyCe设非齐次线性微分方程 的特解为 ，代入非齐次方程可得 k= 2. 故通解为4 *2xyke3212.xxyCee(14) 设曲面 ，则 = :1yzdSyx|)(43.【详解】 由于曲面 关于平面 x=0 对称，因此 =0. 又曲面 具有轮换对称性，于:1xyz是= = = =dSyx|)(|dS|z| dSz|)|(31= =31284.(15) 设矩阵 , 则 的秩为 1.01A3A【详解】依矩阵乘法直接计算得 ,故 r( )=1. 013A3A(16) 在区间(0
11、, 1)中随机地取两个数 , 则两数之差的绝对值小于 的概率为 214【详解】这是一个几何概型, 设 x, y 为所取的两个数, 则样本空间, 记 .1,0|),(yx |,),(|,yxyA5 / 11故 ，其中 分别表示 A 与 的面积.SAP)(431SA,三、解答题：(17 24 小题，共 86 分. )(17) (本题满分 11 分)求函数 在区域 上的最大值和最小值。22,fxyxy2(,)4,0Dxyy【分析】 由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】 因为 ， ，解方程：2(,)xf 2(,)yf得开区域内的可能极值点为 .204x
12、yfy ,1其对应函数值为 (,1).f又当 y=0 时， 在 上的最大值为 4，最小值为 0.2xyx当 ，构造拉格朗日函数24,0x22(,)(4)Fyyxy解方程组 得可能极值点： ，其对应函数值为20,4,yFx 53(0,2),)537(0,2)8(,).24ff比较函数值 ，知 f(x, y)在区域 D 上的最大值为 8，最小值为 0.,0(18) (本题满分 10 分)计算曲面积分 23,Ixzdyzxyd其中 为曲面 的上侧。21(01)4【分析】本题曲面 不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【详解】 补充曲
13、面： ，取下侧. 则21:,04yxz1 3Izdxdy 123zdyzxdy= (2)Dxyz6 / 11其中 为 与 所围成的空间区域，D 为平面区域 .1 214yx由于区域 D 关于 x 轴对称，因此 . 又30Dyd=(2)3zdyz 110032().zxzdz其中 .z2:14xz(19) (本题满分 11 分)设函数 f(x), g(x)在 a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值， f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在 ，使得,.fg【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令 ，()()Fxfx则问题转化
14、为证明 , 只需对 用罗尔定理，关键是找到 的端点函数值相等的区间(特别是()0F()Fx )Fx两个一阶导数同时为零的点) ，而利用 F(a)=F(b)=0, 若能再找一点 ，使得 ，则在区间,cab()0c上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对 用罗尔定理即可。,acb ()x【证明】 构造辅助函数 ，由题设有 F(a)=F(b)=0. 又 f(x), g(x)在(a , b)内具有相等的最大()()xfgx值, 不妨设存在 , 使得21x,1ba，2, ,()m()ma()bfMfxMgx若 ，令 , 则21x1c0.Fc若 ，因 ，从而存在1222()(),()()0fxgxf
15、gx，使12,cxab.c在区间 上分别利用罗尔定理知，存在 ，使得c 12(,)(,)acb. 12()0F再对 在区间 上应用罗尔定理，知存在 ，有()Fx12, 12(,)(,， 即 ()0().fg(20) (本题满分 10 分)设幂级数 在 内收敛，其和函数 y(x)满足0nax(,)7 / 11240,(),(0)1.yxyy (I) 证明： 12;nna(II) 求 y(x)的表达式 .【分析】 先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。【详解】 (I)记 y(x)= , 则 代入微分方程0na122,(1),nnnyaxyax有240,yxy2210(1
16、)4,nnnnaxax即 20 00() ,nnnn ax故有 214,nnaa即 2,;n(II) 由初始条件 知， 于是根据递推关系式 有(0)()1y01,.a2,1nna故210,.!nay(x)= = =0na212100!nnxx 220().!nxe(21) (本题满分 11 分)设线性方程组04,231xax与方程 321有公共解，求 a 的值及所有公共解【分析】 两个方程有公共解就是与 联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】将与联立得非齐次线性方程组:.12,04,31321ax 若此非齐次线性方程组有解, 则与 有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵 作初
17、等A8 / 11行变换得:.12104aA 110)(2aa于是 1 当 a=1 时，有 =23，方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解，)(Ar此时，此时方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: ,01A 10所以与的全部公共解为 ，k 为任意常数.102 当 a =2 时，有 =3，方程组有唯一解, 此时)(Ar，故方程组的解为: ,即与有唯一公共解: 为 .01A01 1230x(22) (本题满分 11 分)设 3 阶对称矩阵 的特征值 是 的属于 的一个特征向量,记,2,132T)1,(11其中 为 3 阶单位矩阵.EAB54(I) 验证 是矩阵 的特征向量，并求 B 的
18、全部特征值与特征向量1(II) 求矩阵 【分析】 根据特征值的性质可立即得 B 的特征值, 然后由 B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】(I ) 由 得 , 1A112A进一步 , ，135故 ，15)4(EB134142从而 是矩阵 的属于特征值2 的特征向量.1因 , 及 的 3 个特征值 得A35 ,2,31B 的 3 个特征值为 .,1219 / 11设 为 B 的属于 的两个线性无关的特征向量, 又32,132 为对称矩阵，得 B 也是对称矩阵, 因此 与 正交, 即32003121TT 所以 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：32,其基础解系为: ,
19、 , 故可取 = , = .0)1,(32x012013即 B 的全部特征值的特征向量为: , , 其中 ,是不为零的任意常数, 是不1k132k1k32,k同时为零的任意常数.(II)令 = , 则 ，),(321P1011BP得 =1B01223= .12230(23) (本题满分 11 分) 设二维随机变量(X , Y)的概率密度为0,),xyyfy其 它 .(I) 求 ；(II) 求 Z + 的概率密度 . P2)(zfZ【详解】(I ) .YXyxdf2),(120)ydx247(II) 先求 Z 的分布函数 : zyxZ fPzF),()当 Z0 时 , 。0)(zZ10 / 11
20、当 时, ；10z1),()(DZdxyfzFyzdx0)2(321z当 时, ；22),()(Zf 1)(yzz 3)(当 时, .z1zFZ故 Z + 的概率密度为 =)(zfZF.,0,21)2(, zz(24) (数 1, 3)(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为.,0,1)1(2,),(其 他xxf其中参数 (0 1)未知, 是来自总体 X 的简单随机样本, 是样本均值nX21, X(I) 求参数 的矩估计量 ；(II) 判断 是否为 的无偏估计量, 并说明理由.242【详解】(I ) dxfXE),(dx10)(2.41241令 , 其中 ，X412niiX1解方程得 的矩估计量为: = .2(II) ,)()(4)()22 EDE)()(42XEnD而 dxfXE,22dx1202)( .613，)()()2XD2246348512故 ,42E2En nn3122所以 不是 的无偏估计量.X11 / 11
